MPC之持续扰动下带约束的预测控制（L. Chisci 2001）

原文标题：Systems with persistent disturbances: predictive control with restricted constraints

摘要

本论文解决在此场景下的LDTS（线性离散时间系统）的predictive state control：持续有界扰动、控制约束。
通常情况：约束和扰动会使得控制器不可行、不稳定。
结果通过仿真图像展示。

1. 介绍

predictive control law: 最小化moving horizon performance index（考虑控制量、状态约束）
没有扰动的控制已被充分讨论：(Keerthi & Gilbert, 1988)
如何保证稳定：ensure feasibility, 即admissible input sequence（满足约束和terminal conditions），但nominal cost constrained minimization for future state vectors在扰动下无法实现
旧方法：min-max最优化（Lee and Yu 1997，Scokaert and Mayne 1998），但是两大缺点：计算成本高；在最坏情况下的扰动下表现糟糕。
正确的考量：在所有可能的扰动下，最小化nominal performance index。例如，给予合适的约束（Casavola and Mosca，1996；Gossner et al.，1997）。
本文基于Gossner的结果做了很大改进，提出了robust predictive controller。1. 使用了状态-空间框架，因此可用于多变量系统，原只考虑SISO系统。2. 适用于任何stablizing terminal control law，原只用于dead-beat terminal conditions。3. 不仅在有界状态响应和无扰动下保证了渐进稳定，还保证在终端线性反馈和扰动下，状态收敛于最小可行鲁棒不变集（the set of all states reachable from the origin under the disturbance input and the terminal linear constant feedback）。

2. 问题成型

2.1 集合的相关定义

$\mathscr{A+B}$ ：所有元素的组合的和
$\mathscr{A-B}$ ：同上，作差
$M\mathscr{(A)}$ : 对 $\mathscr{A}$ 所有元素用M映射
$M^{-1}\mathscr{(C)}$ : 所有使Ma= $\mathscr{C}$ 的a
$\mathscr{A\sim B}$ : 所有使a+ $\mathscr{B}$ 包含于 $\mathscr{A}$ 的a
$int\mathscr{(A)}$ ：A内部

2.2 系统定义

凡满足（2）的扰动称为admissible
$\mathscr{(A,B)}$ 可稳定
$\mathscr{U,X,W}$ 都包含原点
$\mathscr{U,W}$ 都是compact set（闭集合且无聚点）

2.3 控制目标

设计一个非线性的状态反馈—— $u_t=g(x_t)$ ，能使系统到达原点的邻域Ω（尽量小），并在满足所有约束和条件下reduce to a linear well-tuned feedback。

nominal feedback: $u_t=Fx_t$ ，无约束下的最优控制，假设已知并固定。因此渐进稳定的nominal闭环系统是：

$\Phi$ 的所有特征值在单位圆内。

Definition 1: $\Sigma \subset \mathbb{R^n}$ ，若对所有x和w，都有 $Ax+Dw$ 也在 $\Sigma$ 内，则称为d-invariant，扰动不变集。

$\mathscr{X}_c\triangleq \mathscr{X}\cap F^{-1}\mathscr{(U)}$ ：在nominal feedback下满足约束的状态。
重新定义Ω：闭环系统的 $\mathscr{X}_c$ 的最小d-invariant。
$\mathscr{R}_j\triangleq \sum_{i=0}^{j-1}\Phi^iD\mathscr{W}$ : 标称线性闭环系统的j步可达集（从原点出发，有扰动w）。1. $j\rightarrow \infty$ 时极限存在，且 $\mathscr{R}_\infty$ 为最小compact d-invariant set, 即 $\subset \Sigma$ 。即， $\mathscr{R}_\infty \subset \mathscr{X}_c \iff \mathscr{X}_c$ 有d-invariant。

2.4 重申控制目标

新目标：使非线性反馈渐进趋于nominal feedback，即：

3. Robust predictive control via 约束限制

NPC Nominal Predictive Control：无扰动下的控制
RPC Robust Predictive Control：考虑扰动
$c_{t+k|t}$ : 在t时刻根据nominal feedback计划的未来动作
$x_{t+k|t},u_{t+k|t}$ : 根据 $x_t, c_{t+j|t}$ 得到的不考虑扰动的对 $x_{t+k},u_{t+k}$ 的预估， $0\leq j<k$

3.1 NPC

根据t时刻的状态 $x_t$ ：

损失函数： $\min J\triangleq \sum_{k=0}^{N-1} c^T_{t+k|t}\Psi c_{t+k|t}$
约束
求最优解： $\hat{C}_t\triangleq [\hat{c}^T_{t|t},\hat{c}^T_{t+1|t},\dots,\hat{c}^T_{t+N-1|t}]^T$
$c_t=\hat{c}_{t|t}$ ，代入 $u_t=Fx_t+c_t$

Remark 2: N为控制时域，代表总共考虑几步。N越大表现越好，可行域越大但计算成本越高。
Remark 3：J代表和nomianl control的偏差。若F是无约束的LQ反馈增益并要获得最小的u和x的二次损失，则 $\Psi=R+B^TPB$ ，P来自Riccati方程，此时u和x的二次损失变为知名的LQ方程：

Remark 4：

c_t\triangleq \hat{c}_{t|t}=c({x_t})

，最优控制序列的第一项依赖

x_t

，用以定义

g(x_t)=Fx_t+c(x_t)

Remark 5: 每个x和u都需要在k>0时满足约束，但无穷多的约束可化简为有限个（

N+i^*

）。

3.2 RPC

考虑扰动，真实的x和u如下：
$x_{t+k}=x_{t+k|t}+\sum^k_{i=1} \Phi^{i-1}Dw_{t+k-i}$
$u_{t+k}=u_{t+k|t}+\sum^k_{i=1}F \Phi^{i-1}Dw_{t+k-i}$
都由无扰动预测和扰动下的强制响应两项组成。因此，NPC中的（18）约束改写为更严格的：
$x_{t+k|t}\in \mathscr{X}_k,\; u_{t+k|t}\in \mathscr{U}_k, \; k\geq 0$ , 其中:
$\mathscr{X}_k\triangleq \mathscr{X}\sim \mathscr{R}_k,\;\mathscr{U}_k\triangleq \mathscr{U}\sim F\mathscr{R}_k.\quad (21)$
将NPC的约束（18）改为如上即RPC算法，根据 $x_t$ 计算 $u_t$ 。

3.3 实现中的问题

为将无限多的约束（21）减少，实际上当 $k\geq N$ 时，等价于 $x_{t+N|t}\in \Sigma_0 \sim \mathscr{R}_N$ ，其中 $\Sigma_0\triangleq\{x:\Phi^ix\in \mathscr{X}, F\Phi^ix\in \mathscr{X} \text{ for }i = 0,1,\dots,i^*\}$ ，在XUW都是多面体时i*可由LP工具离线确定。因此，约束（21）可改写为：
$x_{t+k|t}\in \mathscr{X}_k,\; u_{t+k|t}\in \mathscr{U}_k, \; k=0,1,\dots,N-1$ ,
$x_{t+N|t}\in \Sigma_0 \sim \mathscr{R}_N\qquad (25)$
RPC问题也改写为：

其中，L M v是一些合适的矩阵，代表了约束（25）。这个RPC算法比原论文有两点不同：

采用状态x而不是输入-输出框架，从而可以考虑广义的状态约束如U W；
nominal feedback不需要是deadbeat，反而deadbeat可能缩小可行域。

4. 主要结果

Definition 6:
$C_t$ 对 $x_t$ admissible: 满足14-17、21约束
$x_t$ feasible：存在admissible的 $C_t$

4.1 Feasibility and stability

Lemma 7: 若 $\hat C$ 对 $x_t$ admissible $\Rightarrow \tilde C_{t+1}$ 对 $x_{t+1}$ 也 admissible
证略。
Theorem 8: 若 $x_0$ feasible, RPC反馈 $u_t=Fx_t+c_t, c_t=\hat c_{t|t}$ ，则1. x和u在所有时刻满足约束X U；2. $c_\infty=0$ ；3. $x_\infty\rightarrow\mathscr R_\infty$
证略。
借Theorem 8可知，只要初始态为可行域，则通过RPC反馈可保证最终态收敛于 $\mathscr R_\infty$ 。

4.2 吸引域（the domain of attraction）

$\underline\Sigma_N$ :
解释1：可行的初始域，取决于N，也是RPC反馈下的闭环系统的吸引域， $\in \mathscr X$ 。
解释2：在扰动下在N步内收敛入 $\Sigma_0$ .
若W X U都是凸多面体， $\Sigma_0, \underline\Sigma_N$ 都是凸多面体。且：
$\underline\Sigma_N=\{x|\exists c: M_Nc+L_Nx\leq v_n\}$

5. 比较

将RPC算法与已有的：1. NPC；2. deadbeat RPC；3. Command Governers 分别比较。对第3还进行融合测试。
测试例子中，给出A B D F矩阵，给出 $\mathscr{X, U, W}$ 的约束条件，给出Q,R，F是根据Q R得出的LQ增益，系统特征值都在单位圆外。

5.1 和NPC比较

定义：

$\overline\Sigma_N$ ：无扰动NPC下的吸引域
$\overline\Sigma_0$ ： $\mathscr X_c$ 的最大不变集（？
$\underline\Sigma_N\subset \overline\Sigma_N$ : 比较扰动的影响
结论：RPC在域内可以处理最坏情况的扰动，保持稳定。

5.2 与deadbeat RPC比较

本算法吸引域更大，或者说，同样的吸引域，算力成本更低。

5.3 与Command Governor (CG)的连接

CG 的论文（Casavola
&Mosca (1996); Gilbert&Kolmanovsky (1999)）
虽然CG原始的作用是定值跟踪(set point tracking)，但也可用于调整。
以下是重塑的CG算法：

N=0
将（16）的控制序列改为： $u_{t+k|t}=Fx_{t+k|t}+\gamma,\; k\geq 0$
损失函数： $J(\gamma)\triangleq \gamma^T\Psi_\gamma\gamma\triangleq||\gamma||^2_\Psi, \Psi_\gamma=\Psi_\gamma^T>0$

$\gamma$ ：满足约束的自由度，取代N。
$x(\gamma)=(I-\Phi)^{-1}B\gamma$ : 平衡状态
$u(\gamma)=[F(I-\Phi)^{-1}B+I]\gamma$ ：输入
$\Gamma\triangleq\{\gamma:\;x(\gamma)\in int(\mathscr X_\infty),u(\gamma)\in int(\mathscr U_\infty)\}$ ：set of statically admissible commands
$\Sigma_0(\gamma)\triangleq\{x:\Phi^k(x-x(\gamma))+x(\gamma)\in\mathscr X_k \text{ and } F\Phi^k(x-x(\gamma))+u(\gamma)\in\mathscr U_k,\forall k\geq 0\}$ ： $\mathscr X_c$ 的最大d-invariant。
CG算法可表示为：
$\gamma_t=\gamma(x_t)=\arg \min_{\gamma\in\Gamma} ||\gamma||^2_\Psi, \text{ subject to } x_t\in\Sigma_0(\gamma)$
$\Sigma_0(\Gamma)\triangleq\bigcup_{\gamma\in\Gamma}\Sigma_0(\gamma)$ : 对任何 $x_0\in\Sigma_0(\Gamma)$ , 有限时间后所有 $\gamma_t=0$ 。即相当于RPC的 $\underline\Sigma_N$ 。
对于CG算法，通过遍历 $\Gamma$ 的所有 $\gamma$ 来扩大 $\Sigma_0$ , 而RPC则通过N个自由控制步数来将 $\Sigma_0$ 来扩张到 $\underline\Sigma_N$ 。显然N步的提升性能更好
RPC也可用于定值追踪。 $\tilde x=x-x(\gamma), \tilde u=u-u(\gamma)$ ，反馈command是 $\gamma=u(\gamma)-Fx(\gamma)$ 。只要 $x_t\in\underline\Sigma_N(\gamma)$ ,即 $\Sigma_0(\gamma)$ 在N步自由控制后。
只要 $x(\gamma_1)+\mathscr R_\infty\subset\underline\Sigma_N(\gamma_2)$ ，即可从 $\gamma_1$ 转换到 $\gamma_2$ 。
可以将两者RPC和CG结合起来：
$u_{t+k|t}=Fx_{t+k|t}+c_{t+k|t}+\gamma, k\geq 0, c_{t+k|t}=0, k\geq N$

6. 总结

合适的约束限制可以使预测控制器更鲁棒。如果初始状态是可行的，则未来对于所有允许的扰动都是可行的。由于约束限制可以离线运算，可以避免在线的额外计算负担。

最后编辑于：2023.01.12 10:49:19

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