今天阅读了课题6《忽视“包含除”后患无穷》。还是问题导向下的阅读，今晚有一场讲座，抓紧时间阅读打卡日更。阅读课题全文，“一体两翼”浮现脑海，改名一除两翼。就是要帮助儿童把头脑中除法模型的等分除和包含除建构好，那有利于儿童头脑中数学思维发展，具体来说也有利于今后分数、比等相关知识的建构。
1.除法有几种模型？
文中提到除法的模型，包括等分除和包含除。让我们举一个例子来解释一下，
例如将8个月饼，平均分给两个人，每人几块？8÷2=4（块）在这里求每份是多少？那就是等分除。
例如将8个月饼分给一些人，每人4块，可以分给几个人？8÷4=2（人）在平均分的情况下问包含这样几个4块，那就是包含除。
2.为什么说忽视“包含除”后患无穷，有哪些后患？
首先我们把这句话拆解成两部分，第一部分忽视“包含除”，第二部分“后患无穷”。首先我们来看看教材中一些忽视包含除的现象。
以苏教版为例，因为笔者接触较多的使用的是苏教版。首先苏教版关于等分除和包含除在编者意图是较平等的对待的。表内除法这一单元，例1介绍了平均分,例2介绍了等分除,例3介绍了包含除。但是在后面的练习编写等过程中，明显包含除的类型是少于等分子的。此外，书中也没有明确给出等分除与包含除的明确概念，只是让学生感悟意会。也没有将两者进行对比，构建除法的模型。总言之包含除的例题少，练习也少，缺少两类除法的对比，没有帮助学生建构除法模式。
这样的现象，教材中教学中“包含除”的“忽视”，学生也容易对包含除进行忽视。结果就是分数除法不理解，遇到那些不能整分的情况。学生很难理解最后分得2/3块,分得8/5块类似这种结果。
3.除法与乘法互为逆运算，那么包含除对应乘法中的什么呢？
阅读到这里开始联系以往头脑中关于乘法和除法的已有教学认知。以往看过马老师的一篇文章，她认为将被乘数，乘数的说法取消，用一个因数和另一个因数来指代，她认为是牵一发而动全身，算理体系的承重墙给破拆了。那她的这种说法持保留意见，至少给人的启示是老师得知道被乘数和乘数这一回事情。
那在这里异想天开设想，会不会正是现在的儿童不加区分被乘数和乘数，不去追问几个几，导致包含除中“包含多少个”这样的模型孩子没有在头脑中树立。导致后面分数除法包含除模型的不理解。这里只是个人的片面猜想。
4.获得怎样的启示？
阅读到这里越发觉得小数不小，背后有着很多大道理。越是沉浸其中，越是发现自己的无知，越是深感别有洞天。
回到标题：“一除两翼 齐飞致远”。首先在除法新授的时候，平等对待，同时出现等分除和包含除。随后帮助孩子对比等分除和包含除两者的不同，区分两者。最后孩子建构好除法中等分除和包含除的模型，那后面分数的学习除法的学习就能水到渠成，帮助孩子跨越头脑中的思维鸿沟。
拓展阅读：
1.竺仕芬.理解分数的一把钥匙：部分与整体的包含除关系
2.张奠宙.维度已经进入日常生活，小学数学不应回避。
3.丹尼斯.舍伍德，系统思考
1202字2022.8.1
