解析几何

一、平面直角坐标系

1.两点中点坐标公式

两点 $P_1(x_1,y_1)与P_2(x_2,y_2)$ 的中点坐标为 $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

两点中点坐标公式可以看成是两点坐标的算术平均值•

2.两点之间的距离公式

两点 $A(x_1,y_1)$ 与 $B(x_2,y_2)$ 之间的距离 $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

建立直角三角形，根据勾股定理计算斜边长

$(x-a)^2+(y-b)^2$ ：看作 $(x,y)$ 与 $(a,b)$ 之间的距离
$x^2+y^2$ ：看作 $(x,y)$ 与 $(0,0)$ 之间的距离

二、直线

1.倾斜角

直线与x轴正方向所成的夹角，称为倾斜角，记为α.其中要求 $\alpha∈[0,\pi)$

当直线水平时，倾斜角为0.当直线竖直时，倾斜角为90°.

2.斜率

倾斜角的正切值为斜率，记为 $k = tan\alpha,\alpha≠\frac{\pi}{2}$

image.png

α=0，k=0
0<α<90°，k>0
α=90°，k不存在
90°<α<180°，k<0

3.两点斜率公式

设直线l上有两个点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ ，则 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}，x_1≠x_2$

4.两条直线的夹角公式

两条直线的夹角公式可以通过直线的斜率来计算。
如果两条直线的斜率分别为k1和k2，那么这两条直线的夹角θ可以通过以下公式计算：
$\tan(\theta) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$
其中，k1和k2分别是两条直线的斜率。

5.截距

$y=kx+b$

当x=0时，y值为y轴截距
当y=0时，x值为x轴截距

6.直线方程

6.1斜截式

若已知斜率k和y轴截距b,直线可表示为 $y = kx + b$

当斜率不存在时，无法表达直线和竖直线

6.2 点斜式

若已知斜率k和某点 $(x_0,y_0)$ ,直线可表示为 $y-y_0=k(x-x_0)$ （无法表达竖直线）
或 $k=\frac{y-y_0}{x-x_0}$ （水平和竖直都无法表达）

6.3截距式

若已知x轴和y轴截距分别为a, b,直线可表示为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

无法表达过原点直线，水平线和竖直线

6.4两点式

若已知两点坐标 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ,直线可表示为 $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$
化为整式： $(y-y_1)(x_2-x_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)$

无法表达水平线和竖直线

6.5 一般式

上述方程都可以化为一次函数 $ax+by+c=0$ ,它称为直线方程的一般式

斜率 $k=-\frac{a}{b}$
x轴截距 $x=-\frac{c}{a}$
y轴截距 $y=-\frac{c}{b}$
直线l与两个坐标轴围成的三角形面积 $S=\frac{c^2}{2|ab|}$

image.png

$S=\frac{1}{2}|\frac{c}{a}||\frac{c}{b}|=\frac{c^2}{2|ab |}$

7.两直线的位置关系

image.png

给出一条直线 $ax+by+c=0$ ,写垂直直线方程
因为 $a_1a_2+b_1b_2=0$ ,所以把x和y的系数互换，其中一个变为负，最后相加为0即可
$bx-ay+c=0$
$-bx+ay+c=0$

8.点与直线

8.1 点与直线的位置关系

点 $(x_0,y_0)$ ，直线 $l:y=kx+b$
$y_0 \begin{cases} \>>kx_0+b,点在直线上方 \\ =kx_0+b,点在直线上\\ <kx_0+b,点在直线下方\\ \end{cases}$

8.2 点到直线的距离

$l:ax+by+c=0,$ 点 $(x_0,y_0)$ 到 $l$ 的距离 $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

8.3 两平行直线的距离

$l_1:ax+by+c_1=0$
$l_2:ax+by+c_2=0$
那么 $l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离为 $d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

注意计算时需要统一系数

三、圆

1.圆的方程

1.1 标准式

圆心为 $(x_0,y_0)$ ,半径 $r$ 的圆可表示为 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

1.2 一般式

$x^2+y^2+ax+by+c=0$
将其配方变成标准式：
$(x+\frac{a}{2})^2+(y+\frac{b}{2})^2=\frac{a^2+b^2-4c}{4}$
圆心： $(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2})$ 半径： $r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}$

一般式成立的条件： $a^2+b^2-4c>0$ , $x^2,y^2$ 系数一样

2.特殊的圆

image.png

3.与圆相关的位置关系

3.1 点与圆的位置关系

点 $P(x_p,y_p)$ ，圆 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

将点代入圆的方程：
$(x_p-x_0)^2+(y_p-y_0)^2 \begin{cases} <r^2,点在圆内\\ =r^2,点在圆上\\ \>>r^2,点在圆外\\ \end{cases}$

判断标准：根据点到圆心的距离与半径的大小判断内外

3.2 直线与圆的位置关系

直线 $l:y=kx+b$ ，圆 $O:(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ ， $d$ 为圆心 $(x_0,y_0)$ 到直线 $l$ 的距离

image.png

判断标准：根据圆心到直线的距离与圆的半径大小关系得出相离，相交和相切

直线过圆心，d=0

3.3 圆与圆的位置关系

image.png

判断标准：根据圆心距与半径和差的大小关系判断

四、对称

1.轴对称

1.1 点关于直线的对称

点 $P(x_0,y_0)$ 关于直线 $l:ax+by+c=0$ 的对称点Q的坐标为 $(x_1,y_1)$ ，满足两个条件：

线段PQ与直线L垂直，即线段PQ的斜率与直线L的斜率之积为-1
线段PQ的中点在直线L上

因此Q的坐标可由以下方程组求得：
$\begin{cases} \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}·-(\frac{a}{b})=-1\\ a·\frac{x_0+x_1}{2}+b·\frac{y_0+y_1}{2}+c=0\\ \end{cases}$

大D法求对称点坐标：
$P(x_0,y_0)$ 对称直线 $l:ax+by+c=0$

$D=ax_0+by_0+c$
$Q(x_0-\frac{2aD}{a^2+b^2},y_0-\frac{2bD}{a^2+b^2})$

1.2 平行直线的对称

image.png

l_1//l

，因为

l_1

与

l_2

关于

l

对称，由对称的性质易知

l_1//l_2

，且

l

到

l_1

与

l_2

的距离

d_1

与

d_2

相等。
若

l_1

的方程为

ax+by+c_1=0

，

l

的方程为

ax+by+c=0

,
则可设

l_2

的方程为

ax+by+c_2=0

根据距离相等可以得到

l_2

的方程为

ax+by+(2c-c_1)=0

1.3 相交直线的对称

image.png

方法一：由 $l_1∩l=P$ ，可求出交点坐标.再找出 $l_1$ 上任意一点(点P除外)关于 $l$ 对称的点的坐标(用点关于直线对称的方法)，再根据两点式求出
直线 $l_2$ 的方程.

方法二：由对称性可知 $l_1$ 到 $l$ 的角相等，且 $l_2$ 过 $l_1$ 与 $l$ 的交点P，由到角公式求出 $l_2$ 的斜率，再求出交点P的坐标后，可由点斜式求
得直线的方程.

大D法求直线关于直线的对称：
$l_2:\frac{l_1}{l}=\frac{ax+by+c_1}{Ax+By+c}=\frac{2aA+2bB}{A^2+B^2}$

1.4 圆关于直线的对称

image.png

只需求出圆心关于直线的对称点，再由半径不变求出圆的方程

1.5 特殊的对称

image.png

2.中心对称

2.1点关于点的对称

点 $P(x,y)$ 关于点 $M(a,b)$ 对称的点 $Q$ 的坐标是 $Q(2a-x, 2b-y)$ .
(由中点坐标公式得到).
如点(1, -4)关于(-2, 0)对称的点是(-5, 4)

2.2直线关于点的对称

直线 $l:Ax+By+C=0$ 关于 $P(a,b)$ 对称的直线 $l_1$ 的方程是：
$A(2a-x)+B(2b-y)+C=0$ ,即 $Ax+By-2aA-2bB-C=0$

五、面积

1.直线相关面积

1.1 一条直线与两个坐标轴围成的三角形面积

先求出直线的两个截距，然后再计算面积
公式：直线 $ax+by+c=0$ 与两坐标轴围成的面积为 $S=\frac{c^2}{|2ab|}$

1.2两条直线与x轴围成的三角形面积

先求出两直线的交点及两直线与x轴的交点，然后利用底和高计算面积

1.3 两条直线与y轴围成的三角形面积

先求出两直线的交点及两直线与y轴的交点，然后利用底和高计算面积

1.4三条直线围成的三角形面积

先求出三个交点坐标，然后用点到直线的距离公式求出高，再用两点距离公式求出底，最后计算面积

image.png

S_△=\frac{1}{2}|x_ay_b-x_by_a|

如果三条直线相交的三个交点都不在原点处，则使用平移法，将其中一个座标平移到原点处，另外两个交点随之变化，再求面积
将其中一个点移动到原点，看x和y增加或减少了多少，对应另外两个点的x和y也增减相应的数值

六、最值问题

1.距离的最值

结合对称来分析距离的最值.

2. 面积的最值

由于三角形的面积跟底和高有关系，所以可以转化为距离的最值来分析.

利用均值定理或者函数最值

当经过定点的直线与坐标轴围成的三角形面积最小时，该定点为两个截距的中点。

3.线性规划最值

线性规划是利用数学为工具，来研究资源在一定条件下，如何精打细算，用最少的资源,取得最大的经济效益，它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.
做题中注意以下几个问题：
①用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类并列出表格，理清头绪，然后列出不等式组寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数
②可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域.

4.动点求最值

对于动点求最值，往往结合表达式的几何意义，考虑动点运动到特殊位置时来分析最值.

最后编辑于：2024.10.26 18:15:35

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解析几何

一、平面直角坐标系

1.两点中点坐标公式

2.两点之间的距离公式

二、直线

1.倾斜角

2.斜率

3.两点斜率公式

4.两条直线的夹角公式

5.截距

6.直线方程

6.1斜截式

6.2 点斜式

6.3截距式

6.4两点式

6.5 一般式

7.两直线的位置关系

8.点与直线

8.1 点与直线的位置关系

8.2 点到直线的距离

8.3 两平行直线的距离

三、圆

1.圆的方程

1.1 标准式

1.2 一般式

2.特殊的圆

3.与圆相关的位置关系

3.1 点与圆的位置关系

3.2 直线与圆的位置关系

3.3 圆与圆的位置关系

四、对称

1.轴对称

1.1 点关于直线的对称

1.2 平行直线的对称

1.3 相交直线的对称

1.4 圆关于直线的对称

1.5 特殊的对称

2.中心对称

2.1点关于点的对称

2.2直线关于点的对称

五、面积

1.直线相关面积

1.1 一条直线与两个坐标轴围成的三角形面积

1.2两条直线与x轴围成的三角形面积

1.3 两条直线与y轴围成的三角形面积

1.4三条直线围成的三角形面积

六、最值问题

1.距离的最值

2. 面积的最值

3.线性规划最值

4.动点求最值

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