定义
对于方阵构成的方程
中，非平凡解
被称为
的特征向量，
被称为
的特征值。其含义在于向量经过矩阵描述的线性变换后，仍然和自身共线。
比较特殊的是零向量，因为不管矩阵如何变换，零向量始终不变，也就是始终和自身共线，因此在特征向量的定义里，特意排除掉了零向量（的平凡解）。但是特征值可以为 0。
示例
我们有这样两个矩阵：
我们先求A的特征值和特征向量：
要求得特征值和特征向量，而，那么也就是要上述方程有非平凡解，因此
必须是一个奇异矩阵，其行列式必为0，于是有：
根据二阶行列式的公式： ，解得
。
进一步计算特征向量，由于特征向量都在一条线上，因此有无数个，我们只随便取一个，比如令其为：
解得：
同样的方法对求解，观察得：
根据之前的解：，因此
。
可以看到有这样的规律，当矩阵与单位矩阵相加得到新的矩阵时
，其特征值也相应增加
。
假如我们没能一眼看出这层关系，那么我们用行列式来计算。
对最后一步展开得。神奇的是B的行列式和迹是：
，
。迹就是矩阵主对角线（左上到右下）之和。还存在这样的关系：
。
进一步计算特征向量：
下面证明上述“神奇”的关系，已知 ：
若要能有特征值，那上述二次方程必须有解。根据高中知识，我们知道二次方程
的两个解有这样的关系
，因此，特征值的和恰好等于迹。
结论
-
，则
特征向量不变，而
的特征值分别增加
。
- 矩阵的迹的和等于特征值的和。
- 有的矩阵是没有特征值的，比如旋转矩阵，它把整个向量空间进行旋转，所有向量的方向都改变了，也就没有特征向量和特征值。比如你可以算一下
的特征值。会得到一个
的无实数解的方程。
