1. 距离的量度
1) 距离
距离的定义是一个宽泛的概念：只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。其中非负是指任意两个相异点的距离为正；自反是Dis(y,x)=Dis(x,y)；三角不等式是Dis(x,z)<=Dis(x,y)+Dis(y,z)
2) 马氏距离（闵可夫斯基距离）
其中d是维数，p是阶数，也称为p范数。
当p=1时，是曼哈顿距离
当p=2时，是欧氏距离
当p→∞时，是切比雪夫距离
当p=0时，是海明距离
3) 欧氏距离
两点间的直线距离（一般用两条竖线||w||代表w的2范数）代入公式：
4) 曼哈顿距离（城市街区距离）
各坐标数值差的和，就像汽车只能行驶在横平竖直的街道上，代入公式：
5) 切比雪夫距离
各坐标数值差的最大值，当马氏距离的p→∞时，最终的结果取决于距离最大的维度上的距离：
Dis∞=maxj|xj-yj|
在二维的情况下：c=max(a,b)
6) 海明距离
L0范数并不是一个真正的范数，它主要被用来度量向量中非零元素的个数。
7) 总结
图片从上到下依次显示a与b点的三种距离：欧氏距离（蓝色），切比雪夫距离（红色），曼哈顿距离（绿色）
2. 范数
范数是一种强化了的距离概念，根据马氏距离的公式，把x,y两点间的距离看作一个向量z
||z||p是向量z的p范数，也记作Lp范数。
范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。上面我们看到的就是L0, L1, L2, L∞范数的计算方法。
机器学习中常使用范数防止过拟合，它可以计量模型的大小（复杂度），作为惩罚项加入公式，通过迭代计算，在误差和复杂度之间制衡，如公式：
其中x是自变量，y是结果，w是参数，通过f(x;w)预测y’，L(y,y’)求真实值与预测值的误差，Ω是惩罚项，λ是惩罚项的系数。目标是求误差最小时参数w的取值。
和上一次SVM篇中讲到的一样，这也是在条件Ω下求误差L极小值的问题，还是拉格朗日乘子法，用系数λ把两式连在一起，变为简单的求极值问题。
3. KNN（K近邻）算法
1) K近邻
存在一个样本数据集合（训练集），并且样本集中每个数据都存在标签，输入没有标签的新数据后，将新数据的每个特征与样本集中数据对应的特征相比较，然后提取样本集中特征最相似的前K个数据的分类标签。
算法参考Ｋ个距离最近的训练样例，并整合多个目标值，对于分类问题，最简单的方法是投票法，也可以预测各个类别的概率分布，对于回归问题，可取均值，或按距离加权等。
简言之，K近邻就是根据距离实例最近的范例来判定新实例的类别或估值。
K近邻可处理分类和回归问题。它需要记忆全部训练样本，空间复杂度高，计算复杂度高，优点是对异常值不敏感，精度高，但当样本少噪声大时也会过拟合。
对于Ｋ值的选择，一般情况下，起初随着Ｋ增加，分类器的性能会快速提升，但K大到某一点时，性能又会下降，因此需要谨慎选择的Ｋ值，也有一些自动计算K值的方法，后面说。
2) 步骤
i. 计算欧氏距离
ii. 按距离排序
iii. 选取距离最小的k个点
iv. 确定k点中各分类的出现概率
v. 返回出现概率最高的分类
3) 例程
i. 功能
根据训练集中的四个实例，对新数据[1.2, 1.3]分类
ii. 代码
# -*- coding: utf-8 -*-
from numpy import *
import operator
def classify(inX, dataSet, labels, k):
dataSetSize = dataSet.shape[0]
diffMat = tile(inX, (dataSetSize, 1)) - dataSet #求inX与训练集各个实例的差
sqDiffMat = diffMat**2
sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)
distances = sqDistances ** 0.5 # 求欧式距离
sortedDistIndicies = distances.argsort() # 取排序的索引，用于排label
classCount={}
for i in range(k):
voteILabel = labels[sortedDistIndicies[i]]
classCount[voteILabel]=classCount.get(voteILabel,0)+1
sortedClassCount = sorted(classCount.iteritems(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)
return sortedClassCount[0][0] # 取最多的分类
group = array([[1,1.1],[1,1],[0,0],[0,0.1]]) # 训练集
labels = ['A','A','B','B'] # 训练集分类
print classify([1.2,1.3], group, labels, 3) # 对数据点[0,0]分类
iii. 分析
例程中没有调库，直接用python实现了KNN，主要为了解原理，实际操作中一般使用sklearn库中的sklearn.neighbors.NearestNeighbors类。
4. K-means聚类算法
1) K-means：
K-means（K均值）聚类，其中k是用户指定的要创建的簇的数目，算法以k个随机质心开始，计算每个点到质心的距离，每个点会被分配到距其最近的簇质心，然后基于新分配到的簇的点更新质心，以上过程重复数次，直到质心不再改变。
该算法能保证收敛到一个驻点，但不能保证能得到全局最优解，受初始质心影响大。可采用一些优化方法，比如先将所有点作为一个簇，然后使用k-均值(k=2)进行划分，下一次迭代时，选择有最大误差的簇进行划分，重复到划分为k个簇为止。
该算法在数据多的时候，计算量大，需要采取一些优化方法，比如一开始计算时只取部分数据。
聚类方法常用于无监督学习，给无标签的数据分类；根据质心的原理也可实现有监督学习中的分类和回归。
2) 评价聚类
聚类常用于无监督学习，那么如何评价聚类的好坏呢？这里使用了散度。
散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，给定数据矩阵X，散度矩阵定义为：
其中μ是均值，散度可以理解为各点相对于均值的发散程度。
当数据集D被划分为多个簇D1,D2…Dk时，μj为簇Dj的均值，Sj为簇Dj的散度矩阵，B为将D中各点替换为相应簇均值uj后的散度矩阵。
无论是否划分，整体的散度S不变，它由各个簇内部的散度Sj和各均值相对于整体的散度B组成的。
我们聚簇的目标是增大B，减少各个Sj，就是让簇内部的点离均值更近，各簇间的距离更远。该公式（求散度矩阵的迹）可以作为评价聚类质量的量度。
3) 例程：
i. 功能
用sklearn提供的KMeans类实现聚类功能，并画图
ii. 代码
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs
plt.figure()
random_state = 170
X,y = make_blobs(n_samples=200,random_state=random_state) # 使用sklearn提供的数据
y_pred = KMeans(n_clusters=3,random_state=random_state).fit_predict(X)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y_pred)
plt.show()
5. 使用注意事项
基于距离的算法实际应用中，需要做一些预处理，以便达到更好的效果：
属性多时，最好先降维，以免无意义数据淹没有意义数据。
使用之前最好做直方图分析，查看样本的密集区域。
使用之前需要对各个属性做标准化，以免值大的属性有更大权重。
使用之前最好根据经验对各属性分配不同的权重。
对于无法直接分开的数据，可以考虑使用核函数转换后再计算距离。
6. 算法之间的关系
线性回归，logistic回归，支持向量机，KNN，K-Means都属于基于距离的模型。下面以分类问题为例，看看它们之间的关系。
假设我们有一个训练数据集(xi,yi)，需要预测数据a属于哪个分类，在对数据毫无先验知识的情况下：
我们可能会找一个和a最相近的x，然后把a预测成x对应的分类y，这就是最近邻；
如果觉得一个x不保险（万一它是噪声数据呢），找离它最近的k个点x，看看它们对应的y属性大多数属于哪个分类y，这就是k近邻；
如果我们估计这些数据可以被分成一簇一簇（左图），而不是混在一起的，那我们可以用K-Means先把它分成几簇，看a属性哪一簇，然后按簇预测，这样只保存簇心点及该簇对应的分类即可，可以简化数据存储和计算量；
如果不同的簇刚好对应不同的分类，也就是说不同分类在空间上是分离的，那么计算两个簇的质心（中图），连接两个质心（灰线），在连线中间做垂线（黑色），把两类分开，就是logistic回归/线性回归，这样就不需要保存实例，而保存直线参数即可分类；
如果计算直线的时候，考虑到直线到两类的边界（右图），就是SVM支持向量机，它保存边界上的实例和直线的参数，以提供更多的信息。
簇还可以和决策树结合，按照距离把相近的簇合二为一；如果考虑到数据在欧氏空间中的概率分布，还可以在概率模型和几何模型之建立联系……
