原码、反码、补码介绍（主要补码）

1.为什么用补码

首先肯定一点，计算机中非浮点数（浮点数没研究过）都是用补码表示二进制数的，为什么用补码而不用原码或者反码，是因为补码系统的最大优点是可以在加法或减法处理中，不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法，而且减法可以用一个数加上另一个数的补码来表示，因此只要有加法电路及补码电路即可完成各种有号数加法及减法，在电路设计上相当方便。减法电路得设计相对而言更复杂。

2. 为什么补码可以实现减法

要想理解这一点，首先必须知道同余的概念。想象一个时钟，如下图

现在是8点钟，如果我想时间变到6点中，那么我有两种方法，第一种顺时针10个小时，第二种逆时针旋转2个小时，都可以得到6点钟。但是就本质而言，这两种方法得到的6点钟，其实是不同的。如果8点是上午8点，那么第一钟方法得到的其实是下午的6点，但第二钟方法得到的是上午的6点。但是对于这个表而言，它只有1点到12点，并没有上午下午之分，对于它而言，这两张方法得到的都是6点钟（时钟指针都是指向6），并没有区别。

换成计算的方式，第一中方式相当于8+10=18 $\equiv$ 6，第二种方式相当于8-2=6。

在这个时钟的例子里，一个时钟最多只能表示12个小时，即从1点到12点。上例中的8点加十个小时，计算结果是18时，但是时钟最多只能表示12时，这种情况下就是溢出了，超出了时钟能表示的范围，最后结果是6点。

那么在这种情况情况下的加减运算都是模12的加减运算，12就是时钟能表示的数字范围。而同余表示两个数除以12，余数相同，称之为同余，用 $\equiv$ 表示。这个概念以及符号最早是高斯提出来的，果然是个伟人。

3.补码的计算

当你查阅资料时，尤其是用百度（程序员还是用google好），你会发现大部分人写的补码的计算方法都是：符号位不变，其他位取反，末位加1。也就是说要算补码，先拿到反码。这里补充一下原码、反码、补码的知识。原码就是二进制数，比如2，用8位二进制就是0000 0010，那反码就是加入符号位（0表示正数，1表示复数），最高位表示符号位，比如-2，用8位二进制就是1000 0010，最后补码，比如-2，就是-2的符号位不变，其他位组为取反，即1111 1101，然后末位加1，即1111 1110。正数的原码反码补码相等，都是原码。

但是如果你感兴趣，自己琢磨，你会发现有个特殊的数字0，按照上述的方法计算会纠结，0的原码是0000 0000，反码是1000 0000，如果除符号位逐位取反，即1111 1111，再加1的话，会产生进位，这个进位，要不要进给符号位，如果给，那就是0000 0000，如果不给，那这个进位浪费掉，最后是1000，0000。而实际的结果是多少呢，是0000 0000，符号位参与运算。而也就是说0的补码还是0。而这个1000 0000其实也是有特殊用途的（后面说）。在整个补码的计算过程中，只有计算0的补码会产生溢出。

上面说了0计算的补码还是0，其实还有一个特殊的补码，即1000 0000，这个补码，你找不到原码，不信你找找看。

其实如果你想得多，你会发现这两个特殊的数。就拿8位的二进制来说，能表示256个数。如果按照上述说的补码来表示的话，正数能表示0-127，刚好128个数，256的一半，那么负数必然也能表示另外一半，难道是（-0）-（-127）？很明显，-0是没有的，因为0的补码还是0，那么(-1)-(-127)只有127个数，剩下一个是什么？就是那个无法计算补码的数1000 0000。既然（-0）没意义，那么这个多出来的数就表示-128，这样刚好不浪费。（补一句，如果用反码表示，那还真的有-0，等于浪费一个数）。这个现象如果你写代码一定能发现，比如java的int类型或者long类型，最小负数的绝对值一定比最大正数大1，不信你试试看。

上述的计算补码的方式其实说复杂了，简单的方法是直接逐位取反，末位加1即可。而且这个反过来也可以，即知道补码求原码，也能这样算。

补码的计算为什么是逐位取反，末位加1，拿8位二进制举例，其最大能表示 $2^8$ =256个数，那么一个数逐位取反后，这个取反后的数和原数相加必定等于257，比如1001 0010，逐位取反后，是0110 1101，这两个数相加一定是1111 1111，即257，再加上1，就是258。所以一个数的补码的计算可以概括为一下公式，如果一个数是a，二进制位数是n，那么补码就是 $2^n$ -a。

现在，如果你已知一个补码b，让你求原码，你怎么计算，按照逐位取反，末位加1的反向计算可不可以，当然可以，先减一，再逐位取反（符号位不变）。但是如果你将上面的那段推理看明白的话，其实同样按照逐位取反，末尾加1的计算方式即可。（回头看看那个无法求原码的补码1000 0000，按照逐位取反，末位加1，得到的还是1000 0000）

这个模型就是a+b= $2^n$ ，那么a= $2^n$ -b，b= $2^n$ -a。

4 补码的同余

对于一般的计算，a的补码我们认为是-a，为什么可以这样。对于a，根据计算公式，其补码为 $2^n$ -a，我们需要认定的是-a与 $2^n$ -a同余即可。

-a=-a-( $2^n$ *(-1))... $2^n$ -a，即商取-1，得到余数是 $2^n$ -a

对于 $2^n$ -a，商取0即可，得到余数是自身，与-a的余数相同，得到 -a $\equiv$ $2^n$ -a

从而用这种方式计算补码，表示负数。（对于负数取余，各个语言有些差异，主要在取商上面，请看参考文档）

以上，我们得出结论，a的补码即为-a

5 运算

补码只是解决两数相减的运算，对于两正数相加，两负数相减的溢出问题，任然还是问题。也就是说溢出了，就超出了能计算的范围，答案就是错的。

观察一下补码的运算，一个正数减去另一个正数，或者说一个正数加上一个负数。对于补码，以8位举例，最大的数-1，是1111 1111，最小的数-128，是1000 0000，我们看，最大的数是最容易溢出，溢出后表示的就是正数，而计算结果也正是正数。而最小的数反而是最不容易溢出的，那相加的数没溢出，表示的数还是负数。

6 番外

注意，8位二进制能表示256个数是没有质疑的，但是能表示哪256个数，却是人为定义的。

比如负数，表示(-1)-(-128)很容易理解，但是，根据上面的同余概念，（-1）与（-257）同余，

（-128)与(-384)同余。那么，负数部分表示(-257)-(-384)可不可以？当然可以，但是

正数部分表示的数也得相应改变（由(0)-(127)变为(256)-(383)），这样才能保证计算结果结果正确。

参考资料：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E8%A3%9C%E6%95%B8

http://ceeji.net/blog/mod-in-real/