主成分分析，即Principal Component Analysis（PCA），是多元统计中的重要内容，也广泛应用于机器学习和其它领域。它的主要作用是对高维数据进行降维。PCA把原先的n个特征用数目更少的k个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的k个特征互不相关。关于PCA的更多介绍，请参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis.
PCA的主要算法如下：
- 组织数据形式，以便于模型使用；
- 计算样本每个特征的平均值；
- 每个样本数据减去该特征的平均值（归一化处理）；
- 求协方差矩阵；
- 找到协方差矩阵的特征值和特征向量；
- 对特征值和特征向量重新排列（特征值从大到小排列）；
- 对特征值求取累计贡献率；
- 对累计贡献率按照某个特定比例，选取特征向量集的字迹合；
- 对原始数据（第三步后）。
其中协方差矩阵的分解可以通过按对称矩阵的特征向量来，也可以通过分解矩阵的SVD来实现，而在Scikit-learn中，也是采用SVD来实现PCA算法的。关于SVD的介绍及其原理，可以参考：矩阵的奇异值分解（SVD）（理论）。
本文将用三种方法来实现PCA算法，一种是原始算法，即上面所描述的算法过程，具体的计算方法和过程，可以参考：A tutorial on Principal Components Analysis, Lindsay I Smith. 一种是带SVD的原始算法，在Python的Numpy模块中已经实现了SVD算法，并且将特征值从大从小排列，省去了对特征值和特征向量重新排列这一步。最后一种方法是用Python的Scikit-learn模块实现的PCA类直接进行计算，来验证前面两种方法的正确性。
用以上三种方法来实现PCA的完整的Python如下：
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
import sys
#returns choosing how many main factors
def index_lst(lst, component=0, rate=0):
#component: numbers of main factors
#rate: rate of sum(main factors)/sum(all factors)
#rate range suggest: (0.8,1)
#if you choose rate parameter, return index = 0 or less than len(lst)
if component and rate:
print('Component and rate must choose only one!')
sys.exit(0)
if not component and not rate:
print('Invalid parameter for numbers of components!')
sys.exit(0)
elif component:
print('Choosing by component, components are %s......'%component)
return component
else:
print('Choosing by rate, rate is %s ......'%rate)
for i in range(1, len(lst)):
if sum(lst[:i])/sum(lst) >= rate:
return i
return 0
def main():
# test data
mat = [[-1,-1,0,2,1],[2,0,0,-1,-1],[2,0,1,1,0]]
# simple transform of test data
Mat = np.array(mat, dtype='float64')
print('Before PCA transforMation, data is:\n', Mat)
print('\nMethod 1: PCA by original algorithm:')
p,n = np.shape(Mat) # shape of Mat
t = np.mean(Mat, 0) # mean of each column
# substract the mean of each column
for i in range(p):
for j in range(n):
Mat[i,j] = float(Mat[i,j]-t[j])
# covariance Matrix
cov_Mat = np.dot(Mat.T, Mat)/(p-1)
# PCA by original algorithm
# eigvalues and eigenvectors of covariance Matrix with eigvalues descending
U,V = np.linalg.eigh(cov_Mat)
# Rearrange the eigenvectors and eigenvalues
U = U[::-1]
for i in range(n):
V[i,:] = V[i,:][::-1]
# choose eigenvalue by component or rate, not both of them euqal to 0
Index = index_lst(U, component=2) # choose how many main factors
if Index:
v = V[:,:Index] # subset of Unitary matrix
else: # improper rate choice may return Index=0
print('Invalid rate choice.\nPlease adjust the rate.')
print('Rate distribute follows:')
print([sum(U[:i])/sum(U) for i in range(1, len(U)+1)])
sys.exit(0)
# data transformation
T1 = np.dot(Mat, v)
# print the transformed data
print('We choose %d main factors.'%Index)
print('After PCA transformation, data becomes:\n',T1)
# PCA by original algorithm using SVD
print('\nMethod 2: PCA by original algorithm using SVD:')
# u: Unitary matrix, eigenvectors in columns
# d: list of the singular values, sorted in descending order
u,d,v = np.linalg.svd(cov_Mat)
Index = index_lst(d, rate=0.95) # choose how many main factors
T2 = np.dot(Mat, u[:,:Index]) # transformed data
print('We choose %d main factors.'%Index)
print('After PCA transformation, data becomes:\n',T2)
# PCA by Scikit-learn
pca = PCA(n_components=2) # n_components can be integer or float in (0,1)
pca.fit(mat) # fit the model
print('\nMethod 3: PCA by Scikit-learn:')
print('After PCA transformation, data becomes:')
print(pca.fit_transform(mat)) # transformed data
main()
运行以上代码，输出结果为：
Eclipse运行结果
这说明用以上三种方法来实现PCA都是可行的。这样我们就能理解PCA的具体实现过程啦~~
有兴趣的读者可以用其它语言实现一下哈。
参考文献：
- PCA 维基百科： https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis.
- 讲解详细又全面的PCA教程： A tutorial on Principal Components Analysis, Lindsay I Smith.
- 博客：矩阵的奇异值分解（SVD）（理论）：http://www.cnblogs.com/jclian91/p/8022426.html.
- 博客：主成分分析PCA: https://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2222048.html.
- Scikit-learn的PCA介绍：http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.decomposition.PCA.html.
