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中值定理与导数应用

中值定理与导数应用

微分中值定理

罗尔定理

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英语：Rolle's theorem）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：

如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a, b]上连续（没有断点）

（2）、在开区间[a, b]上可导（光滑的）

（3）、f(a) = f(b)

则 $\exists\xi\in (a, b)，使得f’(\xi ) = 0$ （也就是说平行于X轴）

注意

若是有给出了 $f’(x) = 0$ 可以优先考虑一下，用罗尔定理

证明题解法

步骤:

（1）、构造函数f(x)

（2）、验证3个条件

（3）、由罗尔定理可知， $\exists\xi\in (a, b)，使得f’(\xi ) = 0$

例题一

思路：若是细腻一点，就可以看出下面那条是上面那条方程的的导数函数，即是： $f’(x) = 0$ 。所以，最终也是让你证明是罗尔定理，最终得出结论从而证明出这题。

例题二

思路：我们可以看到，这个 $f’(x)$ 又是连续又是可导，可以猜出这可能又是与罗尔定理有关的。但是呢这里的 $f’(x) = \frac{1}{x}$ ，又不符合的样子？别急，我可以把式子变为 $F’(x) = f’(x) - \frac{1}{x} = 0$ .这样的话又符合了。最后按照一步步证明得，这是一个罗尔定理，最后证明得结果

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也简称均值定理，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，为罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

如果 $f(x)$ 满足：

1、在 $[a,b]$ 上连续;

2、在 $(a,b)$ 内可微分（可导）；0

那么至少有一点 ${\displaystyle \xi ,\;a<\xi} < b$ 使下面等式成立

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$ 即是 $K_{切} = {f^{\prime }(\xi )} = \frac{\displaystyle f(b)-f(a)}{(b-a)}$

图像

证明题解法

步骤：

构造函数f(x)

验证2个条件

由拉尔定理可知，下结论，对结论式子变形

例题1

解法：我第一次看这种题型的时候也是一脸的懵逼的，不知如何下手。但是在仔细观察的话，可以发现，只要把 $\ln \frac{m}{n}$ ,可以变形一下，然后再再把不不等式左右两边改变一下。最后就可以看出是一个拉格朗日中值定理函数，最后在进行运算，得出结果。

例题2

思路：下看到这种题型，一定要瞬间明白这是要让你证明拉格朗日。按上一题的思路是一样的。

放出步骤：

构造函数f(x)

验证2个条件

由拉尔定理可知，下结论，对结论式子变形

证明：

令 $f(x) = x^n$

显然可以看出 $f(x)$ 在区间 $[b, a]$ 上连续，在开区间 $(b, a)$ 可导。所以这是一个符合拉格朗日的函数。

由拉格朗日定理可知， $\exists \xi \epsilon (b, a)$ 使得 $f’(x) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$

(现在从左边范围推出右边范围)

所以 $nb ^{n-1} < n\xi ^{n-1} < na ^{n-1}$

所以 $nb ^{n-1} < \frac{a^n - b^n}{a -b} < na ^{n-1}$

所以 $nb ^{n-1}(a - b) < a^n - b^n < na ^{n-1} (a - b)$

例题3

思路：一看这题目，可以很明显的看出可能又是要拉格朗定理有关，只要我们变变形就可以了。这边不掩饰。

零点定理

设函数 $f(x)$ 闭区间 $[a, b]$ 内连续， $且f(a)*f(b) < 0$ ,则存在区间 $(a, b)$ 至少存在一点，使得: $f(0) = 0$

函数的单调性、极值与最值

1、单调性

(1）判定方法：

$f’(x) > 0,则f(x)\uparrow$

$f’(x) < 0,则f(x)\downarrow$

（2）讨论单调性(单调区间)的步骤

①、求定义域

②、求出 $f’(x) = 0$ 和 $f’(x)$ 不存在的点，讲定义域划分若干个子区间

③、列表，根据 $f’(x)$ 在子区间内的符号，确定单调性。

2. 极值

（1）极值的定义

$f’(x) < f(x_{0} )$ ，则 $x = x_{0}$ 为极大值点， $f(x_{0} )$ 为极大值

$f(x) > f(x_{0})$ ，则 $x = x_{0}$ 为极小值点， $f(x_{0})$ 为极小值

（2）极值的判定

①、第一判定定理

$x < x_{0}时， f’(x) > 0; x > x_{0}时，f’(x) </p><p> <img class=$

注：极值点是单调性的分界点，左右两侧f’(x)必然是异号

②、第二判定定理

$f’(x) = 0时$

$f’’(x) > 0时，则x = x_{0}为极小值点$

$f’’(x) < 0时，则x = x_{0}为极大值点$

（3）驻点

若是 $f’(x_{0}) = 0$ ，则 $x = x_{0}$ 为 $f(x)$ 的驻点

注意： $驻点\neq 极值点(没有任何关系)$

若是 $x= x_{0}$ 为f(x)的极值点，则 $f’(x_{0}) = 0$ 或 $f’(x_{0})$ 不存在

（5）求极值点和极值的步骤：

①、确定f(x)定义域

②、求导 $f’(x)$ ,并求出 $f’(x)= 0和f’(x)$ 不存在的点

③、列表

例子1

求函数 $f(x) = \log_4 {(4^x + 1)-\frac{1}{2}x - \log_42 }$ 的单调区间和极值

解法：一般这种情况，都是都可以按照步骤来这样很简单都是可以求出来的，至于简单的运算，就不展开讲了。

3. 最值

步骤：

①、求出所以 $f’(x) = 0和f’(x)不存在的点$

②、求出①中所有点的函数值和端点处的函数值

③、 $最大值 = max[极值，端点值]；最小值 = min[极值，端点值]$

函数的凹凸性与拐点

凹凸性

1、凹曲线：曲线上的任意点处的切线总位于曲线的下方

2、凸曲线：曲线上的任意点处的切线总位于曲线的上方

凹凸性的判定

$f’’(x) > 0，凹$

$f’’(x) < 0，凸$

拐点

1、凹凸性的分界点称为拐点，记作 $(x_{0}, y_{0})$ 。拐点左右两侧 $f’’(x)$ 必然异号.

2、若点 $(x_{0}, y_{0})$ 是曲线 $y = f(x)的拐点，则f’’(x_{0}) = 0 或者f’’(x_{0}) 不存在$

凹凸区间及拐点的求解步骤：

（1）、求出定义域

（2）、求出 $f’’(x_{0}) = 0 或者f’’(x_{0}) 不存在$ 的点

（3）、列表，由 $f’’(x)$ 符号得出凹凸区间，凹凸区间的分界点即为拐点

例子

思路：我们把它进行二次导以及找出定义域，最后令得出来的二阶导函数小于0，得出取值范围，再根据定义域得出最后的凸区间

渐近线

水平渐近线

若 $\lim_{x\to∞} f(x) = C$ 则称 $y = C是y = f(x)$ 的一条水平渐近线。

函数趋近于无穷大时，是否是常数

垂直渐近线

$若\lim_{x\to0} f(x) = ∞$ ，则称 $x = x_{0}$ 是 $y = f(x)的一条垂直渐近线$

利用单调性证明不等式和根的存在性

一、不等式的证明步骤：

（1）、构造函数f(x)

（2）、求导判断单调性

（3）、大于最低点，小于最高点

例子1

思路：按我们大标题来说，我们应该用单调性来证明不等式根的存在性。这里我们首先构造出一个函数，然后再求导得出他们的单调性最后在证明例子成立

$令f(x) = x - e^x + 1$

所以有 $f’(x) = 1 - e^x$

因为 $x > 0$

所以 $e^x > 1$

所以 $f’(x) < 0$

所以 $f(x) 在(0, +∞)是递减的$

又因为 $f(0) = 0$

所以 $f(x) < f(0) = 0$

$所以x - e^x - 1 < 0$

所以 $x < e^x -1$

二、唯一根的证明步骤

（1）、利用零点或罗尔定理证明至少有一个根

（2）、求导判断函数单调性，得唯一根

例题1

思路：我们先用罗尔定理或者零点定理证明至少有一个跟，然后在求导，得出单调性以及无不存在点得唯一根。

例题2

已知函数 $f(x) = arc\tan \frac{1}{x}$ ，试问方程 $f(x) = x$ 在区间（0， +∞）有多少个实根

思路：这一个题目有点意思啊，我们可以按步骤一步步来，但是我们用零点定理来证明只至少有一个根时，考虑到定义域时 $(0, +∞)$ ，不是闭区间，所以要用 $\lim_{x\to0} x；\lim_{x\to∞} x$ 来代替f(0), f(∞)

恒等式的证明

步骤：

（1）、构造函数 $f(x)$

（2）、求导验证 $f’(x) = 0$

（3）、 $f(x) = f(x_{0}) = C$

例题

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