「embedding白盒子」矩阵分解视角的word2vec模型

word2vec模型

我们仔细观察一下这个由三层神经网络组成的word2vec模型。输入词的onehot向量乘以一个矩阵W,再乘以一个矩阵W',再进行softmax,便得到了输出词的概率。

矩阵视角的word2vec模型(略去softmax)

仔细观察word2vec模型的feed forward公式,这不很像SVD矩阵分解吗?

Omer Levy 2014年的一篇论文证明了负采样下的skip-gram模型(skip-gram with negative sampling, SGNS)与PMI矩阵分解仅仅差一个常数项;或者说,与PMI矩阵减去常数项logk的分解等价。
PMI矩阵就是逐点互信息矩阵,以词的总数量为矩阵维度(方阵);PMI的元素是词和词之间的pointwise mutual information(PMI),假设D是语料库,c是词w的上下文,\#(w,c)是词对(w,c)的出现次数,那么词对(w,c)的PMI是log\left ( \frac{\#(w,c)\left | D \right |}{\#(w)\#(c)} \right )。证明过程有兴趣的可以阅读文献原文,下面有链接,反正我是没兴趣了。


2021/06/10更新:上文是昨天写的,今天突然又有兴趣了,现在就开始推导一番吧。首先我们看看没有负采样情况下,损失函数的公式:
\sum_{(w,c)\in D}log\frac{exp(v_c^Tv_w)}{\sum_{c'\in C}exp(v_{c'}^Tv_w)}=\sum_{(w,c)\in D}\left (v_c^Tv_w-log\sum_{c'}exp(v_{c'}^Tv_w) \right )
其实就是对v_c^Tv_w进行softmax,再取对数;本质上是一个\left | V \right |分类。负采样下,softmax变成了sigmoid;多分类变成了多个二分类,即一个正样本和若干个负样本的二分类。上文的稠密向量用v_cv_w表示,从下文开始,稠密向量直接表示为cw,与原论文的保持一致。负采样下,多个二分类的损失函数是:
\sum_{c\in V_C}\sum_{w\in V_W}\#(w,c)\left ( log\sigma (w^Tc)+k\mathbb{E}_{c_N\sim P_D} \left [ log\sigma(-w^Tc_N) \right ] \right )
其中k是负样本数量。我们都知道sigmoid和softmax的等价性,但是为什么负采样下的损失函数可以写成这样我依然云里雾里。后来在Mikolov的负采样的那篇论文说,在负采样提出来之前有一种提高word2vec运算速度的trick叫做噪声对比估计(NCE),上式只是简化版的NCE损失函数。有兴趣的可以去看看相关论文,反正我是没兴趣了。上式其实是多个二分类sigmoid损失加起来,其中第一个sigmoid损失是正样本,第二项则是若干个负样本的sigmoid损失之和(sigmoid损失,就是sigmoid取对数。更严格地来说,还要再加个负号,但是原论文没有所以我也没写)。
经过一顿改写,再让损失函数对w^Tc求导,得到以下等式:
w^Tc=log\left ( \frac{\#(w,c)\left | D \right |}{\#(w)\#(c)} \right ) - logk
上面这个式子表达的是什么意思呢?意思是,输入词的稠密向量和上下文的稠密向量的内积w^Tc等于词wc的互信息减去常数项logk。上式的右边是互信息矩阵的其中一个元素,左边是被分解之后的两个矩阵里,抽取词wc对应的向量的内积。
中间的推导过程我依然省略了很多,其实这里面的数学推导并不难,但是原论文写得太晦涩了,我依然看不太懂。写这个文章我可以装作我已经懂了的样子,并且把我不懂的推导过程直接跳过。就这样吧。

参考
[1]Neural Word Embedding as Implicit Matrix Factorization, Omer Levy, etc. 2014
[2]从PMI矩阵分解的角度看word2vec - 知乎

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