解析几何

一、平面直角坐标系

1.两点中点坐标公式

两点P_1(x_1,y_1)与P_2(x_2,y_2)的中点坐标为(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})

两点中点坐标公式可以看成是两点坐标的算术平均值•

2.两点之间的距离公式

两点A(x_1,y_1)B(x_2,y_2)之间的距离d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

建立直角三角形,根据勾股定理计算斜边长

(x-a)^2+(y-b)^2:看作(x,y)(a,b)之间的距离
x^2+y^2:看作(x,y)(0,0)之间的距离

二、直线

1.倾斜角

直线与x轴正方向所成的夹角,称为倾斜角,记为α.其中要求\alpha∈[0,\pi)

当直线水平时,倾斜角为0.当直线竖直时,倾斜角为90°.

2.斜率

倾斜角的正切值为斜率,记为k = tan\alpha,\alpha≠\frac{\pi}{2}

image.png

  • α=0,k=0
  • 0<α<90°,k>0
  • α=90°,k不存在
  • 90°<α<180°,k<0

3.两点斜率公式

设直线l上有两个点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),则k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},x_1≠x_2

4.两条直线的夹角公式

两条直线的夹角公式可以通过直线的斜率来计算。
如果两条直线的斜率分别为k1和k2,那么这两条直线的夹角θ可以通过以下公式计算:
\tan(\theta) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|
其中,k1和k2分别是两条直线的斜率。

5.截距

y=kx+b

  • 当x=0时,y值为y轴截距
  • 当y=0时,x值为x轴截距

6.直线方程

6.1斜截式

若已知斜率k和y轴截距b,直线可表示为y = kx + b

当斜率不存在时,无法表达直线和竖直线

6.2 点斜式

若已知斜率k和某点(x_0,y_0),直线可表示为y-y_0=k(x-x_0)(无法表达竖直线)
k=\frac{y-y_0}{x-x_0}(水平和竖直都无法表达)

6.3截距式

若已知x轴和y轴截距分别为a, b,直线可表示为\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

无法表达过原点直线,水平线和竖直线

6.4两点式

若已知两点坐标(x_1,y_1),(x_2,y_2),直线可表示为\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}
化为整式:(y-y_1)(x_2-x_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)

无法表达水平线和竖直线

6.5 一般式

上述方程都可以化为一次函数ax+by+c=0,它称为直线方程的一般式

  • 斜率k=-\frac{a}{b}
  • x轴截距x=-\frac{c}{a}
  • y轴截距y=-\frac{c}{b}
  • 直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S=\frac{c^2}{2|ab|}
image.png

S=\frac{1}{2}|\frac{c}{a}||\frac{c}{b}|=\frac{c^2}{2|ab |}

7.两直线的位置关系

image.png

给出一条直线ax+by+c=0,写垂直直线方程
因为a_1a_2+b_1b_2=0,所以把x和y的系数互换,其中一个变为负,最后相加为0即可
bx-ay+c=0
-bx+ay+c=0

8.点与直线

8.1 点与直线的位置关系

(x_0,y_0),直线l:y=kx+b
y_0 \begin{cases} \>>kx_0+b,点在直线上方 \\ =kx_0+b,点在直线上\\ <kx_0+b,点在直线下方\\ \end{cases}

8.2 点到直线的距离

l:ax+by+c=0,(x_0,y_0)l的距离d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

8.3 两平行直线的距离

l_1:ax+by+c_1=0
l_2:ax+by+c_2=0
那么l_1l_2之间的距离为d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}

注意计算时需要统一系数

三、圆

1.圆的方程

1.1 标准式

圆心为(x_0,y_0),半径r的圆可表示为(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

1.2 一般式

x^2+y^2+ax+by+c=0
将其配方变成标准式:
(x+\frac{a}{2})^2+(y+\frac{b}{2})^2=\frac{a^2+b^2-4c}{4}
圆心:(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}) 半径:r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}

一般式成立的条件:a^2+b^2-4c>0 ,x^2,y^2系数一样

2.特殊的圆

image.png

3.与圆相关的位置关系

3.1 点与圆的位置关系

P(x_p,y_p),圆(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

将点代入圆的方程:
(x_p-x_0)^2+(y_p-y_0)^2 \begin{cases} <r^2,点在圆内\\ =r^2,点在圆上\\ \>>r^2,点在圆外\\ \end{cases}

判断标准:根据点到圆心的距离与半径的大小判断内外

3.2 直线与圆的位置关系

直线l:y=kx+b,圆O:(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2d为圆心(x_0,y_0)到直线l的距离

image.png

判断标准:根据圆心到直线的距离与圆的半径大小关系得出相离,相交和相切

直线过圆心,d=0

3.3 圆与圆的位置关系

image.png

判断标准:根据圆心距与半径和差的大小关系判断

四、对称

1.轴对称

1.1 点关于直线的对称

P(x_0,y_0)关于直线l:ax+by+c=0的对称点Q的坐标为(x_1,y_1),满足两个条件:

  • 线段PQ与直线L垂直,即线段PQ的斜率与直线L的斜率之积为-1
  • 线段PQ的中点在直线L上

因此Q的坐标可由以下方程组求得:
\begin{cases} \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}·-(\frac{a}{b})=-1\\ a·\frac{x_0+x_1}{2}+b·\frac{y_0+y_1}{2}+c=0\\ \end{cases}

大D法求对称点坐标
P(x_0,y_0) 对称直线l:ax+by+c=0

  • D=ax_0+by_0+c
  • Q(x_0-\frac{2aD}{a^2+b^2},y_0-\frac{2bD}{a^2+b^2})

1.2 平行直线的对称

image.png

l_1//l,因为l_1l_2关于l对称,由对称的性质易知l_1//l_2,且ll_1l_2的距离d_1d_2相等。
l_1的方程为ax+by+c_1=0l的方程为ax+by+c=0,
则可设l_2的方程为ax+by+c_2=0
根据距离相等可以得到l_2的方程为ax+by+(2c-c_1)=0

1.3 相交直线的对称

image.png

方法一:由l_1∩l=P,可求出交点坐标.再找出l_1上任意一点(点P除外)关于l对称的点的坐标(用点关于直线对称的方法),再根据两点式求出
直线l_2的方程.

方法二:由对称性可知l_1l的角相等,且l_2l_1l的交点P,由到角公式求出l_2的斜率,再求出交点P的坐标后,可由点斜式求
得直线的方程.

大D法求直线关于直线的对称
l_2:\frac{l_1}{l}=\frac{ax+by+c_1}{Ax+By+c}=\frac{2aA+2bB}{A^2+B^2}

1.4 圆关于直线的对称

image.png

只需求出圆心关于直线的对称点,再由半径不变求出圆的方程

1.5 特殊的对称

image.png

2.中心对称

2.1点关于点的对称

P(x,y)关于点M(a,b)对称的点Q的坐标是Q(2a-x, 2b-y).
(由中点坐标公式得到).
如点(1, -4)关于(-2, 0)对称的点是(-5, 4)

2.2直线关于点的对称

直线l:Ax+By+C=0关于P(a,b)对称的直线l_1的方程是:
A(2a-x)+B(2b-y)+C=0,即Ax+By-2aA-2bB-C=0

五、面积

1.直线相关面积

1.1 一条直线与两个坐标轴围成的三角形面积

先求出直线的两个截距,然后再计算面积
公式:直线ax+by+c=0与两坐标轴围成的面积为S=\frac{c^2}{|2ab|}

1.2两条直线与x轴围成的三角形面积

先求出两直线的交点及两直线与x轴的交点,然后利用底和高计算面积

1.3 两条直线与y轴围成的三角形面积

先求出两直线的交点及两直线与y轴的交点,然后利用底和高计算面积

1.4三条直线围成的三角形面积

先求出三个交点坐标,然后用点到直线的距离公式求出高,再用两点距离公式求出底,最后计算面积

image.png

S_△=\frac{1}{2}|x_ay_b-x_by_a|

如果三条直线相交的三个交点都不在原点处,则使用平移法,将其中一个座标平移到原点处,另外两个交点随之变化,再求面积
将其中一个点移动到原点,看x和y增加或减少了多少,对应另外两个点的x和y也增减相应的数值

六、最值问题

1.距离的最值

结合对称来分析距离的最值.

2. 面积的最值

由于三角形的面积跟底和高有关系,所以可以转化为距离的最值来分析.

利用均值定理或者函数最值

当经过定点的直线与坐标轴围成的三角形面积最小时,该定点为两个截距的中点。

3.线性规划最值

线性规划是利用数学为工具,来研究资源在一定条件下,如何精打细算,用最少的资源,取得最大的经济效益,它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.
做题中注意以下几个问题:
①用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类并列出表格,理清头绪,然后列出不等式组寻求约束条件,并就题目所述找到目标函数
②可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域.

4.动点求最值

对于动点求最值,往往结合表达式的几何意义,考虑动点运动到特殊位置时来分析最值.

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