几年前，VR设备还没有大肆兴起的时候，据说我们每天要在屏幕前度过8小时，有时甚至会长达十几个小时，这段时间里陪伴我们的包括手机，电脑，pad，智能手表，电视甚至是街头的电子广告牌。这些屏幕里能显示各式各样的内容，分辨率越高，色域越广的显示屏给我们的代入感也越强。简单地说，透过一块块2D的屏幕，我们通过简单“脑补”就可以获得一种3D的体验。我们能做到这一点有两个原因，一是屏幕内显示的内容本身就和现实世界十分相似，或者就是现实世界的录像；二是我们本身生活在一个三维世界里，这里的一切对于我们来说都太熟悉了。许多艺术作品也是利用了这一点，创造出了很多3D画作，错觉艺术和立体图等等。

经典的平面深坑画作

手绘的立体图，双眼聚焦在屏幕后面的远处产生重影，直到两个正方体重叠。看到的3维效果是一个“不可能盒子”（文末提供更多初级立体图供大家尝试~）

四维超立方体（Hypercube）的12个面

那如果你眼前是一个四维或更高维度的物体呢，你还能轻易地脑补吗？

答案几乎是否定的。事实上，现代物理学的研究工作基于的假设是，宇宙中存在至少10维的空间（弦理论的基础）。但就好像二维的纸片人无法理解3维物体一样，我们身处三维世界，更高维度的物体已经超出了常人的认知。

四维超立方体（Tesseract）在三维世界的投影

可以看到，四维空间里的物体转动起来，在我们眼里成了不断变化的形体。这意味着，它还有一根隐藏的轴线，当它绕着那根隐藏轴线转动时，物体凭空改变形状的事情就发生了，这样一来你还想象得出它完全体的样子吗？既然不能用感性的方法来理解，那我们不妨从数学的角度来理性的看看。

数学维度

一维物体在数学上可以看成是直线轴上的点，而一维的世界就是直线上的世界。在某个确定的“世界”中，你只需要一个数就可以确定一个点的位置，我们把它叫做x（不是嫌疑犯）。

由于整个世界就是一条直线，所以面积这个概念是不存在的。假如你生活在一维的世界里，你看到的就只有远近不同的点或者是它们连成的线段，感觉好像非常单调，但是毕竟除了点和线段之外你也没见过别的东西，所以大概也还好。

一维世界（截取自Dimensions - A walk through mathematics）

二维物体在数学上可以看成是平面上的形状，这个世界就是一个无边无际的平板，由两条相互垂直的轴构成，其中物体可以是各种奇怪的平面图形，当然也可以是一个点。这时，在某个确定的“世界”中，你需要两个数来确定一个点在哪，我们把它叫做（x，y）。

二维世界里想要找到别人就不太容易了，除了距离之外你还需要一个方向，当然，这里说的方向只包括前后左右这些平面里的方向。一件有趣的事情是：在二维世界中，你并不能一眼看出别人占的面积究竟有多大。因为你的视野限制在平面中，你能看到的“别人”全是一些没有厚度的线段。

二维世界（截取自Dimensions - A walk through mathematics）

三维物体在数学上可以看成是空间上的形体，这个空间由三条相互垂直的轴构成。我们终于来到了熟悉的世界，里面的物体有长有宽也有高度/厚度。当然，在某个确定的“世界”中，你就需要三个数来确定一个点在哪，我们把它叫做（x，y，z）。

三维世界似乎已经很多姿多彩了，你能想象到的各种物件应有尽有，它们可以盘根错节，也可以规规整整，可以像云一样稀薄，也可以像铁一样坚固，还有所有一切你熟知的物理定律，化学规律。但是这一切的满足感终是源自于自己的无知，我们感叹现实世界的繁杂是因为没有体验过更高维度的世界。

三维世界（截取自Dimensions - A walk through mathematics）

四维物体存在于四维空间中，但是我们无法在三维空间再找出一根满足垂直要求的轴线了，这第四根轴线注定不存在于我们的世界中，但是它却留下了许多传说。爱因斯坦曾把第四维度描述为时间，由此引申出了“时空”的概念，这样看来我们也是生活在四维世界中的，只是存在的位置还不够高，无法看清世界的全貌。

Credit: evoluasuaconsciencia 时空概念

基于这一想法衍生出来的理论很多，呈现出一种众说纷纭的状态，但是更多的是一种哲学性思考，从0维的“世界即是一个无限小的点”到10维的囊括宇宙所有可能的“真理”世界，可以简单看成人们对自我认知的表述，或者理解成宇宙的形成过程。其中用“意识”，“感知”和“爱”来命名维度的做法Rex从理性的角度是不认可的。所以说，虽然同是四维，我们还是把“四维空间”和“四维时空”区别对待吧。

在二维马路上创作的三维图片

让我们再回到数学维度中，既然添加轴线的几何方法很难想像，我们就来尝试代数方法。从x到（x, y）再到（x, y, z），遵循规律我们得出四维空间中的点由（x, y, z, w）来描述。

但是这里多出来的w到底是干嘛的呢？我们可以理解成，这里一共存在许多个不同的三维世界，每一个世界都有一个编号，而这个编号就是w，要知道一个点在哪，我们除了知道三维空间里的位置之外，还要搞清楚它究竟在哪个三维世界里，也就是要知道w到底是几。这样一来我们就知道如何找到一个四维空间中的点了，也就可以对四维物体进行“计算”了。

以此类推，在五维空间中的点需要5个坐标才能确定（x, y, z, w, v）。

从三维世界看一切

由于我们还去不到四维世界，但是好奇宝宝那么多，想要看看四维的物体到底长什么样子的话，就需要投影到我们熟悉的三维世界来看。听起来好像很复杂，其实我们只要抓住一件事就可以了，那就是数学原理。

为了方便，我们来看看各个维度下，数学中的“球”：

二维和三维球体大家应该十分熟悉，就是圆形和球，其他的几个多少奇怪了一点，但是根据定义它们的确就是这样的呀。

接下来我们就开始投影吧，所谓的投影其实是一种降维。例如：

1. 要得到0维球体（原点），我们可以找一个一维球体（一段线段），只看它x=0的部分（相当于用点切割线段得到的部分）；

2. 同样，要得到一维球体，我们可以找一个二维球体（一个圆），只看它y=0的部分（相当于用直线切割圆形得到的部分）；

3. 接下来，二维球体可以找一个三维球体（一个球），只看它z=0的部分（相当于用平面切割球得到的部分）；

4. 最后要得到三维球体，我们找一个四维球体（一个超球，hypersphere），只看它w=0的部分（相当于用三维空间切割超球得到的部分）。

类似地，如果你不想只看一种样子的投影，可以选择在别的地方切割它们，比如在不同的位置切割球，你看到的是大小不一的圆。也就是说，如果你面前有一个四维空间里的超球，当w改变数值大小的时候，你能看到的就是这个球在变大或者缩小。这样一来，我们就完成了四维物体的投影，是不是很简单呀。

Credit: Union College 当四维超球穿过三维空间时我们看到的景象

Credit: Union College 当球体穿过二维平面时的景象

正是用这种投影的办法，我们得以窥见四维空间里小小的一部分，继续类比下去，更高维度的物体也可以被投影到大家熟悉的三维空间中来。

基于数学的方法，我们的确找到了很多高维度物体的特性，甚至利用维度的变换成功证明了一些猜想（封闭曲线的内接矩形问题）。但是到目前为止，我们还是没有办法完全了解和想象出高维度世界的全貌。

PS：3D打印那篇文章的封面，是一个正一百二十胞体（hecatonicosachoron，120-cell）的三维投影形状。它由120个正十二面体胞、720个正五边形面、1200条棱、600个顶点组成，是一个美丽的四维物体。戳这里：3D打印的艺术：打出一栋房子

最后附上几张立体图，有兴趣的朋友可以看看（双眼聚焦在屏幕后方的远处，出现重影后努力让两边相同的部分重叠，即可看到3D眼镜中的效果）~

蝎子

滑雪者

看图猜电影，看出来的可以把答案告诉我哦~

参考来源：

https://miriamchemmoss.wordpress.com/2010/10/06/reality-mathematics/

http://science.howstuffworks.com/science-vs-myth/everyday-myths/see-the-fourth-dimension.htm

https://en.wikipedia.org/wiki/120-cell

https://youtu.be/zwAD6dRSVyI

http://www.dimensions-math.org/Dim_E.htm

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