写在前面
小弟我从1月25号早晨六点题目发出竞赛开始，到今天1月29早晨9点停止提交论文。在四天多的时间里完成一篇20多页的英文论文，难度可想而知。这几天我的平均睡眠大概是每天五六个小时，最后一天通宵一直到早晨8点50多才提交的论文（据说为了防止网络延迟要提前一个小时以上交...好在最后成功提交了）。
这是我大学以来第二次参加美赛，这次三个同年级同数学系的热血青年一起完成了这篇论文。上次我主要负责翻译和排版，这次我负责编程和排版和一部分的写作。
题目理解
小弟是十足的权游迷，剧里面最喜欢的人物就是詹姆兰尼斯特。附上一张他单挑龙的帅气海报（刷虎扑顺手存的，画质感人）。
扯远了，我们组总之是经过讨论和我的坚持下选择A题，附上A题题目和中文翻译
A题原题
In the fictional television series Game of Thrones, based on the series of epic fantasy novels A Song of Ice and Fire[1], three dragons are raised by Daenerys Targaryen, the “Mother of Dragons.” When hatched, the dragons are small, roughly 10 kg, and after a year grow to roughly 30-40 kg. They continue to grow throughout their life depending on the conditions and amount of food available to them.
For the purposes of this problem, consider these three fictional dragons are living today. Assume that the basic biology of dragons described above is accurate. You will need to make some additional assumptions about dragons that might include, for example, that dragons are able to fly great distances, breath fire, and resist tremendous trauma. As you address the problem requirements, it should be clear how your assumptions are related to the physical constraints of the functions, size, diet, changes, or other characteristics associated with the animals.
Your team is assigned to analyze dragon characteristics, behavior, habits, diet, and interaction with their environment. To do so, you will have to consider many questions. At a minimum, address the following: What is the ecological impact and requirements of the dragons? What are the energy expenditures of the dragons, and what are their caloric intake requirements? How much area is required to support the three dragons? How large a community is necessary to support a dragon for varying levels of assistance that can be provided to the dragons? Be clear about what factors you are considering when addressing these questions.
As with other animals that migrate, dragons might travel to different regions of the world with very different climates. How important are the climate conditions to your analysis? For example, would moving a dragon between an arid region, a warm temperate region, and an arctic region make a big difference in the resources required to maintain and grow a dragon?
Once your dragon analysis is complete, draft a two-page letter to the author of A Song of Ice and Fire, George R.R. Martin, to provide guidance about how to maintain the realistic ecological underpinning of the story, especially with respect to the movement of dragons from arid regions to temperate regions and to arctic regions.
While your dragon analysis does not directly apply to a real physical situation, the mathematical modeling itself makes use of many realistic features used in modeling a situation. Aside from the modeling activities themselves, describe and discuss a situation outside of the realm of fictional dragons that your modeling efforts might help inform and provide insight?
Your submission should consist of:
- One-page Summary Sheet
- Two-page letter
- Your solution of no more than 20 pages, for a maximum of 23 pages with your summary and letter.
- Note: Reference list and any appendices do not count toward the 23-page limit and should appear after your completed solution.
NOTE: You should not make use of unauthorized images and materials whose use is restricted by copyright laws. Please be careful in how you use and cite the sources for your ideas and the materials used in your report.
A题题目翻译
问题A：生态博弈
在虚构的电视连续剧《权力的游戏》中，以史诗幻想小说《冰与火之歌》系列为基础[1]，三条龙是由“龙之母”丹妮莉斯·塔格利安抚养长大的，孵化时，龙很小，大约10公斤，一年后，大约长到30-40公斤。它们在一生中都在继续生长，这取决于它们所能获得的食物的条件和数量。就这个问题而言，假设这三条虚构的龙生活在今天。假设上面描述的龙的基本生物学是准确的。你需要对龙做一些额外的假设，例如，龙可以飞很远的距离，呼吸火焰，抵抗巨大的创伤。在您解决问题需求时，应该清楚您的假设与功能、大小、饮食、变化或与动物相关的其他特征的物理约束之间的关系。你的团队负责分析龙的特征、行为、习惯、饮食以及与环境的互动。要做到这一点，你必须考虑许多问题。至少要解决以下问题：龙的生态影响和要求是什么？龙的能量消耗是多少，它们的热量摄入要求是什么？支撑三条龙需要多少面积？一个生态群落需要多大的规模来支持一条龙，从而为龙提供不同程度的援助？在回答这些问题时，要清楚你在考虑哪些因素。与其他迁徙的动物一样，龙也可能会在气候迥异的世界各地旅行。气候条件对你的分析有多重要？例如，在干旱地区、温暖的温带地区和北极地区之间移动一条龙会对维持和生长一条龙所需的资源产生巨大的影响吗？一旦你的龙的分析完成，起草一封两页的信给《冰与火之歌》的作者乔治R.R.马丁，以指导如何保持故事的现实生态基础，特别是关于龙从干旱地区到温带地区和北极地区的运动。虽然您的Dragon分析不能直接应用于实际物理情况，但数学建模本身使用了许多用于建模情况的实际特性。除了建模活动本身，描述和讨论虚拟龙领域之外的情况，您的建模工作可能有助于通知和提供洞察力？
您提交的文件应包括：一页摘要表、两页信函、不超过20页的解决方案，最多23页摘要和信函。注意：参考列表和任何附录不计入23页的限制，应在完成解决方案后出现。注意：不得使用未经授权的图片和材料，这些图片和材料的使用受到版权法的限制。请注意如何使用和引用您的想法和报告中使用的材料的来源。
简单分析一下问题，我一开始估摸着要建立三四个模型，先是龙的能量消耗模型，再是扩展为三条龙情形下的模型，还有龙的迁移模型等。
这个题目的特点是没有具体数据，从以往来看很奇特，其实仔细一想可以查找一些关于猛禽饮食的数据啊它们占地面积的数据啊啥的，在就是一些鸟类迁徙模型。这只是查找资料，其实我们后来用的很少很少，主要还是在根据电视剧呈现的场景进行模拟。
第一个一条龙的模型（主要是队友做，我直接放结果了）
第一部分是我队友完成的，它用能量守恒的式子来一步步推倒，结合我用Matlab的cftool工具箱拟合出来的一条龙的体重-年龄曲线（拟合成了二次函数）
其中系数a和b算出的是a=51.81,b=0.4346
在那位队友的疯狂推导下（我没细看，大概是假设龙只吃羊，考虑羊繁殖等因素计算出来龙吃的那些羊吃草用来了多少土地，再加上经过查找的资料生物饮用的水占自身体重的百分比大概是15%，得到引用水的面积，两个面积求和就是龙所需要的最小面积）得到了结果是
(自己需要学习一下怎么打公式尤其用Latex或者MathJax)
之后我用Matlab绘制了个龙从0岁到十岁的曲线（简单的指令就不粘贴代码了）
把十年后的结果（即x=120时对应的Smin）的值放上
600.654926137078，单位时是平方公里，相当于半个洛杉矶城那么大。
三条龙的模型
这部分主要由小弟本人负责。下面详细讲解一下思路
问题本质是考虑龙之间相互影响对上面Smin公式具体代入三条龙年龄值相加结果的影响。再来一遍，细细思考一下，问题本质是考虑龙之间相互影响对上面Smin公式具体代入三条龙年龄值相加结果的影响。（由于水平有限，只从龙与龙之间的关系来考虑它们总的面积需求）
下面我用了三个假设，来建立了一个逐步回归的模型：
三个假设
- 龙之间的关系只有好坏之分。两条龙关系好会一起行动，使得它俩所需的面积小于它们各自所需面积的和；同理，两条龙关系不好会尽量远离对方，使得他俩所需的面积大于它们各组所需面积的和。
-
我们假设Smin在三条龙的情况下与三条龙之间的关系有关。由之前的式子我们知道Smin只与t有关。那么我们可以假设一条关系式，联立了t和三条龙的关系，具体式子如下：
推导出的一条式子（利用matlab选择一阶线性进行回归分析）
上式中a,b,c,d为四个常数。另外三条龙之间的关系是这样的（也就是x1x2x3x4）代指的关系
x4是三条龙之间的关系，x1x2x3为两两之间的关系。另外我把三个圆的颜色设计成了小说里三条龙的颜色，对应了龙的名字，是不是很有心哈哈哈 -
假设三条龙的重量比为2:3:4，作为容易处理的数据进行示例。再假设两条龙之间的关系与另两条龙之间的关系比就是这两条体重乘积比另两条体重乘积。再假设龙之间好关系就是t负（之所以负是因为对总面积是变小作用的），坏关系就是t正，假设t正的作用大于t负且t正等于t负的绝对值加一（如果t正t负全相等就没有回归消去参数的意义了），我们给出了下面的表格：
有一个漏洞，上面出现的下面就固定，有点类似数值分析里的高斯赛德尔迭代
用逐步回归来求解
clc,clear
x0=[1 0 0 0 0 0
2 6 1 1 1 -6
3 -6 1 1 1 7
4 6 8 1 1 -8
5 6 -8 1 1 9
6 6 8 12 1 -12
7 6 8 -12 1 13
8 6 8 12 24 -24
9 6 8 12 -24 25 ];
x=x0(:,2:5);
y=x0(:,6);
stepwise(x,y,[1:4])
好吧，到目前为止不算难，再给个回归分析的教程代码就是从这里参考的
最后把运行结果贴一下
直接把结果拿来用，t=-0.6698131x3-1.01752x4(x1x2被扔掉了)
最后把这个t代到第一问最后的结果Smin，得到
灵敏性分析（本身没想写这个，结果发现这个占总评的15%，立马现学现计算测试，那时候大概已经是凌晨五点，距离提交还有四个小时）
我们分析改变体重对那个t与x1x2x3x4的式子有什么影响。具体改变是三个龙各自的体重增加20%和10%；减少20%和10%。还是代到刚那个Mstlab程序只不过改改数，把最后的运算结果拿表格表示
最后我们就着这个表说了说看出了啥，大概就是体重变化对结果影响不大，这个模型具有较强的稳定性。相比于参数d，c对体重变化表现的较敏感，说明x4有刚好的稳定性且对整个系统的影响更多。
这一部分之前真没接触过，据说那些专业是自控的成天接触的就是这些。
最后一部分是气候环境因素对模型的影响，这个就都是我队友在弄我就没管了。
写在最后
感谢看完这么多字，其实小弟心里清楚干货不算太多不具备借鉴价值，数学推导有些地方也相对粗糙。不过我认为这确实代表了大部分参赛选手的水平，我是一所普通211的数学系大二学生，我的另外两位队友都是非常优秀的同学，gpa年级前10吧大概。我确实组队的时候是抱着他们的大腿。但是竞赛过程中发现这种比赛需要的不仅仅是数学能力，更是一些“邪招”。比如如何准确找到相关的论文和数据？如何在最短的时间找到最适合的模型来套用？如何用高级的算法来求解？等等等等太多太多。看过朋友圈某位同样是211大二的同学发的摘要，感觉他们组可能完全就是给老美送100美金的报名费去了。这样的情况不在少数，很多学生盲目参加这种比赛。
所以说实力才是硬道理。去年那么强的学姐最后都只获得了s奖，今年我们组估计也好不到哪去。只希望论文里堆的结果图和表可以一定程度提高评委印象成绩。最后的最后，小弟准备努力提高自己的实力来年再战。一年的时间如果抓紧，可以改变太多太多。下面放点真正的干货，里面有十年来美赛的获奖论文和一些常用模型和高级算法，各位共勉，一起努力。
干货
