假设与推理
——“鸡兔同笼”问题趣解及模型初建
乐平市第九小学蒋铭国
教学内容：北师大版五年级数学上册《尝试与猜测》拓展内容。
教学目标：
1.在列表法解决“鸡兔同笼”问题基础上，探究用假设法解决问题。（①知识技能）
2.感受假设与推理的基本过程，培养推理能力，经历知识迁移的过程，促进抽象思维的发展。（②数学思考）
3.获得假设过程的活动经验，会从生活情境中提出类似问题并加以解决，尝试建立“鸡兔同笼”问题模型。（③问题解决）
4.通过“砍腿法”激发学生学习兴趣，从解决问题中体验到成功的乐趣，学习利用数学的眼光观察生活，了解数学的价值。（④情感态度）
教学重点：
1.经历用“砍腿法”求解“鸡兔同笼”问题。
2.体会“砍腿法”的实质是假设法，感受假设法其中蕴含的思维历程。
3.激发思维过程中的情感代入，体验思维成功带来的乐趣，建立思维成功后的自我认同，形成学习数学的持续动力。
教学难点：
探究“鸡兔同笼”问题数学实质，发展学生的数学抽象思维，促进推理能力的发展与迁移能力的提升，尝试建立“鸡兔同笼”问题模型。
教学过程：
一、激趣导入，开启探究之门
师：上一节课我们已经利用列表法解决“鸡兔同笼”问题。列表法有逐一列表法，跳跃列表法和取中列表法。（对上节课内容简单交代）
师：今天我们尝试用另一种新的方法来解决这个问题，同学们说好不好？
生：好！
师：今天我们要学习的方法很有趣——那就是“砍腿法”。（出示字幕：砍腿法）
生：砍腿法。（学生自然随声附和，很是好奇）【注：激发学生兴趣与好奇心、求知欲（情感态度：隐性、次要目标）】
师：砍腿法——顾名思义那就是砍腿喽！（教师加入肢体语言与表情语言，可适当夸张，旨在调动学生注意力）那么，到底是砍谁的腿呢？同学们想不想一探究竟？
生：想！（学生异口同声，好奇心极强）
师：那我们就一起来“砍腿”吧！Let’s go！
二、探求新知，漫步推理之旅
（一）经历“砍腿法”
师：我们仍然以上节课的“鸡兔同笼”问题为例。（出示例题）
《孙子算经》中“鸡免同笼”问题的原题是“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?”你知道这道题的意思吗?
（鸡和兔一共有35只，腿有94条，求鸡和免各有多少只?)
师：下面我们尝试用一种新的方法来解决这个问题——“砍腿法”。这是个很有趣的方法。“砍腿法”——顾名思义就是——
（有意让学生参与互动，通过语气、手势、表情引导学生一起回答，增强学生代入感）
生：把它们的腿砍掉。（预计有部分学生答出，也可视情况酌情引导）
师：首先，无论是鸡还是兔，我们都把它们的腿砍掉一只，结果会怎样呢？（出示PPT图片：鸡兔示意图。学生思考，可小组讨论。）【注：假设情境的体验，独立思考、合作交流习惯的培养（④情感态度：显性、主要目标）】
学生交流发言。
生1：剩下59条腿。
生2：鸡和兔一共有35只，各砍去1条腿，就是砍去了35条腿，94减去35，还剩59条腿。（引导学生把话说完整，说仔细。）
生3：每只鸡还有1条腿，每只兔还有3条腿。【注：感受假设与推理的基本过程，清晰表达自己的想法，发展推理能力（②数学思考：显性、主要目标）】
师：此时此刻，你会有什么疑问或者说想提出什么问题？
预设问题与应对方式：
生1：我想，这样的话好像还是不能求出鸡兔各有多少只？
（此刻情境为：鸡和兔一共有35只，腿有59条，求鸡和免各有多少只?注：鸡有1条腿，兔有3条腿。）
生2：我想，我们可不可以再砍它一次呢？
（很有意思，值得鼓励）
生3：如果再砍一次的话，就只剩下24条腿了，因为59-35=24。
（能尽可能说清楚一些吗？鼓励学生说清楚）【注：鼓励学生清晰表达自己的想法，发展推理能力（②数学思考：显性、主要目标）】
生3补充：如果再砍一次，就砍掉了70条腿。因为35乘2等于70。94减去70等于24。所以还剩下24条腿。
生4：老师，如果我们再砍第三次，应该砍掉多少条腿呢？（有没有人知道？如果知道的话就说明已经知道兔的只数了。事实上并不知道。）
（老师引导把情境画面定格在砍了两次腿之后，学生就此刻此景表达想法。）
生5：鸡没有了腿。每只兔还有两条腿。
生6：砍了两次后，每只鸡和兔都被砍掉了2条腿。这时鸡就没有腿了，只有兔还有腿。并且每只兔有2条腿。（表达清晰，是思维的进一步自检，也是下一步推理的基础。）
（师：这时，我们想到……？）（引导学生发挥想象，形成思维镜像）【注：发展形象思维与抽象思维，强化数感，促进运算能力的发展（数学思考：隐性、次要目标）】
生7：24条腿全部都是兔的，而且每只兔只有2条腿。
生8：兔有12只（24÷2=12）。
（师：同学们很聪明，反应非常敏捷。）【注：给予肯定，让学生体验获得成功的乐趣（④数学思考：显性、主要目标）】
师：刚刚我们“砍腿”的过程是分两次进行的，那么我们可不可以把两次“砍腿”合并在一起进行呢？
生：可以。
师：那么，我们可以得到什么？
生自由齐答：两次“砍腿”合在一起的话，一下就会知道剩下24条腿。
（94-35×2=94-70=24）
引导学生总结：所有的鸡和兔砍掉两只腿之后，剩下来的全部是兔的腿。所以是24÷2等于12。兔12只，那么剩下来的就是鸡，35-12=23只。【注：培养数感与数据分析能力，发展推理能力（隐形、次要目标）】
（二）体验假设法
师：孩子们，砍腿其实是不切合实际的。在实际生活中，我们不可能这样去解决问题。但是因为这种方法的便利，我们确实可以这样思考的。在思维方式上，这其实是一种假设的方法。我们就是通过假设的思维来进行思考这个问题的。
师：首先我们假设无论是鸡或者是兔都砍去两条腿。那么，这样一来我们就砍去了多少条腿呢？
生：35×2=70（条）（出示算式）
师：现在还剩下多少条腿呢？
生：94-70=24（条）（出示算式）
师：接下来我们就能够轻而易举地求助兔的只数了。兔的只数该怎样列式计算呢？
生：24÷2=12（只）（出示算式）
【注：探究用假设法解决问题，经历思维过程（①知识技能：显性、主要目标）】
师：刚刚我们是假设每只鸡和兔都砍去两条腿。我们是不是也可以假设每只兔和鸡一样只长有两条腿，这样一来会怎样呢？
生甲：这样一来35只兔和鸡，一共只有70条腿。而实际上有94条腿，这样一来我们就多余出来了24条腿。
生乙：每只兔实际上是4条腿，而我们假设的是每只兔与鸡一样只有2条腿。所以24条腿是兔身上多出来的。
生丙：我们知道每只兔可以多出2条腿。一共多出24条腿，因此可以计算出一共有12只兔。【注：叙述思维过程，有助于独立思考，体会数学的基本思想与思维方式（②数学思考：显性、主要目标）】
师：同学们，刚刚我们是假设每只兔和鸡都只有两条腿。那么，我们是不是可以换一个思考方向进行假设呢？
（给学生思考的空间，体验假设方向的多样性）
预设课堂情境，并予以应对方案。
师：我们不假设兔和鸡一样只有两条腿，而……
生1：我们是不是可以假设每只鸡和兔一样都长有四条腿呢？
生2：我觉得我们也可以假设无论是鸡还是兔都有四条腿。
师：好！同学们说得很好，说明我们懂得了变通。下面我们就可以尝试假设鸡和兔一样也长有四条腿，接下来我们应该怎样思考呢？又该怎样列式计算呢?
生3：35×4=140（条）。实际上只有94条腿，这样一来就多出来了46条腿。140-94=46（条）。显然，46条题就是因为把鸡当成兔也长有四条腿而多出来的。（适时出示算式）
生4：我们知道每把一只鸡当成兔的话会多出2条腿。46条腿就说明把23只鸡当成兔了。所以，46÷2=23（只），35-23=12（只），鸡有23只，兔有12只。【注：培养数感与数据分析能力（隐性、次要目标）】【注：探究假设法不同的思维过程（①知识技能：显性、主要目标）】【注：感受假设与推理的基本过程，培养推理能力（②数学思考：显性、主要目标）】
（三）尝试迁移法
出示例题：淘气今天上课在解决鸡兔同笼问题时表现很积极，得到了老师的表扬。妈妈允许他从存钱罐取出一些钱买些好吃的犒劳自己。淘气从存钱罐里一连倒出5角与1元硬币共15枚，淘气数了数刚好可以买标价11元的薯片。你知道淘气倒出的5角与1元硬币各有几枚吗?
（学生先独立思考，然后分组讨论，讨论中途出示提示。）
师：同学们可以比对刚刚研究的“鸡兔同笼”问题思考：
1.在这个问题中，“鸡”好比什么硬币？有几条“腿”好比什么？
2.“兔”好比什么硬币？有几“腿”又好比什么？
3.一共有多少“头”好比什么？一共有多少“腿”好比什么？
（这些问题有些难度，让学生经历思考的过程，最后在不断错误中感知正确的理解）
请小组代表发言。
甲组：“鸡”好比5角硬币，有几条“腿”好比一枚币是5角。
乙组：“兔”好比1元硬币，有几条“腿”好比一枚币是1元，也就是10角。
丙组：一共有多少“头”好比15枚硬币，一共有多少“腿”好比是11元，也就是110角。【注：经历知识迁移的过程，促进抽象思维的发展（②数学思考：显性、主要目标）】
三、巩固应用，感知模型思想
例：一天，长颈鹿与小狗到一家搬家公司游玩。搬家公司院子里停满了三轮车和四轮货车。长颈鹿对小狗说：“这家公司真大呀！这么多车。1，2，3……10。一共有10辆。”小狗蹦蹦跳跳地对长颈鹿说：“确实有很多车，我刚数了有34个轮子。不过我不知道三轮车和四轮车分别有几辆？”你能帮助小狗解决这个问题吗？
同学们先分组讨论，然后自行解决问题。讨论时思考：（出示思考提示）
1.在这个问题情境中，“鸡”是谁？有几条“腿”？“兔”是谁？有几条“腿”？2.“头”一共有几个？“腿”一共有几条？
（从不同情境中，运用类比、迁移抽取出相同数学本质，获取建立模型的经验）【注：获得假设过程的活动经验，会从生活情境中提出类似问题并加以解决，尝试建立“鸡兔同笼”问题模型。（③问题解决：显性、主要目标）】
四、课堂小结，触碰数学价值
本节课我们学到了什么？
1.为了解决问题，我们可以信马由缰，在思维上不受拘束，在推理上要步步有据。（“砍腿法”的应用及过程推理）
2.学会用数学眼光观察问题，从不同问题情境中抽象出数学本质，建立数学问题模型。（“鸡兔同笼”问题建模）
五、布置作业，践行数学育人
1.一天，小明捉来蜘蛛和七星瓢虫做观察研究。一共有9只，66条腿。你知道蜘蛛和七星瓢虫分别有多少只吗？（提醒：1.可以搜索资料查询蜘蛛和七星瓢虫的腿数。2.先用“砍腿法”法思考问题，再用假设法列式运算。）
附：假设蜘蛛与七星瓢虫一样只有6条腿，
腿数一共应该是：6×9=54(条）
实际上还有腿剩余：66-54=12（条）
每只蜘蛛剩余2条腿，蜘蛛有：12÷（8-6）=6（只）
七星瓢虫有：9-6=3（只）
2.观察生活周围的事物，自编一道需要用假设法解决的具有“鸡兔同笼”模型的问题。
【注：会从生活情境中提出类似问题并加以解决，尝试建立“鸡兔同笼”问题模型。（③问题解决：显性、主要目标）】
附：板书设计：
鸡和兔一共有35只，腿有94条，求鸡和免各有多少只?
方法一：
35×2=70（条）
94-70=24（条）
24÷2=12（只）
35-12=23（只）
【94-（35×2）】÷2
=（94-70）÷2
=24÷2
=12（只）
35-12=23（只）
方法二：
35×4=140（条）
140-94=46（条）
46÷2=23（只）
35-23=12（只）
（35×4-94）÷2
=（140-94）÷2
=46÷2
=23（只）
35-23=12（只）
