原创：hxj7
PCA是数据降维的经典方法，本文给出了一个将PCA用于图片压缩的例子，并探索了标准化处理（normalization）对PCA的影响。文末还讨论了PCA推导第一主成分的过程。
PCA (Principal component analysis，主成分分析) 是一个经典的数据降维方法，可以将高维数据映射到低维空间中，使得低维空间中点在新坐标轴（主成分）上的坐标间方差尽可能大。PCA被广泛应用于各行各业的数据分析，其中当然也包括生物数据的分析。
讲解PCA的文章数不胜数，本文旨在作为一个学习笔记，不对PCA的原理和应用作过多重复的介绍；而是先给出一个将PCA用于图片压缩的例子，从而能够直观地感受PCA的效果；然后结合这个例子对PCA的推导做一些讨论。
目录
- PCA压缩灰度图片
- PCA压缩RGB图片
- PCA推导第一主成分
- 小结
- 附录：相关代码和参考来源
PCA压缩灰度图片
我们可以将图片看作是一个 （灰度空间）或者
（RGB空间）的数组。以灰度图片为例，可以利用PCA将
的矩阵降维成
（
）的矩阵，从而达到图片压缩的效果。
我们选择经典图片Lenna作展示 [来源参考附录六]，Lenna图片的大小是。在这个例子中，我们首先将彩色的图片转化为灰度图片。
（灰度原图）
我们看看在降维之前先对数据进行标准化（normalization）处理的话，会有怎样的结果 [代码见附录二]。所谓标准化处理，做过PCA的朋友应该很熟悉，就是将矩阵的每一列的数据进行缩放，使得每一列的平均值是0，标准差是1。
这里的就是保留多少个主成分。
（灰度效果图一）
如果降维前不做标准化处理，结果是这样的 [代码见附录三]。
（灰度效果图二）
很明显地，无论做不做标准化处理，保留的主成分越多，重建的图片越清晰。对于作标准化处理的情形，当我们保留50个主成分的时候，重建的图片已经有一个比较高的清晰度了，此时降维后数据大概是原数据大小的20% [附录一]。同时，比较上面两幅效果图，我们可以看出：降维前进行标准化处理对PCA效果有明显的提升。
PCA压缩RGB图片
当然，我们也可以直接对彩色图片进行压缩（降维）。
（彩色原图）
同样地，如果降维前作标准化处理，结果是这样的 [代码见附录四]。这里的依然是保留多少个主成分。
（彩色效果图一）
如果降维前不作标准化处理，结果是这样的 [代码见附录五]。
（彩色效果图二）
彩色图片压缩与灰度图片压缩类似，无论做不做标准化处理，保留的主成分越多，重建的图片越清晰。对于作标准化处理的情形，当我们保留50个主成分的时候，重建的图片已经有一个比较高的清晰度了，此时降维后数据大概是原数据大小的13% [附录一]。同时，比较上面两幅效果图，我们可以看出：降维前进行标准化处理对PCA效果有明显的提升。
PCA推导第一主成分
上面两小节中，我们了解了降维前对数据进行标准化处理是很重要的。那么，这个是不是可以在PCA的推导过程中体现出来呢？
对于一个的矩阵
，可以看作是
个样本，
个特征（feature）。对于生物数据而言，样本数量一般都是远小于特征数量的，也就是说
。自然地，我们希望降低特征的数量，将
的矩阵降维到
（
）的新矩阵
，并且让低维空间中的数据尽量继承原始数据中的方差，这样低维空间中的点也可以尽可能分得开。这个从高维到低维的映射过程可以通过
个
维向量完成。这
个
维向量也就是我们通常所说的主成分（低维空间中新的坐标轴）。
首先我们来看看如何找第一个主成分。假设这里的矩阵已经经过标准化处理，也就是说矩阵
每一列的平均值是0，标准差是1。我们的目标是找到一个
维单位向量
，使得原来矩阵
的
个
维向量
在这个主成分上的得分（坐标）
之间的方差最大。这里不用单位向量也可以，我们的目标是找到一个新的
维向量作为新坐标轴，用单位向量可以简化运算。我们知道一个向量
在单位向量
上的坐标是
，也就是说，
。
也就是说，我们要找的第一主成分就是
这里的是矩阵
的一个特征向量，并且是对应于最大特征值
的那个特征向量。具体说明如下：
从(1)式到(2)式用到了。这一点比较容易证明：
从(10)到(11)用到了矩阵的每一列平均值为0这个前提假设。从这里可以看出标准化处理数据（normalization）的意义。
从(5)到(6)其实是Rayleigh quotient的一个特例，它显示了对于任意单位向量，
的最大值为
，这个
是矩阵
最大的特征值；并且此时
就是
对应的特征向量
。具体证明如下。
从基础线性代数我们可以知道，任意一个实对称矩阵，比如的
，都可以分解为
。对
而言，矩阵
是一个
的正交矩阵，它的所有列构成一组单位正交基，且每一列
都是矩阵
的一个特征向量。矩阵
是一个
的对角矩阵，它的每一个对角线元素
都是矩阵
的一个特征值。并且，特征值
和特征向量
是一一对应的。
在下面的证明过程中，我们对矩阵中的特征值按照降序排列，也就是使得
。当然，同时也调整矩阵
中列的顺序，使得特征值仍然和特征向量一一对应。
于是，我们可以证明对于任意单位向量，方差
的最大值是
，且此时
就是
。
从(13)式到(14)式，利用了是一组基，所以一个
维向量
肯定可以表示为这组基的线性组合
。
从(15)式到(16)式，利用了单位正交的性质，即
从(17)式到(18)式，因为我们选择了降序排序的特征值，即。
从(19)式到(20)式，利用了的性质。因为
是单位向量，所以
到此，我们已经证明了当是矩阵
最大特征值
对应的特征向量
时（此时，
，
），
取得最大值
。也就是说，当选取
作为第一主成分时，新坐标之间的方差取得最大值
。
当然，得到第一主成分之后，我们可以继续推导第二主成分。当假定第二主成分与第一主成分正交时，我们可以利用上面的推导过程推算出第二主成分就是（简单来说，当第二主成分与第一主成分正交时，上面的
依然可以分解为
，只是此时
）。剩余的主成分依此类推。
这一小节我们给出了如何找到第一主成分的详细推导过程。从坐标轴的观点看，第一主成分有这样的特点，即在所有维向量中，原来的样本点在主成分所在坐标轴上的坐标之间的方差最大。不仅如此，在上面的推导中，我们还可以看到标准化处理（normalization）是如何在PCA降维过程中发挥作用的。比如，从(1)式到(2)式（或者说，从(10)到(11)）的推导就用到了矩阵
已经经过标准化处理的假定。如果这个假定不成立，则会破坏推导过程，从而减弱PCA的效果，正如我们在图片压缩例子中看到的那样。
小结
在本文中，我们利用PCA降维的方法对图片进行压缩。无论是灰度图片还是彩色图片，我们都发现了PCA降维可以有效地进行压缩，数据可以压缩到原来的20%（灰度图片）和13%（彩色图片）。并且，无论是在灰度图片还是彩色图片的例子中，我们都观察到了降维前进行标准化处理（normalization）可以显著地提升PCA的效果。最后，在推导第一主成分的过程中，我们看到了标准化处理是具体怎么样在PCA中发挥作用的。
附录：相关代码和参考来源
附录一：数据压缩比率的计算
将一幅的图片降维到
(
) 的时候，我们需要保留两个小的矩阵，一个是主成分的矩阵
，以及新的图片数据的矩阵
。所以，如果不考虑占比很小的平均值向量和标准差向量，数据压缩的比率大概是
。
对于灰度图片的压缩，当，
，
时，数据压缩的比率大概是19.53%。对于彩色图片的压缩，当
，
，
时，数据压缩的比率大概是13.02%。
附录二：灰度图片降维前进行标准化处理的代码
from PIL import Image
import numpy as np
img_fn = "Lenna_test_image.png"
img = Image.open(img_fn)
# convert to grayscale
gray_img = img.convert('L')
# convert to numpy array
im1 = np.array(gray_img)
# normalization. For each column, mean=0, sd=1
means = np.mean(im1, axis=0).reshape(1, -1)
sds = np.std(im1, axis=0).reshape(1, -1)
im2 = (im1 - means) / sds
# compute the eigenvalues and eigenvectors of {A^T}A
S = np.matmul(im2.T, im2)
W, Q = np.linalg.eig(S)
# sort the eigenvalues and corresponding eigenvectors
# from largest to smallest
w_args = np.flip(np.argsort(W))
Q = Q[:, w_args]
W = W[w_args]
# calculate new scores (coordinates)
C = np.matmul(im2, Q)
k = 50 # CHANGE ME! number of PCs to keep
# reconstruct the image with k PCs
im3 = np.matmul(C[:, :k], Q.T[:k, :])
im3 = im3 * sds + means
im3 = im3.astype('uint8')
Image.fromarray(im3)
附录三：灰度图片降维前不进行标准化处理的代码
from PIL import Image
import numpy as np
img_fn = "Lenna_test_image.png"
img = Image.open(img_fn)
# convert to grayscale
gray_img = img.convert('L')
# convert to numpy array
im1 = np.array(gray_img)
## normalization. For each column, mean=0, sd=1
#means = np.mean(im1, axis=0).reshape(1, -1)
#sds = np.std(im1, axis=0).reshape(1, -1)
#im2 = (im1 - means) / sds
im2 = im1
# compute the eigenvalues and eigenvectors of {A^T}A
S = np.matmul(im2.T, im2)
W, Q = np.linalg.eig(S)
# sort the eigenvalues and corresponding eigenvectors
# from largest to smallest
w_args = np.flip(np.argsort(W))
Q = Q[:, w_args]
W = W[w_args]
# calculate new scores (coordinates)
C = np.matmul(im2, Q)
k = 50 # CHANGE ME! number of PCs to keep
# reconstruct the image with k PCs
im3 = np.matmul(C[:, :k], Q.T[:k, :])
#im3 = im3 * sds + means
im3 = im3.astype('uint8')
Image.fromarray(im3)
附录四：彩色图片降维前进行标准化处理的代码
from PIL import Image
import numpy as np
img_fn = "Lenna_test_image.png"
img = Image.open(img_fn)
# convert to RGB mode
rgb_img = img.convert('RGB')
# convert to numpy array
im = np.array(rgb_img)
# simply combine the three (R,G,B) channels
im1 = np.hstack((im[:,:,0], im[:,:,1], im[:,:,2]))
# normalization. For each column, mean=0, sd=1
means = np.mean(im1, axis=0).reshape(1, -1)
sds = np.std(im1, axis=0).reshape(1, -1)
im2 = (im1 - means) / sds
# compute the eigenvalues and eigenvectors of {A^T}A
S = np.matmul(im2.T, im2)
W, Q = np.linalg.eig(S)
# sort the eigenvalues and corresponding eigenvectors
# from largest to smallest
w_args = np.flip(np.argsort(W))
Q = Q[:, w_args]
W = W[w_args]
# calculate new scores (coordinates)
C = np.matmul(im2, Q)
k = 50 # CHANGE ME! number of PCs to keep
# reconstruct the image data with k PCs
im3 = np.matmul(C[:, :k], Q.T[:k, :])
im3 = im3 * sds + means
im3 = im3.astype('uint8')
# reconstruct the three (R,G,B) channels
im3_channels = np.hsplit(im3, 3)
im4 = np.zeros_like(im)
for i in range(3):
im4[:,:,i] = im3_channels[i]
Image.fromarray(im4)
附录五：彩色图片降维前不进行标准化处理的代码
from PIL import Image
import numpy as np
img_fn = "Lenna_test_image.png"
img = Image.open(img_fn)
# convert to RGB mode
rgb_img = img.convert('RGB')
# convert to numpy array
im = np.array(rgb_img)
# simply combine the three (R,G,B) channels
im1 = np.hstack((im[:,:,0], im[:,:,1], im[:,:,2]))
## normalization. For each column, mean=0, sd=1
#means = np.mean(im1, axis=0).reshape(1, -1)
#sds = np.std(im1, axis=0).reshape(1, -1)
#im2 = (im1 - means) / sds
im2 = im1
# compute the eigenvalues and eigenvectors of {A^T}A
S = np.matmul(im2.T, im2)
W, Q = np.linalg.eig(S)
# sort the eigenvalues and corresponding eigenvectors
# from largest to smallest
w_args = np.flip(np.argsort(W))
Q = Q[:, w_args]
W = W[w_args]
# calculate new scores (coordinates)
C = np.matmul(im2, Q)
k = 50 # CHANGE ME! number of PCs to keep
# reconstruct the image data with k PCs
im3 = np.matmul(C[:, :k], Q.T[:k, :])
#im3 = im3 * sds + means
im3 = im3.astype('uint8')
# reconstruct the three (R,G,B) channels
im3_channels = np.hsplit(im3, 3)
im4 = np.zeros_like(im)
for i in range(3):
im4[:,:,i] = im3_channels[i]
Image.fromarray(im4)
附录六：参考来源
Lenna图片（参考Wikipedia页面）：By Original full portrait: "Playmate of the Month". Playboy Magazine. November 1972, photographed by Dwight Hooker.This 512x512 electronic/mechanical scan of a section of the full portrait: Alexander Sawchuk and two others[1]Permission = Use of this 512x512 scan is "overlooked" and by implication permitted by Playboy.[2]Alexander Sawchuk et al scanned the image and cropped it specifically for distribution for use by image compression researchers, and hold no copyright on it.[1] - The USC-SIPI image database, Fair use, https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=20658476
本文完。
（公众号：生信了）
