赋范空间

赋范线性空间，就是在线性空间（对加法和数乘运算封闭）中引入范数结构。

（拓扑结构，就是在空间中定义了距离结构，有了距离我们就可以引出“接近”、极限、开集等概念）

这一章我们在线性空间（有时称为向量空间）上，引入元素长度（或大小）的概念（随之引出距离的概念），给出元素的“度量”，形成我们称之为的赋范空间。

赋范空间的定义

定义1： $X$ 是数域 $K$ 上的线性空间，函数（映射） $\left\| \cdot \right\|：X \to R$ 满足：

$\forall x \in X, \left\| x \right\| \geqslant 0$ （非负性）；
$\left\| x \right\| = 0$ 当且仅当 $x=0$ （正定性）；
$\forall x \in X, \alpha \in K, \left\| \alpha x \right\| = \left| {\alpha} \right| \left\| x \right\|$ （正齐次性）；

则称 $\left\| \cdot \right\|$ 是 $X$ 上的一个范数。

定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为（ $X, \left\| \cdot \right\|$ ）。

注：范数是一个函数（映射），是一种运算。表示了向量的“模”或长度，即点到原点之间的距离。

一般地，赋范空间有了范数就可以自然地定义距离：

$d(x,y) = \left\| x-y \right\|$

注1：把 $(X，d)$ 称为由范数诱导的距离空间。赋范空间诱导的距离就是两元素做差后的范数，可见赋范空间一定是距离空间。

定义3：完备的赋范空间称为 $Banach$ 空间。

范数的连续性

当点列 $x_n$ 收敛到 $x$ ， ${\lim _{n \to \infty }}{x_n} = x$ 时，有 ${\lim _{n \to \infty }}\left\| {{x_n}} \right\| = \left\| x \right\|$ ，说明范数是连续的。
即，函数（运算）可以和极限交换位置：
${\lim _{n \to \infty }}\left\| {{x_n}} \right\| = \left\| {{{\lim }_{n \to \infty }}{x_n}} \right\|$

范数与距离的关系

我们通过在线性空间中引入范数，定义了赋范空间。
给出了一般线性空间中元素“长度”的定义，建立了空间的拓扑结构。（我们用一个函数（结构）表示了空间中元素的长度）

由于范数可以诱导距离，从而赋范空间也是距离空间。但是距离空间必须要满足某些条件才能由范数诱导。

完备的赋范空间（ $Banach$ 空间）

连续函数上定义的不同范数

$C[a,b]$ 的范数（取max），该范数诱导的距离下是完备的；
一范数，一范数诱导的距离下是不完备的（见距离空间内容）；
二范数，二范数诱导的距离下也是不完备的。

赋范空间的完备化

任何不完备的赋范空间都可以完备化。

$L^p$ 空间（ $1 \leqslant P < \infty$ ）

所表示的集合是 $[a,b]$ 上全体 $p$ 次幂可积的函数，可积就是积分小于无穷。

$Holder$ 不等式，柯西不等式的推广；
用 $Holder$ 不等式证明 $Minkowski$ 不等式；
$L^p$ 空间完备；
$L^p$ 可分（存在可数稠密子集）。找有理系数多项式函数（因为是有理系数所以可数）。

结论： $L^p[a,b]$ 是 $C[a,b]$ 在 $L^p$ 范数下的完备空间。

$L^{\infty}$ 空间

定义：设 $E$ 是可测集， $x(t)$ 是 $E$ 上可测函数。如果存在 $E$ 的可测子集 $E_0 \subset E, \;m(E_0) = 0$ ，且 $x(t)$ 在 $E \backslash E_0$ 上有界。则称 $x(t)$ 为本性有界。

$L^{\infty}(E)$ 表示可测集 $E$ 上全体本性有界的可测函数，其上定义：
$\left\| x \right\| = \mathop {\inf }\limits_{\mathop {m{E_0} = 0}\limits_{{E_0} \subset E} } \mathop {\sup }\limits_{E\backslash {E_0}} \left| {x\left( t \right)} \right|$

$\mathop {\sup }$ ：表示对一个集合取上确界，就是找该集合里最大的那个元素。 $\mathop {\inf }$ ：取下确界，找集合里最小的那个元素。

注： $\left\| x \right\|$ 是 $X$ 上的范数。

定理： $L^{\infty}(E)$ 是不可分的 $Banach$ 空间。

赋范空间的几何结构

凸集

首先回顾 $R^n$ 空间中的凸集：
集合 $A \subset R^n$ ，如果对于任意的 $x,y \in A$ ，其连线也在 $A$ 中，则称集合 $A$ 是凸的。（凸集的概念是在线性空间中提出的）

定义1：设 $X$ 是线性空间， $A \subset X$ ，如果对于任意的 $x,y \in A$ ，任意的 $\alpha : 0 \leqslant \alpha \leqslant1$ ，都有凸组合
$\alpha x +(1-\alpha) y \in A$
则称 $A$ 是 $X$ 中的凸集。

一些性质（性质就是一些基本的定理）：

任意多个凸集的交集是凸的；
$A \subset X$ ，所有包含 $A$ 的凸集的交集是凸集。这个凸集称为 $A$ 的凸包，记为 $Co(A)$ 。 $Co(A)$ 是包含 $A$ 的最小凸集；
单位球 $B（0,1）$ 是 $0$ 点的一个凸邻域，这是赋范空间十分重要的几何特征（也就是说，由范数诱导的距离得到的单位球必须是要凸的，否则就不是赋范空间）。

子空间（赋范线性子空间）

设 $(X,\left\| \cdot \right\|)$ 是赋范空间， $X_1$ 是 $X$ 的一个线性子空间(必须要满足线性空间才行)，则 $(X_1,\left\| \cdot \right\|)$ 也是一个赋范空间，称为 $X$ 的子空间，显然子空间是凸集（也就是说线性空间是个凸集）。

定理6： $X$ 是赋范空间， $X_1 \subset X$ 是子空间，则

若子空间 $X_1$ 是完备的，则 $X_1$ 是闭的；
若 $X$ 是 $Banach$ 空间， $X_1$ 是 $X$ 的闭子空间，则 $X_1$ 一定是 $Banach$ 空间。

有限维赋范空间

等价范数

如同在一个空间上可以定义不同的距离一样。我们也可以在同一线性空间上（同一集合上）定义不同的范数，从而产生不同的赋范空间。

实际上，要根据所研究的具体问题，选择一个合理、简单、易于解决问题的范数。

$\mathbb{R}^n$ 线性空间

我们在这一空间中可定义不同的范数。

欧氏范数

对于任意的 $x = \left( {{\xi _1}, \cdots ,{\xi _n}} \right)$ ，定义范数：
$\left\| x \right\| = {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{\xi _k}} \right|}^2}} } \right)^{1/2}}$

它诱导的距离：
$d\left( {x,y} \right) = {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{\xi _k} - {\eta _k}} \right|}^2}} } \right)^{1/2}}$

在这一范数意义下， $(\mathbb{R}^n,\left\| x \right\| )$ 是完备的，可分的。

无穷范数

$\mathbb{R}^n$ 中可定义范数 $\left\| \cdot \right\|_\infty$ ：
$\left\|x \right\|_\infty = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} \left| {{\xi _k}} \right|$

$(\mathbb{R}^n,\left\| \cdot \right\|_\infty )$ 是一赋范空间。

1范数

定义范数 $\left\| \cdot \right\|_1$ ：
$\left\| x \right\| _1 = {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{\xi _k}} \right|}}} }$

$(\mathbb{R}^n,\left\| \cdot \right\|_1 )$ 是一赋范空间。

然而，不同的范数之间可能具有等价关系，即这样的空间中的收敛性一样，即按坐标收敛。

下面我们给出两个范数等价的定义：

则称 $\left\| \cdot \right\|_1$ 和 $\left\| \cdot \right\|_2$ 是等价的。

注1：在两个等价范数产生的赋范空间中，同一元素的范数可能不同，但是空间中点列的收敛性一样，闭集开集一样。
注2：Cauchy列一样。
注3：完备性一样。

有限维空间

定理6：任意实的 $n$ 维赋范空间必与 $\mathbb{R}^n$ 代数同构，拓扑同胚。

代数同构：两空间存在一个映射满足双射（既是单射又是满射）和线性。拓扑同胚：存在一个映射满足双射，并且该映射及其逆映射都连续。

注1：对于复的有限维空间可以证明有类似的结果。事实上，一个复数其实就是由 $R^2$ （平面）进行表示。

注2：有限维的赋范空间都是 $Banach$ 空间。

有限维赋范空间的几何特征

有限维空间中的有界集是列紧集。

定理7：赋范空间是有限维的当且仅当 $X$ 中的任何有界集是列紧的。

特别地，赋范空间是有限维的当且仅当单位球（或者单位球面）是列紧的。

推论：设 $X$ 是一个无穷维的赋范空间，那么单位球 $B(0,1)$ 和单位球面 $S(0,1)$ 都不是列紧的（由Riesz引理可证）。这是有限维空间和无穷维空间的最本质区别。

赋范空间的进一步性质

赋范空间中的级数

在赋范空间 $(X,\left\| \cdot \right\| )$ 中定义无穷级数
$\sum\limits_{k = 1}^\infty {{x_k} = {x_1} + {x_2} + \cdots }$

若级数的前 $n$ 项和序列 $S_n = x_1+x_2+\cdots +x_n$ 收敛，即存在 $x \in X$ ，使得
$S_n \to x \;\;\; (\left\| S_n- x \right\| \to 0)(n \to \infty)$

则称 $x$ 是级数的和，记为 $x =\sum\limits_{k = 1}^\infty {x_k}$ 。

注：这里的 $x$ 都是向量（点）。

定理：若级数 $\sum\limits_{k = 1}^\infty \left\| {x_k} \right\| < \infty$ ，可以推出原级数 $\sum\limits_{k = 1}^\infty {x_k}$ 收敛。

赋范空间中的商空间

定义2：设 $M$ 是 $X$ 的线性子空间（满足加法数乘封闭）， $\forall x_1,x_2 \in X$ ，如果 $x_1 - x_2 \in M$ ，则称 $x_1$ 和 $x_2$ 关于 $M$ 等价，记为 $x_1 \sim x_2$ 。

注：等价需满足三条性质：1、自反性；2、对称性；3、传递性。

定义4：商空间： $X/M$ （关于 $M$ 的商空间）

设 $M$ 是 $X$ 的子空间， $x_1 - x_2 \in M$ ，称 $x_1$ 和 $x_2$ 关于 $M$ 等价。对于 $x \in X$ ，我们把与 $x$ 等价的全体元素记为 ${\tilde x}$ （实质上 ${\tilde x}$ 是一个集合）（即以 $x$ 为代表元的等价类），则
${\tilde X } = \left\{ {X中元素的等价类全体} \right\} = \left\{ {{\tilde x} | x \in X} \right\}$

在 ${\tilde X }$ 中定义

${\tilde x} +{\tilde y} =\widetilde {x+y}$

$\alpha \tilde x = \widetilde{\alpha x}$

这样的定义不依赖于代表元的选取，则 ${\tilde X }$ 是一个线性空间。特别地， ${\tilde X }$ 称为是 $X$ 关于 $M$ 的商空间，记为 $\tilde X = X/M$ 。

定义5：设 $X$ 是赋范空间， $M$ 是 $X$ 的闭子空间，在商空间 $\tilde X = X/M$ 中可以定义范数（其实就是 $\tilde x$ 到 $M$ 的距离, $M$ 为零元素）
$\left\| \tilde x \right\| = \mathop {\inf }\limits_{y \in \tilde x} \left\{ {\left\| y \right\|} \right\}$

称之为赋范空间关于闭子空间 $M$ 的赋范商空间。

定理8：设 $X$ 是 $Banach$ 空间， $M$ 是 $X$ 的闭子空间，则赋范空间 $X$ 关于 $M$ 的商空间 $X/M$ 是 $Banach$ 空间。

点列收敛，则该点列有界。

最后编辑于：2019.11.20 16:11:04

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