第八讲一元函数积分学的概念与计算

这一讲有两个部分的内容，积分的概念和积分的计算

第一部分积分的概念

不定积分
原函数：设函数 $f(x)$ 定义在某个区间 $I$ 上，若存在可导函数 $F(x)$ ，对于该区间上任意一点都有 $F'(x)=f(x)$ 成立，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数，称 $\int f(x)dx=F(x)+C$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，其中C为任意常数
原函数(不定积分)存在定理：
连续函数必有原函数；含有第一类间断点，无穷间断点的函数 $f(x)$ 在包含该间断点的区间内比没有原函数（可参考前面介绍的导数介值定理）
定积分
定积分的精确定义： $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}=\int_a^bf(x)dx$
$\color{red}{特例}$ ：取 $a=0,b=1$ ，则
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})\frac{1}{n}=\int_0^1f(x)dx$

例题
计算 $\lim_{n\to\infty}(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+\cdots+\frac{n+n}{n^2+n^2})$
夹逼准则失效，所以采用定积分定义来解此题
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{n+i}{n^2+i^2}$
第一步：提出 $\frac{1}{n}\color{red}{(最好从次数低的部分提取)}$
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{n^2+ni}{n^2+i^2}\cdot \frac{1}{n}$
第二步：凑出 $\frac{i}{n}$
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1+\frac{i}{n}}{1+(\frac{i}{n})^2}\cdot \frac{1}{n}$
第三步：按照定义构造函数
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1+\frac{i}{n}}{1+(\frac{i}{n})^2}\cdot \frac{1}{n}=\int_0^1\frac{1+x}{1+x^2}dx$
$=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx+\int_0^1\frac{x}{1+x^2}=(\arctan x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2))|_0^1$
$=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$

定积分的性质：

可以根据定积分的定义来求长度、面积、体积以及 $\color{red}{曲面面积}$ ( $\int dx$ )
积分的线性性质：设 $k_1,k_2$ 为常数，则 $\int_a^b[k_1f(x)\pm k_2g(x)]dx=k_1\int_a^bf(x)dx\pm k_2\int_a^bg(x)dx$
积分的可拆可加性：无论 $a,b,c$ 的大小情况如何，总有 $\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$
积分的保号性：若区间在 $[a,b]$ 上有 $f(x)\le g(x)$ ，则有 $\int_a^bf(x)dx\le\int_a^bg(x)dx$ (只有当两个函数完全相等的时候才等于0)
推论：若非负函数不恒等于零，则其积分必然大于零
特殊地，有
$|\int_a^bf(x)dx|\le \int_a^b|f(x)|dx$

估值定理：设 $M,m$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，则有：
$m(b-a)\le \int_a^bf(x)dx\le M(b-a)$

积分中值定理： $\color{red}{(重要等级三颗星)}$
设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$ ，使得
$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$

证明
连续函数必有原函数，设 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ ，则 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数
在 $[a,b]$ 上用拉格朗日中值定理可得：
$F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)$
$\int_a^bf(x)dx-\int_a^af(t)dt=F'(\xi)(b-a)$
$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$
$\xi\in(a,b)\subset[a,b]$

反常积分：无穷区间积分和无界函数积分
无穷区间上反常积分的概念和收敛性：
$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{x\to +\infty}F(x) - F(a)$ ，如果此极限存在则称反常积分收敛，否则称其为发散。
无界函数的反常积分的概念和收敛性：
$\int_a^b f(x)dx=\lim_{x\to b^-}F(x)-F(a)$ ，如果此极限存在则称反常积分收敛，否则称其为发散。

变限积分：
当 $x$ 在 $[a,b]$ 上变动时，对应于每一个 $x$ 值，积分 $\int_a^bf(t)dt$ 就有一个确定的值，因此 $\int_a^bf(t)dt$ 是一个边上限的函数，记为 $\varphi(x)=\int_a^xf(t)dt(a\le x\le b)$ ，称函数 $\varphi(x)$ 为变上限的定积分，同理可定义变下限的定积分和上下限都变化的定积分，这些都统称为变限积分

定积分是一个数，而变限积分是一个函数

变限积分的求导公式：
设 $F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt$ ，则
$F'(x)=f(\varphi_2(x))\varphi_2'(x)-f(\varphi_1(x))\varphi_1'(x)$

第二部分积分的计算

$\begin{cases}基本积分公式\\凑微分法\\换元法\\分部积分法\\有理函数积分\end{cases}$

基本积分公式

$\int x^k dx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C,(k\ne -1)$
$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$
$\int e^xdx=e^x+C;\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C,(a>0,a\ne 1)$
$\int \sin xdx = -\cos x;\int \cos xdx=\sin x +C$
$\int\tan xdx=-\ln|\cos x| + C;\int\cot xdx=\ln |\sin x|+C$
$\int\frac{dx}{\cos x}=\int \sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$
$\int\frac{dx}{\sin x}=\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C$
$\int\sec^2xdx=\tan x + C;\int\csc^2xdx=\cot x + C$
$\int\sec x\tan x dx=\sec x+C;\int\csc x\cot xdx=-\csc x+C$
$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$
$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$
$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$ ,常见 $a=1$
$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
$\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C$
$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2}+C,(a\gt |x|\ge 0)$
$\int\sin^2xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2})$
$\int\cos^2xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,(\cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2})$
$\int\tan^2xdx=\tan x-x+C,(\tan^2x=\sec^2x-1)$
$\int\cot^2xdx=-\cot x-x+C,(\cot^2x=\csc^2x-1)$

凑微分法
$\int F(g(x))g'(x)dx=\int F(g(x))d(g(x))$
“湮灭”：
$\int_a^b\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+c$
$d(\int_a^b\frac{1}{1+x^2} dx) = d(\arctan x + c)$
$\frac{1}{1+x^2}dx=d(\arctan x)$
换元法
换元法的基本思想和凑微分法的基本思想恰好相反
实战思维结构：

三角函数代换
$\begin{cases}\sqrt{a^2+x^2},令x=a\sin t\\\sqrt{a^2+x^2},令x=a\tan t\\\sqrt{x^2-a^2},令x=a\sec t\end{cases}$
恒等变换之后再做三角代换
当被积函数含有 $\sqrt{ax^2+bx+c}$ 时，可化为以下三种形式 $\sqrt{\varphi^2(x)+k^2},\sqrt{\varphi^2(x)-k^2},\sqrt{k^2-\varphi^2(x)}$ ，再进行三角代换
根式代换
当被积函数含有根式 $\sqrt[n]{ax+b},\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}},\sqrt{ae^{bx}+c}$ 时，一般令根式 $\sqrt{*}=t$
倒代换
当被积函数中的分式的分母次数比分子次数高时，可用 $x=\frac{1}{t}$ 的代换方式，令分子的次数高于分母的次数
复杂函数的直接代换
当被积函数中含有 $a^x,e^x,\ln x,\arcsin x,\arctan x$ 等时，可考虑直接令复杂函数等于t，这种方法一般和分部积分法结合使用

分部积分法
基本思想： $\int udv=uv-\int vdu$

证明
$(uv)'=u'v+uv'$
$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}$
$d(uv)=vdu+udv$
$\int d(uv)=\int vdu+\int udv$
$uv=\int vdu+\int udv$
$\int udv=uv-\int vdu$

$\color{red}{分部积分法使用技巧:}$
"反、对、幂、指(三)、三(指)"从左往右，求积分难度降低，化作v；从右往左，求导数难度降低，化作u。

分部积分法的推广：

反复使用分部积分

分部积分的三种使用情形：

幂函数或三角函数乘以指数函数 $\int P_n(x)e^{kx}dx$ (将幂函数求导至零)

故 $\int (x^3+2x+6)e^{2x}dx=e^{2x}(\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{7}{4}x+\frac{17}{8})+C$
指数函数乘以三角函数 $\int e^{ax}\sin bxdx$ (积分再现)

故 $\int e^x\sin xdx=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C$
幂函数乘以对数函数 $\int P_n(x)\ln xdx$ (只需使用一次分部积分)

故 $\int x^2\ln xdx=\frac{1}{3}x^3\ln x-\frac{1}{9}x^3+C$

有理函数的积分
将形如 $\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx(n\lt m)$ 的积分称为有理函数的积分，其中 $P_n(x),Q_m(x)$ 分别是 $n$ 次多项式和 $m$ 次多项式
求积方法：先将 $Q_m(x)$ 因式分解，再将 $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ 拆成若干最简有理分式之和
分解的基本原则：

$Q_m(x)$ 的一次单因式 $ax+b$ 产生一项 $\frac{A}{ax+b}$
$Q_m(x)$ 的 $k$ 重一次因式 $(ax+b)^k$ 产生 $k$ 项，分别为 $\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(ax+b)^k}$
$Q_m(x)$ 的二次单因式 $px^2+qx+r$ 产生一项 $\frac{Ax+B}{px^2+qx+r}$
$Q_m(x)$ 的 $k$ 重二次单因式 $(px^2+qx+r)^k$ 产生 $k$ 项 $\frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r}+\frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2}+\cdots+\frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k}$

定积分的计算
找到原函数后，可以直接使用牛顿-莱布尼茨公式算出定积分
$\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$
在此基础上，还可以使用一些技巧进行化简

若 $f(x)$ 是连续偶函数，则
$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$
若 $f(x)$ 是连续奇函数，则
$\int_{-a}^af(x)dx=0$
若 $f(x)$ 为连续周期函数，则
$\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx$
若 $f(x)$ 为连续函数，则 $\color{red}{(重要等级三颗星)}$
$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$ （也被称为区间再现法）

证明
令 $x=a+b-t$
$\int_a^bf(x)dx\Rightarrow \int_b^af(a+b-t)(-dt)$
$=\int_a^bf(a+b-t)dt$
$=\int_a^bf(a+b-x)dx$

$\color{red}{区间再现法的运用}(f(x)+f(a+b-x))$

计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$
使用区间再现法：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)+\cos(\frac{\pi}{2}-x)}$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}$
$\because\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1dx=x|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$
$\therefore\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{\pi}{4}$

若 $f(x)$ 为连续函数，则 $\color{red}{(重要等级无穷颗星)}$
华里士公式： $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=$
$\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2},其中n为正偶数\\\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3},其中n为大于1的奇数\end{cases}$
华里士公式的推广：
$\int_0^{\pi}\sin^nxdx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$
$\int_0^{\pi}\cos^nxdx=\begin{cases}0，n为正奇数\\2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx，n为正偶数\end{cases}$
$\int_0^{2\pi}\sin^nxdx=\int_0^{2\pi}\cos^nxdx=\begin{cases}0，n为正奇数\\4\int_0^{2\pi}\sin^nxdx，n为正偶数\end{cases}$

第八讲 一元函数积分学的概念与计算

第一部分 积分的概念

第二部分 积分的计算

第八讲一元函数积分学的概念与计算

第一部分积分的概念

第二部分积分的计算