对于下面一个序列：

2，1，5，3，6，4，8，9，7

求其最长递增子序列（可以不连续但顺序不可变）

解法一：动态规划法（O(N^2)）

既然是动态规划法，那么最重要的自然就是寻找子问题，对于这个问题，我们找到他的子问题：

对于长度为N的数组A[N] = {a0, a1, a2, ..., an-1}，假设假设我们想求以aj结尾的最大递增子序列长度，设为L[j]，那么L[j] = max(L[i]) + 1, where i < j && a[i] < a[j], 也就是i的范围是0到j - 1。这样，想求aj结尾的最大递增子序列的长度，我们就需要遍历j之前的所有位置i（0到j-1），找出a[i] < a[j]，计算这些i中，能产生最大L[i]的i，之后就可以求出L[j]。之后我对每一个A[N]中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列的长度，这些长度的最大值，就是我们要求的问题——数组A的最大递增子序列。

时间复杂度：由于每一次都要与之前的所有i做比较，这样时间复杂度为O(N^2)。

解法二：动态规划法（O(NlogN)）

上面的解法时间复杂度为O(N^2)。仔细分析一下原因，之所以慢，是因为对于每一个新的位置j都需要遍历j之前的所以位置，找出之前位置最长递增子序列长度。那么我们是不是可以有一中方法能不用遍历之前所有的位置，而可以更快的确定i的位置呢？

这就需要申请一个长度为N的空间，B[N]，用变量len记录现在的最长递增子序列的长度。

B数组内任意元素B[i]，记录的是最长递增子序列长度为i的序列的末尾元素的值，也就是这个最长递增子序列的最大元素的大小值。同时，后面会发现B[1...i]也是一个单调递增序列。

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，因为2比1大，1在后续的价值要大。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意，这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

补充：

假如x<y<t且a[x]<a[y],f[x]=f[y]（其中f[x]表示a[1...x]的序列其最长递增子序列的长度），也就是说选取x,y都可以更新得到相同的f[t]的值，那么选取谁呢。显然选取x会更优，因为在a[x]…a[y]中如果存在a[z],使得a[x]<a[z]<a[y]，那么就可以通过x得到更长的最长不降子序列的值。

根据f的值进行分类，我们只需要保留满足f[t]=k的所有a[t]中的最小值，设d[k]记录这个值，即d[k]:=min{a[t]}(f[t]=k)，也就是k表示最长递增子序列的长度。

我们注意到d有两个特点：

1.       d[k]的更新值在整个过程中是单调不上升的。

2.       d数组是有序的。即d[1]<d[2]<...<d[k]

利用d，我们可以得到一种计算最长上升子序列的方法。设当前已经求出的最长上升序

列的长度为len，每次读入一个新元素x。

如果x>d[len]将其直接假如d，inc(len)得到更长的序列

否则，在d中查找到第一个比该元素小的元素d[k]，将该元素加入，d[k+1]:=x;如果使用

顺序查找效率会很低，所以采用二分查找，将其复杂度降为log级，难点在于二分查找。

本题中的单调队列的出现时利用决策的性质，用元素在动归中的价值分类。在入队操做

时并未让所有元素出队，而是直接插入相应位置（实质是替换更新），这是根据题目的特殊性决定的。对于一个单调的序列往往用二分法。