第三章,线性模型笔记

3.1 基本形式

一般形式:f(x) = w_1x_1+w_2x_2+...+w_dx_d+b
向量形式:f(x) = \vec w^T\vec x+b
目的:求解\vec w,b确定模型

注意点:

  1. nonlinear model 可通过 linear model 引入层次结构高维映射
  2. 具有很高的可解释性(comprehensibility)

3.2 线性回归(linear regression)

注意点:
有序属性可转化为连续值
无序属性可转化为k维向量
!!无序属性转为连续值会导致错误

均方误差(square loss):\tag{1} (w^*,b^*)=argmin_{(w,b)}\sum_{i=1}^m(f(x_i)-y_i)^2=argmin_{(w,b)}\sum_{i=1}^m(y_i-wx_i-b)^2

优点:非常好的几何意义,Euclidean distance =》 least square method
注意点:w^*b^*是解

多元线性回归(multivariate linear regression):
\hat w = (\vec w; b)
\hat w^* = argmin_\hat w(y-X\hat w)^T(y-X\hat w)
w^*求导若X^TX为满秩矩阵(full-rank matrix)或正定矩阵(positive definite matrix)
w^*=(X^TX)^{-1}X^Ty

实际情况中满秩矩阵意味着样例数大于变量数
若实际情况中样例数小于变量数,则需要引入正则化项

线性回归的变化:对数线性回归 lny=\vec w^Tx + b
对于单调可微函数y=g^{-1}(\vec w^Tx + b)
广义线性模型generalized linear model 其中g(·)联系函数(link function)

3.3 对数几率回归(logistic regression)

二分类任务 单位阶跃函数(unit-step function) Heaviside函数
问题:不连续 =》替代函数 surrogate function =》 对数几率函数 logistic function
\tag{2} y=\frac{1}{1-e^{-(\vec w^Tx+b)}} ==> \tag{3}ln\frac{y}{1-y}=\vec w^Tx+b
merit:无需先假设数据分布,近似概率预测,任意阶可导凸函数

3.4 线性判别分析(Linear discriminant analysis) Fisher判别分析

投影法:相似点协方差尽可能小,类中心距离大
μ_i,Σ_i为均值向量和协方差矩阵,两类数据的中心投影在直线上的取值为w^T\mu_1,w^T\mu_2,如果将所有点都投影到直线上,则两类数据的协方差分别为w^T\Sigma_0ww^T\Sigma_1w,由于直线是一维空间,所以以上都为实数

同类相近,则w^T\Sigma_0w+w^T\Sigma_1w最小
异类远离,则||w^T\mu_0-w^T\mu_1||^2_2最大
则最大化目标:J=\frac{||w^T\mu_0-w^T\mu_1||^2_2}{w^T\Sigma_0w+w^T\Sigma_1w}最大
类内散度矩阵(within-class scatter matrix)
\tag{4} S_w=\Sigma_0+\Sigma_1=\sum_{x \in X_0}(x-\mu_0)(x-\mu_0)^T+\sum_{x \in X_1}(x-\mu_1)(x-\mu_1)^T
类间散度矩阵(between-class scatter matrix)
\tag{5} S_b=(\mu_0-\mu_1)(\mu_0-\mu_1)^T

J=\frac {w^TS_bw}{w^TS_ww} 即 广义瑞利商(generalized Rayleigh quotient)

当两类数据同先验、满足高斯分布且协方差相等时,LDA可达到最优分类
LDA可适用于多分类问题,LDA是经典的监督降维技术

3.5 多分类学习

notes: 在少数情况中,一些二分类学习方法可以直接推到到多分类学习方法中,比如LDA,在大多数情况中,我们只能基于一些基本策略使用二分类学习器来解决多分类问题。

基本思路:拆解法

  1. 一对一策略(One vs. One, OvO)需要\frac{N*(N-1)}{2}个分类器
  2. 一对多策略 (One vs. Rest,OvR or OvA) 需要N个分类器,单个分类器为正,如果多个分类器为正,需要考虑预测置信度,选最大的类别标记

OvO的储存开销和测试时间开销比OvR更大,训练时间更少

  1. 多对多策略(Many vs. Many,MvM)若干个正类,若干个负类,通常使用纠错输出码(Error Correcting Output Codes, ECOC)==> 二元码,三元码

3.6 类别不平衡问题

通常需要在两个类别数据数量相近的情况中进行训练 ==> class-inbalance
方法:再缩放 rescaling or rebalance

  1. 欠采样 undersampling 去除数量多的至平衡 EasyEnsemble 集成学习
  2. 过采样 oversampling 增加数量少的至平衡 SMOTE 算法 ->插值
  3. 阈值移动 threshold-moving
    ==》 代价敏感学习(cost-sensitive learning)
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