秘诀·建模·哲思
——例谈思维力在专题研究中的提撕之一
北师大版四年级上册36页有一道数学游戏题。这道数学游戏题是安排在学习了《神奇的计算工具》之后的练习题。其中第二问是问号题，即拓展练习题。
拓展练习，在“练一练”题目比例中占1/10。是基本练习、变式练习、拓展练习三个层次当中的最高层次。拓展练习编写意图是，力求体现对于重要内容的进一步理解，发展数学思考和解决问题的能力。拓展练习的完成，需要用到丰富的数学素养，更能促进数学素养的进一步提高与发展。
为了有序、有效促进孩子们思维力的发展，体现生命数学的魅力，不妨将这一道数学游戏题进行扩充，设计成专题研究课，可以用来引领初中生孩子们进行一场数学素养养成的练兵之旅，在专题研究中提撕思维力，体验探求“秘诀”的乐趣，感受数学建模思想带来的快慰，颖悟数学中蕴含的人生哲理。
一、由简到繁，逻辑推理步步为营
通过以下例题引发孩子有序思考，体验由简到繁的过程，形成步步为营的推理习惯。
题一：用3，4，5这三个数字，任意组成一个一位数和一个两位数，求出它们的积，积大者获胜。
孩子们用不了些许时间，很快能够得出正确的答案，积是最大者的算式为：5×43=215。
题二：用2，3，4，5这四个数字，任意组成两个两位数，求出它们的积，积大者获胜。
同学能够把眼光集中在53×42或者是52×43这两个算式上。因为孩子们已经具备“用若干个数字写出最大的数”既有体验，会不自觉地运用。通过计算可以得到，52×43=2236，是乘积最大的算式。
题三：用1，2，3，4，5这五个数字，任意组成一个两位数和一个三位数，求出它们的积，积大者获胜。
孩子们有了前面两题做铺垫，对乘积最大的获得，有了思维上的准备。在这一基础上引领孩子们对比题三与题二的不同。从而让孩子们感悟到。其实题三就是在题二的基础上把新增加的数字“1”，添加在52后面还是添加在43后面的问题了。于是得出如下算式：
521×43=22403，
52×431=22412。
从而轻而易举获得52×431=22412是乘积最大的算式。
从三道题的表面来看，遵循的是从简到繁的一个过程，然而由于逻辑推理的有序、渐进、到位，步步为营，让孩子们充分经历了思维的推进，在推理过程中获得了感悟。让孩子们在数学素养上得到了较好的训练。
二、从数及字，数学抽象掷地有声
数学语言是世界上最智慧的语言。用字母表示数，是学生在思维上一个质的飞跃。字母表示数，具有强烈的符号意识。符号意识是学生数学抽象的重要表现，可以表达现实生活中蕴含的更为普遍，更为一般的数学原理、数学本质、数学之美。
于是我们将前文提到的1、2、3、4、5，按照从大到小的顺序5、4、3、2、1，依次用字母a、b、c、d、e来表示。用字母表示数，每个字母所代表的原数的大小已经没有了实质性的意义，保留下来的，是他们彼此之间的大小关系。即a>b>c>d>e。
这时我们可以利用字母表示这些数来二次研究上述的问题。
题一：已知9≥a>b>c≥1，用a，b，c这三个数字，怎样组成一个一位数和一个两位数，使得乘积最大。
经过操作，不难发现只有两种组合成为我们关注的重点。即a，c组成两位数与b的乘积及b，c组成的两位数与a的乘积。为了探寻这两种组合，哪一种组合乘积最大？可以循序渐进引入作差法比较数的大小。
例如：因为5>3，所以5-3>0，用字母表示为：如果a>b，那么a-b>0。反之，如果a-b>0，那么a>b。
a，c组成的两位数可以表示为10a+c，同理b，c组成的两位数可以表示为10b+c。于是，我们可以引导学生列出以下算式并进行计算：
(10b+c)×a－(10a+c)×b
=10ab+ac-10ab-bc
=ac-bc
=(a-b)c
>0
所以b，c组成的两位数与a的乘积(10b+c)×a是最大的。即bc×a最大(bc表示一个两位数)。
题二：已知9≥a>b>c>d≥1，用a，b，c，d这四个数字，怎样组成两个两位数，使得乘积最大。
在前面题目的基础上，可以聚焦的组合应该有两种。列式为：(10a+c)×(10b+d)与(10a+d)×(10b+c)。可以引导学生计算：
(10a+d)×(10b+c)-(10a+c)×(10b+d)
=100ab+10ac+10bd+cd-100ab-10ad-10bc-cd
=10a(c-d)+10b(d-c)
=10(c-d)(a-b)
>0
因此乘积最大的组合为：
(10a+d)×(10b+c)，即：ad×bc (ad,bc均表示一个两位数)。
题三：已知9≥a>b>c>d>e>f≥1，用a，b，c，d，e，f这六个数字，怎样组成两个三位数，使得乘积最大。
在题二的基础上，可以聚焦的组合应该有两种。列式为：(100a+10d+f)×(100b+10c+e)与(100a+10d+e)×(100b+10c+f)。可以引导学生计算：
(100a+10d+f)×(100b+10c+e)-(100a+10d+e)×(100b+10c+f)
=10000ab+1000ac+100ae+1000bd+100cd+10de+100bf+10cf+ef-10000ab-1000ac-100af-1000bd-100cd-10df-100be-10ce-ef
=100a(e-f)+10d(e-f)+100b(f-e)+10c(f-e)
=100(a-b)(e-f)+10(d-c)(e-f)
=10(e-f)[10(a-b)+(d-c)]
>0
因此乘积最大的组合为：(100a+10d+f)×(100b+10c+e)，即：adf×bce(adf与bce均为一个三位数)。
三、举一反三，建模思想登峰造极
为了表达方便，回过头来我们用6、5、4、3、2、1代表a、b、c、d、e、f。
用三个数字组成一个一位数和一个两位数，使得乘积最大的时候我们发现结果是：6×54；
用四个数字组成两个两位数，使得乘积最大时，结果是：63×54；
用五个数字组成一个两位数和一个三位数，使得乘积最大时，结果是：63×542；
用六个数字组成两个三位数，使得乘积最大时，结果是：631×542。
通过以上例子可以引导孩子们仔细观察与积极思考，找出其中的规律：
1.将数字从到大小依次使用；
2.每新增一个数字，需要判断原有的两个数谁大谁小。把新增的数字添在原数中较小的数的末尾，组成一个多一位的数。
其实这就是解决这一问题的一个极简模型。从大到小依次添加，每次将新添加的数添在较小数的末尾即可解决问题。
其中也蕴含了深刻的人生哲学。要获得乘积最大也就是要获得最优解，添加数字做选择时需要舍大取小。“随小”是为了最终的取“最大”。犹如每次暂时后退是为了便于助力冲刺越过前面的鸿沟。
那么如何来验证这一模型的正确性呢？我们用A、B代表原先的两个数，并且A大于B。现在增加一个数n。把n添在A的末尾还是B的末尾，能使它们的乘积更大呢？
依据前文得出的模型，应该是添在B的末尾乘积会更大。于是根据作差法列式推理如下：
(10B+n)×A-(10A+n)×B
=10AB+An-10AB-Bn
=(A-B)×n
>0
通过用字母代表具体的数进行推理认证，这样结论更具有一般性与普适性。同时也说明，我们通过具体分析，逐渐得出的解决问题的模型是正确的，具有推广的价值与意义。
如果学生感兴趣的话，我们这个模型还可以进一步推广。我们前面所讨论的前提是十进制的数。还可以把十进推广为十六进制甚至n进制。如果是十六进制的话，我们就需要16个字符，表示从0到15。例如我们可以采用这些字符，0123456789ABCDEF，其中A代表10，F代表15。当然组成的数的数位也不再叫个位，十位和百位了。而应该是16º位，16¹位，16²位，16³位，以此类推。同理，如果是n进制的话，那我们就需要n个字符，表示从0到n-1。数位从右起，分别是nº位，n¹位，n²位，n³位……
