核方法 Kernel method

1.内积（点积）

内积，又叫做点积，数量积或标量积。假设存在两个向量 $a=[a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}]$ 和 $b=[b_{1},b_{2},...,b_{n}]$ ，内积的计算方法为：
$a\cdot b= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

2.核方法 ^[1]

核方法的主要思想是基于这样一个假设：“在低维空间中不能线性分割的点集，通过转化为高维空间中的点集时，很有可能变为线性可分的” ，例如有两类数据，一类为 $x<a\cup x>b$ ；另一部分为 $a<x<b$ 。要想在一维空间上线性分开是不可能的。然而我们可以通过F(x)=(x-a)(x-b)把一维空间上的点转化到二维空间上，这样就可以划分两类数据 $F(x)>0$ ， $F(x)<0$ ；从而实现线性分割。如下图所示：

图1

定义一个核函数 $K(x_{1},x_{2})=\left \langle \phi (x_{1}),\phi (x_{2})\right \rangle$ , 其中 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是低维度空间中的点（在这里可以是标量，也可以是向量）， $\phi (x_{i})$ 是低维度空间的点转化为高维度空间中的点的表示， $\left \langle ,\right \rangle$ 表示向量的内积。这里核函数的表达方式一般都不会显式地写为内积的形式，即我们不关心高维度空间的形式。
这里有个很重要的问题，就是我们为什么要关心内积。一般的我们可以把分类或回归问题分为两类：参数学习和基于实例的学习。参数学习就是通过一堆训练数据把模型的参数学习出来，训练完成之后训练数据就没有用了，新数据使用已经训练好的模型进行预测，例如人工神经网络。而基于实例的学习（又叫基于内存的学习)是在预测的时候会使用训练数据，例如KNN算法，会计算新样本与训练样本的相似度。计算相似度一般通过向量的内积来表示。从这里可以看出，核方法不是万能的，它一般只针对基于实例的学习。

3.核方法的定义和例子^[2]

给定一个映射关系 $\phi$ ，我们定义相应的核函数为:
$K(x,y)=\phi (x)^{T}\phi (y)$
则内积运算 $<\phi (x), \phi (y)>$ 可以用核 $K(x,y)$ 来表示。

例如，给定两个 $n$ 维向量 $x$ 和 $y$ ， $x,y\in \mathbb{R}^{n}$ ，我们定义一个核函数 $K(x,y)=(x^{T}y)^{2}$ ，将该二次多项式展开会得到如下表达式： $(x_{1}y_{1}+...+x_{n}y_{n})^{2}$ 。
但 $K(x,y)$ 还可以写成：
$\begin{align} K(x,y)&=(x^{T}y)^2 \\ &=(\sum_{i}^{n}x_{i}y_{i})(\sum_{j}^{n}x_{j}y_{j})\\ &=\sum_{i}^{n}\sum_{j}^{n}x_{i}x_{j}y_{i}y_{j}\\ &=\sum_{i,j}^{n}(x_{i}x_{j})(z_{i}z_{j})\\ &=\phi (x)^{T}\phi (y) \end{align}$
如果 $n$ 为2的话，即 $x^{T}=(x_{1},x_{2})$ ， $y^{T}=(y_{1},y_{2})$ 。若直接对 $(x^{T}y)^{2}$ 进行计算
$(x^{T}y)^{2}=(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{1})^{2}+2x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}+(x_{2}y_{2})^{2}$
如果我们先对 $x$ 和 $y$ 进行映射， $\phi(x)$ 可以将 $x$ 映射为：
$\phi (x)=\begin{bmatrix} x_{1}x_{1}\\ x_{1}x_{2}\\ x_{2}x_{1}\\ x_{2}x_{2}\\ \end{bmatrix}$
$\phi(y)$ 可以将 $y$ 映射为：
$\phi (y)=\begin{bmatrix} y_{1}y_{1}\\ y_{1}y_{2}\\ y_{2}y_{1}\\ y_{2}y_{2}\\ \end{bmatrix}$

然后再对 $\phi (x)$ 和 $\phi (y)$ 进行内积运算：
$<\phi (x), \phi (y)>=(x_{1}y_{1})^{2}+2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}+(x_{2}y_{2})^{2}$
我们发现结果和直接展开运算一样，但是直接展开经过了一次平方运算，复杂度为 $O(n^{2})$ ，而经过映射之后只需一次内积运算，复杂度为 $O(n)$ ，大大提高了效率。

再比如，对于核函数：
$\begin{align} K(x,y)&=(x^{T}y+c) \\ &=\sum_{i,j}^{n}(x_{i}x_{j})(y_{i}y_{j})+\sum_{i}^{n}(\sqrt{2c}x_{i})(\sqrt{2c}y_{i})+c^{2}\\ \end{align}$
同上，若 $x$ 和 $y$ 均为二维向量，则映射函数为:
$\phi =\begin{bmatrix} x_{1}x_{1}\\ x_{1}x_{2}\\ x_{2}x_{1}\\ x_{2}x_{2}\\ \sqrt{2c}x_{1}\\ \sqrt{2c}x_{2}\\ \end{bmatrix}$
从多项式可以看到，参数 $c$ 控制着一阶和二阶多项式的权重。如果将二阶多项式推广到 $d$ 阶，则核函数 $K(x,y)=(x^{T}y+c)^{d}$ 会将原来的向量映射到 $\begin{pmatrix} n+d\\ d\\\end{pmatrix}$ 维，尽管在该空间中的复杂度为 $O(n^{d})$ ，但经过 $\phi$ 映射后计算复杂度为 $O(n)$ 。

4. 常见的核方法

常见的三种核方法：
线性核(Linear kernel)： $K(x,y)=x^{T}y$
径向基核(Radial basis function kernel, RBF kernel)： $K(x,y)=exp(-\gamma \left \| x-y\right \|^{2})$
$d$ 次多项式核(Polynomial kernel)： $K(x,y)=(x^{T}y+c)^{d}$
下面我们依次使用这些核函数对非线性问题进行分类，如下图所示，有两个待分类标签，显然他们在二维空间是线性不可分的，我们需要使用核函数把它们映射到更高维空间中，让它们线性可分。

图2

4.1 线性核

核函数：
$K(x,y)=x^{T}y$
令 $x=(x_{1},x_{2})^{T}$ ， $y=(y_{1},y_{2})^{T}$ ，即维度为2，我们得到：
$\begin{align} K(\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ \end{pmatrix})&=x^{T}y\\ &=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\\ &=\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ \end{pmatrix} \end{align}$
可以看到线性核的映射 $\phi (x)$ 就是 $x$ 本身。

代码：

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from mpl_toolkits import mplot3d
from IPython.display import HTML, Image

%matplotlib inline
sns.set()

from sklearn.datasets import make_circles

def feature_map_1(X):
    return np.asarray((X[:,0], X[:,1], X[:,0]*X[:,1])).T

X, y = make_circles(100, factor=.1, noise=.1)
Z = feature_map_1(X)

#2D scatter plot
fig = plt.figure(figsize = (16,8))
ax = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c = y, cmap = 'viridis')
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('Original dataset')

#3D scatter plot
ax = fig.add_subplot(1, 2, 2, projection='3d')
ax.scatter3D(Z[:,0],Z[:,1], Z[:,2],c = y, cmap = 'viridis' ) #,rstride = 5, cstride = 5, cmap = 'jet', alpha = .4, edgecolor = 'none' )
ax.set_xlabel('$z_1$')
ax.set_ylabel('$z_2$')
ax.set_zlabel('$z_3$')
ax.set_title('Transformed dataset')

我们将线性核函数映射后的数据可视化，得到的结果如图3所示，但从结果发现，线性映射之后的数据点仍然不是线性可分的。

图3

4.2 多项式核

二维二阶多项式核函数：

因此， $\phi (\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} \sqrt{2}x_{1}x_{2}\\ x_{1}^{2}\\ x_{2}^{2}\\ \end{pmatrix}$

画出经二阶多项式映射后的数据分布：

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from mpl_toolkits import mplot3d
from IPython.display import HTML, Image

#%matplotlib inline
sns.set()

from sklearn.datasets import make_circles

def feature_map_0(X):
    return np.asarray((X[:,0]**2, X[:,1]**2, np.sqrt(2)*X[:,0]*X[:,1])).T

X, y = make_circles(100, factor=.1, noise=.1)
Z = feature_map_0(X)

#2D scatter plot
fig = plt.figure(figsize = (16,8))
ax = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c = y, cmap = 'viridis')
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('Original dataset')

#3D scatter plot
ax = fig.add_subplot(1, 2, 2, projection='3d')
ax.scatter3D(Z[:,0],Z[:,1], Z[:,2],c = y, cmap = 'viridis' ) #,rstride = 5, cstride = 5, cmap = 'jet', alpha = .4, edgecolor = 'none' )
ax.set_xlabel('$z_1$')
ax.set_ylabel('$z_2$')
ax.set_zlabel('$z_3$')
ax.set_title('Transformed dataset')

图4

参考