在实际的工作和生活过程中，优化问题无处不在，比如资源如何分配效益最高，拟合问题，最小最大值问题等等。优化问题一般分为局部最优和全局最优，局部最优，就是在函数值空间的一个有限区域内寻找最小值；而全局最优，是在函数值空间整个区域寻找最小值问题。
函数局部最小点是那种它的函数值小于或等于附近点的点。但是有可能大于较远距离的点。
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全局最小点是那种它的函数值小于或等于所有的可行点。
全局优化和局部优化区别示意图
matlab中的提供的传统优化工具箱（Optimization Tool），能实现局部最优，但要得全局最优，则要用全局最优化算法（Global Optimization Tool），主要包括：
GlobalSearch 全局搜索和MultiStart多起点方法产生若干起始点，然后它们用局部求解器去找到起始点吸引盆处的最优点。
ga 遗传算法用一组起始点（称为种群），通过迭代从种群中产生更好的点，只要初始种群覆盖几个盆，GA就能检查几个盆。
simulannealbnd模拟退火完成一个随机搜索，通常，模拟退火算法接受一个点，只要这个点比前面那个好，它也偶而接受一个比较糟的点，目的是转向不同的盆。
patternsearch模式搜索算法在接受一个点之前要看看其附近的一组点。假如附近的某些点属于不同的盆，模式搜索算法本质上时同时搜索若干个盆。
下面我就一些具体例子，来说明各种优化方法：
- 先看一个求最小值的普通优化问题
%%目标函数
f = @(x) x.*sin(x) + x.*cos(2.*x);
%% 的取值范围
lb = 0;
ub = 10;
%% 寻找最小值和绘图
x0 = [0 1 3 6 8 10];
hf = figure;
for i=1:6
x(i) = fmincon(f,x0(i),[],[],[],[],lb,ub,[],...
optimset('Algorithm','SQP','Disp','none'));
subplot(2,3,i)
ezplot(f,[lb ub]);
hold on
plot(x0(i),f(x0(i)),'k+')
plot(x(i),f(x(i)),'ro')
hold off
title(['Starting at ',num2str(x0(i))])
if i == 1 || i == 4
ylabel('x sin(x) + x cos(2 x)')
end
end
可以看出，初值x0不同，得到的结果截然不同，这说明这种求解器，能寻找局部最优，但不一定是全局最优，在起点为8时，取得全局最优。
我们换一种求解器：fminbound,这种求解器不需要给点初值。
x2 = fminbnd(f,lb,ub);
figure
ezplot(f,[lb ub]);
hold on
plot(x2,f(x2),'ro')
hold off
ylabel('x sin(x) + x cos(2 x)')
title({'Solution using fminbnd.','Required no starting point!'})
- 现在我们尝试全局最优的方法：GlobalSearch
% Leason Learned: Use the appropriate solver for your problem type!
%% But what if |fmincon| was the only choice?
% Use globalSearch or MultiStart
problem = createOptimProblem('fmincon','objective',f,'x0',x0(1),'lb',lb,...
'ub',ub,'options',optimset('Algorithm','SQP','Disp','none'));
gs = GlobalSearch;
xgs = run(gs,problem);
figure
ezplot(f,[lb ub]);
hold on
plot(xgs,f(xgs),'ro')
hold off
ylabel('x sin(x) + x cos(2 x)')
title('Solution using globalSearch.')
因此全局最优的方法能够获取全局最优。
- 再看一个线性拟合的问题:
close all, clear all, clc
%% Pharmacokinetic Data
t = [ 3.92, 7.93, 11.89, 23.90, 47.87, 71.91, 93.85, 117.84 ] %#ok<*NOPTS>
c = [0.163, 0.679, 0.679, 0.388, 0.183, 0.125, 0.086, 0.0624 ]
plot(t,c,'o'), xlabel('t'), ylabel('c')
%% 3 Compartment Model
model = @(b,t) b(1)*exp(-b(4)*t) + b(2)*exp(-b(5)*t) + b(3)*exp(-b(6)*t)
%% Define Optimization Problem
problem = createOptimProblem('lsqcurvefit', ...
'objective', model, ...
'xdata', t, 'ydata', c, ...
'x0',ones(1,6),...
'lb', [-10 -10 -10 0 0 0 ],...
'ub', [ 10 10 10 0.5 0.5 0.5], ...
'options',optimset('OutputFcn',...
@curvefittingPlotIterates))
%% solve
b = lsqcurvefit(problem)
结果：最小二乘拟合结果误差较大
- 现在我们尝试全局最优方法：MultiStart
%% Multistart
ms = MultiStart
[b,fval,exitflag,output,solutions] = run(ms, problem, 50) %#ok<*NASGU,*ASGLU>
%%
curvefittingPlotIterates(solutions)
%%
problem.options.OutputFcn = {};
tic, [b,fval,exitflag,output,solutions] = run(ms, problem, 100), toc %计算算法的时间
可以看出全局优化结果较好，误差较小。
这种算法的运行时间：Elapsed time is 6.139324 seconds.
使用并行计算的方式解决
%% Parallel Version
matlabpool open 2 %开启两个matlab并行计算
ms.UseParallel = 'always' %开启并行计算
tic, [bp,fvalp,exitflagp,outputp,solutionsp] = run(ms, problem, 100); toc
matlabpool close
结果：14 out of 100 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.
Elapsed time is 4.358762 seconds.Sending a stop signal to all the labs ... stopped.可以看出，运行时间减少，提高了效率。
- 再看一个寻找最小值的问题
%% Objective Function
% We wish find the minimum of the |peaks| function
clear all, close all, clc
peaks
%% Nonlinear Constraint Function
% Subject to a nonlinear constraint defined by a circular region of radius
% three around the origin
type circularConstraint
%% Define Optimization Problem
problem = createOptimProblem('fmincon',...
'objective',@(x) peaks(x(1),x(2)), ...
'nonlcon',@circularConstraint,...
'x0',[-1 -1],...
'lb',[-3 -3],...
'ub',[3 3],...
'options',optimset('OutputFcn',...
@peaksPlotIterates))
%% Run the solver |fmincon| from the inital point
% We can see the solution is not the global minimum
[x,f] = fmincon(problem)
这种方法只能寻找局部最优。
现在用全局优化算法：
%% Use |MultiStart| to Find the Global Minimum
% Define the multistart solver
close all
ms = MultiStart %这里可以换成GlobalSearch
%% Run |Multistart|
% Well use 5 starting points
[x,f,exitflag,output,solutions] = run(ms, problem, 5)
- 再举一个模拟退火即模式搜索的算法 ：
[x fval] = simulannealbnd(@objfun,x0,lb,ub,options)
%% Objective Function
% We wish find the minimum of the |peaks| function
clear all, close all, clc
peaks
%% Nonlinear Constraint Function
% Subject to a nonlinear constraint defined by a circular region of radius
% three around the origin
type circularConstraint
%% Define Optimization Problem
problem = createOptimProblem('fmincon',...
'objective',@(x) peaks(x(1),x(2)), ...
'nonlcon',@circularConstraint,...
'x0',[-1 -1],...
'lb',[-3 -3],...
'ub',[3 3],...
'options',optimset('OutputFcn',...
@peaksPlotIterates))
%% Run the solver |fmincon| from the inital point
% We can see the solution is not the global minimum
[x,f] = fmincon(problem)
%% Use Simmulated Annealing to Find the Global Minimum
% Solve the problem using simmulated annealing. Note that simmulated
% annealing does not support nonlinear so we need to account for this in
% the objective function.
problem.solver = 'simulannealbnd';
problem.objective = @(x) peaks(x(1),x(2)) + (x(1)^2 + x(2)^2 - 9);
problem.options = saoptimset('OutputFcn',@peaksPlotIterates,...
'Display','iter',...
'InitialTemperature',10,...
'MaxIter',300)
[x,f] = simulannealbnd(problem)
f = peaks(x(1),x(2))
- Use Pattern Search to Find the Global Minimum
%% Use Pattern Search to Find the Global Minimum
% Solve the problem using pattern search.
problem.solver = 'patternsearch';
problem.options = psoptimset('OutputFcn',@peaksPlotIterates,...
'Display','iter',...
'SearchMethod',{@searchlhs})
[x,f] = patternsearch(problem)
