三维矢量和二阶张量的一些运算

——基于爱因斯坦求和规则

如无特别说明，以下所有的矢量或者张量都是三维的

矢量符号或者张量符号就不打了，大写字母表示二阶张量，小写字母表示矢量，希腊字母表示标量

矢量的点乘、叉乘和并矢

点乘
$\phi = a_ib_i$
叉乘
$c_i = \epsilon_{ijk}a_jb_k$
其中， $\epsilon_{ijk}$ 为三阶反对称张量.
并矢
$T_{ij} = a_ib_j$

二阶张量和矢量运算

张量和矢量点乘
$b_i = A_{ij}a_j$
矢量和张量点乘
$c_i = a_jA_{ji}$
矢量和张量叉乘
$T_{ij} = \epsilon_{ikl}a_{k}A_{lj}$

二阶矢量的特殊运算

点乘（虽然不算什么特殊运算）
$C_{ij} = A_{ik}B_{kj}$
双点乘
$\phi = A:B = A_{ij}B_{ji} = trace(AB)$
迹
$trace(A) = A_{ii} = A_{ij}\delta_{ji} = A:I$
矩阵的行列式（可以看成三个矢量加上反对称张量的缩并，然而并没有什么卵用）

$det(A) = \epsilon_{ijk}A_{1i}A_{2j}A_{3k} = \epsilon_{ijk}A_{i1}A_{j2}A_{k3}$

梯度，散度，旋度， $\nabla$ 算子与矢量的并矢

$\nabla$ 算子
$\nabla = \dfrac{\partial}{\partial x}\vec{e_x} + \dfrac{\partial}{\partial y}\vec{e_y} + \dfrac{\partial}{\partial z} \vec{e_z}$
这是可以看成一个矢量的，也可以写成
$\nabla_i = \partial_i = \dfrac{\partial}{\partial x_i}$
矢量的散度
$\phi = \nabla\cdot\vec{a} = \partial_i a_i$
标量的梯度
$a_i = \partial_i \phi$
$\nabla$ 算子与矢量的并矢其实就矢量的梯度，形成二阶张量
$T_{ij} = \nabla\vec{a} = \partial_i a_j$
矢量的旋度
$b_i = \nabla\times\vec{a} = \epsilon_{ijk}\partial_ja_k$
并矢的散度
$\nabla\cdot(\vec{a}\vec{b}) = \partial_i(a_ib_j) = (\partial_ia_i)b_j + a_i(\partial_ib_j) = (\nabla\cdot\vec{a})\vec{b} + \vec{a}\cdot\nabla\vec{b}$
并矢的旋度
$\nabla\times(\vec{a}\vec{b}) = \epsilon_{ijk}\partial_j(a_kb_l) = \epsilon_{ijk}(\partial_ja_k)b_l+\epsilon_{ijk}a_k(\partial_kb_l) = (\nabla\times\vec{a})\vec{b} + \vec{a}\times(\nabla\vec{b})$

一些公式

$\nabla$ 算子的二阶作用

$\begin{aligned} \nabla^2\phi &= (\nabla\cdot\nabla)\phi \\ \nabla\times(\nabla\times\vec{a}) &= \nabla(\nabla\cdot\vec{a}) - \nabla^2\vec{a} \\ \nabla\times\nabla\phi &= 0 \\ \nabla\cdot(\nabla\times\vec{a}) &= 0 \end{aligned}$

以其中第二个式子的证明为例
$\nabla\times(\nabla\times\vec{a}) =\epsilon_{ijk}\partial_j(\epsilon_{klm}\partial_la_m) = \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\partial_j\partial_la_m \\ = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_j\partial_la_m = \partial_i(\partial_ja_j) - \partial_j\partial_ja_i \\ = \nabla(\nabla\cdot\vec{a})-\nabla^2\vec{a}$