作者: [英] 西蒙·辛格
出版社: 广西师范大学出版社
副标题: 一个困惑了世间智者358年的谜
原作名: Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem
译者: 薛密
《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》是关于一个困惑了世间智者358年的谜题的传奇。书中既有振奋人心的故事讲述方式，也有引人入胜的科学发现的历史。西蒙·辛格讲述了一个英国人，经过数年秘密辛苦的工作，终于解决了最具挑战性的数学问题的艰辛旅程。
17年6月初开始读本书，7月初读完本书。这是一本数学科普书，介绍了数学的发展过程，尤其是和费马大定理有关的重要人物和证明方法等；既有通俗易懂的有趣数学故事，又有涉及数学核心的逻辑分析和数学思维。
先以本书为出发点，介绍几个我认为对生活和工作有价值的启发，主要是尝试回答以下几个问题：
应该选择怎样的奋斗目标？
安德鲁·怀尔斯在童年想要解决费马大定律，但是后来尝试无果，转而做按部就班的研究工作；博士毕业之后根据导师的分配从事数学研究；等费马大定律有了新的突破口（费马大定律和谷山-志村猜想的关系），才重新拿起自己童年的梦想，并最终实现了梦想。假设一直不放下，恐怕就不会潜心钻研最开始看起来没有关系的椭圆曲线，就更难解决费马大定律了。
书中也有让人惋惜的反例，在第四章，数学家希尔伯特追求完全性和相容性的数学体系，并将之作为自己的理想，花费多年精力著书立说，可到最终却因为罗素发现数学的不相容性(“我是一个说谎者”)而功亏于溃。想来就让人心生怜惜。
奋斗目标是要花费我们十年甚至终生去解决的问题，所以选好了就是有意义的一辈子，失败了就什么也没了。所以选择还需要保持平衡心态，问题的难度，追求的速度，和自己能力的匹配性，结果和过程的平衡性等，都存在一个适宜的平衡点。
灵感从何而来？
安德鲁介绍了自己研究中灵感的领域，在我看来，就是专注和放松的平衡，意识和潜意识的平衡。
审稿人发现论文中的一个无法挽救的问题，安德鲁花了一年时间没有解决，在即将彻底放弃的时候，答案却悄然出现，激动得热泪盈眶。
数学思维是什么，普通人应该如何做？
数学思维，强调的应该是“严格的证明”。不仅体现在语言上，还体现在证明过程中，这也是希尔伯特追求完全的数学的初衷所在，希望一切的数学证明都是从最基本的公理出发，避免某一个错误定律的使用动摇数学根据。
物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上,碰巧看到一只黑色的羊.“啊,”天文学家说道,“原来苏格兰的羊是黑色的.”“得了吧,仅凭一次观察你可不能这么说.”物理学家道,“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的.”“也不对,”数学家道,“由这次观察你只能说:在这一时刻,这只羊,从我们观察的角度看过去,有一侧表面上是黑色的。「来自百度，译文与此有所不同」
另外以下是本书每章的主要内容，总结在此，也是训练自己的总结提炼能力。
第一章 “我想我就在这里结束”
先介绍安德鲁·怀尔斯在1993年6月23日在剑桥的数学讲座经历，安德鲁公开了费马大定理的证明。然后介绍安德鲁童年，10岁时已经迷上数学，通过《大问题》（the last problem)这本书了解到了数学的历史，从毕达哥拉斯定理（即勾股定理，a2+b2=c2等价于直角三角形），到毕达哥拉斯三元组（a3+b3=c3），到费马大定理。
本章比较详细的介绍了毕达哥拉斯的人生经历，强调了数学科学的发展历史。毕达哥拉斯对数的追求，以揭示自然的奥秘，将数分成圆满数、亏数、盈数，发现圆满数的诸多性质，还有”微亏数“（欧几里得发现微亏与2的幂的关系）。
凡物皆数：毕达哥拉斯一方面研究数之间的关系（圆满数、亏、盈），另一方面也研究自然与数的关系，比如根据铁匠铺的锤子声音的和声情况，研究声音和锤子重量的简比关系，从而发现音乐的和声与数的调和之间的基本关系，进而明确了四弦琴的调音方法；介绍数学与其他科学之间的关系，比如物理学中，河流的实际长度与直线长度的关系等，行星的运行轨迹等。
可以说，数学的发展唤醒了其他学科的发展。爱因斯坦的相对论和最新的量子物理理论，都要以特定的数学概念为基础。
毕达哥拉斯定理：直角三角形的直角边的长度的平方相加，等于斜边长度的平方；毕达哥拉斯通过数学证明，确定这个定理对任意的直角三角形都成立，即该规律是一个普遍性的定理。 虽然中国人和巴比伦人更早就使用这个定理，但这个定理归属于毕达哥拉斯，因为他第一个证明了它的普遍正确性。
绝对的证明：基于数学定理和逻辑推理的证明过程，具有绝对性；但科学证明却没有这种绝对性，今天的结论可以在明天被推倒，就像粒子被分为不可再分的质子和中子，但实际又被继续再细分。
第二章 出谜的人
本章介绍费马的人生经历，介绍费马出生之前、毕达哥拉斯死后的数学学科的发展情况尤其是数论的发展，介绍亚历山大城图书馆的兴衰，介绍欧几里得及其数学成就，例如欧几里得使用反证法确认无理数的存在，介绍丢番图（一个数学家）及其《算术》一书，阿拉伯数字系统引入西方并大幅简化了数学科学的表达和计算，费马对《算术》内容的研究和标记，在其中一个标记处引出了费马大定理。
另外本章还介绍了费马对概率论和微积分领域的贡献，但费马最大的贡献来自于数论领域。
第三章 数学史上暗淡的一页
本章介绍了尝试证明费马大定理的几位数学家的人生经历，包括欧拉，勒布朗先生（一位著名的法国女数学家），柯西和拉梅，库默尔。
欧拉是第一个对证明费马大定理做出突破贡献的人。 欧拉发现了费马对n=4情形的证明过程，即无穷递降法，欧拉基于费马的这种方法，同时引入了“虚数”的概念，从而证明了n=3的情形。
除了介绍欧拉在费马大定理上的贡献，本章同时介绍了欧拉在数学领域的其他重要贡献。欧拉发展了理论计算方法，比如“反馈回算法”不断迭代计算以趋近更精确的答案（这样就不需要一次性计算出精确解）。另外举了一个欧拉解决实际问题的例子，“在一个有多条河流和桥的地区，是否可以不重复过桥而能走过每一个桥？” 这是一个数学中的网络问题，欧拉解决这个问题并发现了所有网络都成立的网络公式。
欧拉第一次引入了”虚数“的概念，本章顺便介绍数的历史：自然数，分数，负数，无理数，（对应于数轴上的所有点，实数轴），虚数i（虚数轴，与实数轴组成了数平面，对应于“复数”）。【从这儿，我了解到了虚数在数学系统中的价值，而再只会基于i的平方等于-1做计算题了。。。】
然后介绍无穷的概念，因为费马大定理中的n是无穷的。强调了质数在数学中的重要性，尤其是质数在保密和解密中的作用。
第二位著名数学家是法国女性数学家热尔曼，在女性遭受歧视的时代，她用匿名的方式从事数学研究。热尔曼尝试使用一种新的策略，一次性解决一类情形，即2p+1也是质数的那一类质数p。 后人在她的基础上最终证明了这一类情形，并引导其他数学家拓展到了更多的情形，比如n=7。
法国科学院设立奖金鼓励对费马大定理的研究，柯西和拉梅在一种证明方法上展开时间竞赛，希望在对方之前公布完整的证明过程，但是被德国数学家库默尔指出了证明过程中的致命错误，即实数领域的唯一因子分解性质在复数领域并不成立，这造成了无穷多的非规则质数的情况无法证明。
第四章 进入抽象
本章介绍涉及到数学的智力游戏、二战中的加密和解密战争，数学所需要的逻辑证明与认识论，希尔伯特追求的“从简单公理推导所有复杂定理”梦想（完全性和相容性的数学体系），罗素发现数学中的不相容性（没有非此即彼，存在类似于物理学中的不确定性）并设法弥补这个问题，但哥德尔证明了想要创建一个完全的、相容的数学体系是不可能的， 科恩在此基础上给出了检验给定的问题是否不可判定的方式，虽然只适用于少数情形。
并非所有的猜想/定理都是可以被证明的。
本章涉及到费马大定理的内容是，费马大定理可能无法被证明，如果无法被证明，那隐含着它肯定是对的。 这为想要证明费马大定理的数学家添加了不少麻烦。即使有无法被证明的风险，很多数学家还是被这个问题吸引，一是希望胜人一筹的求胜心理，二是追求解决问题后带来的满足感。【马斯洛需求理论中的精神需求，动因理论中的动力因素之一。】数学家尝试了各种解决方法而不成功，作者介绍了计算机暴力证明在数学证明中的作用（图灵在计算机研究中的贡献），但计算机无法穷尽所有的n的情况，数学的严谨性不能容许n在10亿甚至10亿亿内时费马大定理都成立，就认为所有的n都成立，否则就容易犯“欧拉猜想”和“高估质数猜想”那样的结局。
安德鲁到剑桥大学读数学研究生，放下对费马大定理的追求，在导师的安排下，开始研究椭圆曲线/方程的整数解，介绍椭圆方程的L-序列（不同的时钟算术中整数解的个数），安德鲁不知道，他研究椭圆方程的经验，未来会帮助他证明了费马大定理。
第五章 反证法
本章主要内容：日本数学家谷山和志村对模形式的研究，什么是模形式，谷山-志村猜想及其价值，如果证明了谷山志村猜想就可以证明费马大定律。
（1）模形式被视为加减乘除之外的第五种基本运算方式，其关键特点是无限的对称性。【wyk：模形式存在于四维空间，正是多出来的这个纬度，让模函数在三维空间中进行平移、交换、反射和旋转都能保持不变。（x和y轴都是复数轴，分别又包含实部和虚部。）】
（2）谷山志村猜想：每一个椭圆方程都对应一个模形式。
（3）谷山志村猜想的价值：把模形式和椭圆方程联系起来，原本是数学世界两个完全无关的领域被联系起来，一个领域的证明武器可以被用来解决另外一个领域的问题；同时还催生了“统一的数学”理想，即数学领域之间是互相联系的，而谷山志村猜想是这一理想的核心和第一步。【wyk：有点类似于查理芒格所强调的“跨学科思考”，不同数学领域之间、不同学科之间都存在联系，从而帮助我们使用某一领域／学科的工具解决另一个领域／学科的问题。】
（4）谷山志村猜想与费马大定律的关系：数学家弗莱在1984年将费马方程转变成一个椭圆方程，从而建立了谷山-志村猜想与费马大定律的联系，但是弗莱的证明存在缺陷；1986年数学家里贝特严格证明了弗莱的想法，从而彻底的建立了谷山-志村猜想与费马大定律之间的联系。
第六章 秘密的计算
本周主要内容：为何要证明费马大定律，灵感的来源，介绍归纳法，介绍法国数学家伽罗瓦和群论思想，完成了证明过程并请同事核对证明严格性。
1986年，谷山-志村猜想与费马大定理之间的确定性关系，重新激起了安德鲁的童年梦想，因为他看到了证明费马大定律的道路，即使失败，研究也不是无意义的，因为”即使不能证明谷山-志村猜想，也不能证明费马大定理，但是总会证明某些别的东西。“
”确实有可能我永远证明不了费马大定理，但是绝不可能存在我完全在浪费我的时间这样的问题。“
安德鲁放弃和费马大定理无关的任何工作，开始潜心钻研，首先花了18个月的时间，熟悉必要的数学基础； 与此同时，为了避免引起别人对自己研究课题的关注，每隔半年发表自己在其他方面的研究工作。
安德鲁提到研究中的灵感来源：“全新的东西——它从哪儿冒出来的？ 这件事有些神秘”，循规蹈矩的数学思维对于死胡同没有价值，新的想法会在长时间的极其专注的思考之后的松弛期悄然出现，这一时期，潜意识占据了脑海。P152
安德鲁解决难题的常用处理方式，是下意识的乱涂乱写。【潜意识自动搭建联系，想象力和创造力和随机联系】
然后介绍归纳法，希望使用归纳法证明谷山-志村猜想；【归纳法，让我想到了高中的等比数列求和公式，就是使用归纳法证明】
然后介绍法国著名数学家伽罗瓦短暂的一生，数学天赋极强倒是脾气暴躁又参加法国共和革命，最后与别人决斗，年仅25岁就被枪杀，只研究了五年数学，留下了过于简洁和仓促的数学草稿，十年之后被另外一位数学家整理并广为人知；伽罗瓦发展了“群论”的思想，并被安德鲁作为证明谷山-志村猜想的基础。
怀尔斯研究一年，无法完成归纳，转而分析”岩沢理论“的方法，但是一年之后改进该理论的方法失败，依然无法完成归纳。怀尔斯重回学术交流，希望能从会议中获得一些新的理论和方法，并从导师的交流中获得了一种”科利瓦金-弗莱切方法“，并在随后的研究中获得了快速的进步。但是由于自己对这种方法不是非常熟悉，怀尔斯不能保证自己的证明是完全严格的，所以邀请了自己的朋友来核对自己的证明过程，并以设立讲座的形式汇报自己在这一方面的证明情况。
1993年，怀尔斯在剑桥会议上，分三次报告汇报了自己的研究成果，震惊全场和数学界。
事后，怀尔斯感觉到了解决问题后的失落感，在过去的七年中，费马大定理的工作是他工作的一部分，但是现在工作完成，他失去了它，就让放弃了自己身体的一部分那样。
中间有一个小插曲，1988年，日本数学家宮冈宣布自己证明了费马大定理，宮冈使用的是微分几何，而怀尔斯使用的是椭圆方程和模形式；但随后的证明验证发现，作为几何学家的宮冈将思想转换到自己不熟悉的数论领域时，存在一个逻辑上的缺陷，但数论学家绞尽脑汁也没有挽救这个错误。
第七章 一点小麻烦
数学家凯兹在审稿过程中发现了一个逻辑错误，安德鲁开始以为是小错误，最后发现是一个重大缺陷；数学界对证明方法迟迟没有公开产生了很多的猜测和质疑，安德鲁顶住压力重新开始孤身一人地抢救自己的证明；但是完全陷入了绝境，安德鲁打算放弃的时候，好友提议可以找一位共同探讨想法的人，安德鲁和自己之前的学生泰勒重新开始挽救证明中的缺陷，1994年的9月，安德鲁找到了答案，即重新使用之前被放弃的岩伬理论，与科利瓦金-弗莱切方法联用，两者互补正好完美的解决问题。 安德鲁终于圆了童年时代的梦想，达到了8年潜心努力的终点。
第八章 大统一数学
虽然费马大定律被证明了，数学中还存在大量未证明的数学难题，本章介绍了几个常见的数学问题，比如质数的构成模式，每个偶数是否都可以分解成两个质数之和，开普勒的球填装问题，四色问题和拓扑学；1997年，安德鲁领取了专为费马大定律设置的沃尔夫斯凯尔奖金。
