[18-03-24] Matlab 数据分析
1° 数据插值
一般地，从各种试验得来的数据总是有一定的数量，而利用插值技术能够从有限的数据中获取系统整体的状态，因此，数据插值在各行各业，特别是信号处理领域内有着广泛的应用。
函数中较常用的就是进行基本插值的 interp 系列函数，其中 interp1 和 interp1q 函数比较起来，后者在处理 X 为单调递增的向量，Y 为列向量或者行数同 X 向量长度的矩阵进行插值计算的时候，速度较快，而且仅能进行线性插值。
interp1 函数一般的用法为 yi = interp1(x, y, xi, method)
其中:
- x 和 y 为原始数据，xi 为需要计算的插值点。
method可以为插值计算指定相应的算法，为字符串类型，其取值可以为nearestlinearsplinecubicpchipv5cubic。
若进行插值运算时，xi 的取值超过了 x 的范围，则需要进行外插运算，这个时候需要在使用函数的时候指定参数 extrap，即函数的使用方法为yi = interp1(x, y, xi, method, 'extrap')
| 插值方法 | 说明 |
|---|---|
| 'linear' | 线性插值。这是默认的插值方法 |
| 'nearest' | 最近邻居插值 |
| 'next' | 下一个邻居插值 |
| 'previous' | 先前的邻居插值 |
| 'pchip' | 保形分段三次插值 |
| 'cubic' | 和'pchip'一样 |
| 'v5cubic' | 在MATLAB使用三次卷积 |
| 'makima' | 修改的Akima立方Hermite插值 |
| 'spline' | 使用无结节结束条件的样条插值 |
二维插值运算函数的使用方法类似一维插值运算函数的使用方法，同样也可以在使用函数的同时指定相应的算法：nearest linear cubic spline 等。与一维插值不同的是，这里使用的插值算法都需要进行双次运算，所以也可以在算法选择时使用 bilinear 或者bicubic关键字指定相应的算法。在例子中，对这几种插值算法进行了比较，并用 contour 进行了可视化处理：
clear
clc
%COMPARE_INTERP 不同插值运算的比较
% 原始数据
[x,y] = meshgrid(-3:1:3);
z = peaks(x,y);
figure(1); clf
surfc(x,y,z);
title('原始数据')
% 进行插值运算
[xi, yi] = meshgrid(-3:0.25:3);
zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');
zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,'linear');
zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');
zi4 = interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');
% 通过可视化结果比较
figure(2)
subplot(2,2,1);surf(xi,yi,zi1); title('二维插值 - ''nearest''')
subplot(2,2,2);surf(xi,yi,zi2); title('二维插值 - ''linear''')
subplot(2,2,3);surf(xi,yi,zi3); title('二维插值 - ''cubic''')
subplot(2,2,4);surf(xi,yi,zi4); title('二维插值 - ''spline''')
% 可视化结果
figure(3)
subplot(2,2,1);contour(xi,yi,zi1); title('二维插值 - ''nearest''')
subplot(2,2,2);contour(xi,yi,zi2); title('二维插值 - ''linear''')
subplot(2,2,3);contour(xi,yi,zi3); title('二维插值 - ''cubic''')
subplot(2,2,4);contour(xi,yi,zi4); title('二维插值 - ''spline''')
2° 曲线拟合
回归分析是曲线拟合的常用方法，最小二乘法是回归分析法的一种方法。
回归分析法曲线拟合：
clear
clc
t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]';
plot(t,y,'r*')
grid on
X = [ones(size(t)) t t.^2]
A = X\y
T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T)) T T.^2]*A;
plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on
legend('Fitting','Origin')
hold on; % 保留之前绘制的曲线
X = [ones(size(t)) exp(-t) t.*exp(-t)]
A = X\y
T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T)) exp(-T) T.exp(-T)]A;
plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on
legend('Fitting', 'Origin')
做最小二乘拟合：polyfit polyval
clear
clc
x = 0:.1:10;
y = sin(x)+cos(2*x);
% 5次多项式拟合
k5 = polyfit(x,y,5); % 得到5次多项式系数
y5 = polyval(k5, x); % 得到离散的数值
% 11次多项式拟合
k11 = polyfit(x,y,11);
y11 = polyval(k11, x);
% 绘制数据曲线
plot(x, y, 'g', x, y5, 'r', x, y11, 'b')
% 标注
title('Curve Fitting', 'Fontsize',14)
legend('Original Curve', '5th order', '11th order','Location','southeast')
set(findobj('Type', 'line'), 'LineWidth', 2)
运用次方越多，和函数越接近，但是运算量也会变大。如果你的数据精度够高，可以尝试高次的拟合；反之，若你只需要获得数据的大趋势，低次的拟合可能效果更好。总而言之，Matlab 只是工具，关键看对知识的理解和如何运用公式。
3° 图形界面曲线拟合
Matlab 提供了基本的曲线拟合图像工具，利用这个界面可以完成以下工作：
- 使用三次样条曲线(cubic spline)或最高10阶的多项式拟合数据
- 对一组给定的数据同时绘制多条拟合曲线
- 绘制拟合残差曲线
- 查看拟合的数值结果
- 对拟合曲线求值(内插或外推)
- 用拟合数值结果和残差的范数标注图形
- 把拟合的结果保存到 MATLAB工作区
使用基本的曲线拟合工具，以 Matlab 自带的 Demo 为例 help census :
clear
clc
load census % 美国每十年的人口数据
plot(cdate,pop,'ro');
在 figure 窗口点击 工具 → 基本拟合 ，后续可以选择中心化并缩放 X 数据、拟合方式、绘制残差图、显示残差模等，之后 保存到工作区
whos
fit
之后可以继续扩展使用工具箱，计算到 2050 年的计算结果。有时候工具箱会出现小问题，重新启动即可。
