蒙提霍尔悖论又称三门问题Monty Hall Problem，这个问题出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。在这个秀上有三扇门，其中有一扇门打开后可以获得一辆汽车，而其余的两扇门打开后则是山羊。
游戏规则
游戏的步骤如下：
- 参加游戏的人选定其中的一扇门
- 主持人选择另外两扇门中的一扇，且打开后只能是山羊，而不能是汽车
- 给参加游戏的人一个是否交换剩下两扇门的机会
- 游戏者做出决定，并打开门
这个悖论的关键在于：挑战者是应该选择交换还是选择坚持？这两种做法有没有区别？
从理论的角度分析
一般来说，大多数的挑战者在选择后会认为其实换不换无所谓，其概率是相等的。但是实际上，如果交换的话会有更大的机率获得汽车。现在我们从理论的角度去考虑这个问题：
首先，我们假设有三扇门，分别为门1，门2， 门3，且挑战者选择了门1。
很显然，汽车在每扇门后的概率为：
| 门1 | 门2 | 门3 | |
|---|---|---|---|
| 对应门后有汽车的概率 | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
按照游戏规则，接下来主持人需要为挑战者去除一个干扰项：
| 门1 | 门2 | 门3 | |
|---|---|---|---|
| 对应门后有汽车的概率 | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| 去除一个干扰项 | 去除门2：1/2， 去除门3：1/2 | 只能去除门3：1 | 只能去除门2：1 |
这一步是由挑战者确定是否交换，对于不交换的情况，那只有门1是汽车的时候，挑战者才能拿到汽车的奖励，此时的概率为1/3，而对于交换的情况，只要不是门1的情况，都可以获得奖励，概率为2/3。如下表：
| 门1 | 门2 | 门3 | |
|---|---|---|---|
| 对应门后有汽车的概率 | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| 去除一个干扰项 | 去除门2：1/2， 去除门3：1/2 | 只能去除门3：1 | 只能去除门2：1 |
| 不交换，获得汽车的概率 | P(获得汽车) = 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 =1/3 | P(获得汽车) = 0 | P(获得汽车) = 0 |
| 交换后获得汽车的概率 | P(获得汽车) = 0 | P(获得汽车) = 1/3 * 1 = 1/3 | P(获得汽车) = 1/3 * 1 = 1/3 |
由此可以看出，直觉中换不换概率相等的认识是错误的。
程序模拟源码
前面一节对蒙提霍尔悖论做了一些简单的分析，这一部分会用程序来模拟，并得出了相似的结果。源码如下：
# monty problem
# code is not optimal, but it can demonstrate the problem
import random
def open_the_door( doors, player_choice ):
# choose which door should be open
sample = [0,1,2]
if doors[player_choice]:
sample.remove(player_choice)
open_door = random.choice(sample)
else:
for index, value in enumerate(doors):
if index != player_choice and not value:
open_door = index
return open_door
def monty_problem( total_times, exchange = False ):
bingo = 0
for i in range(total_times):
doors = [False, False, False]
doors[random.randint(0,2)] = True
player_choice = random.randint(0,2)
open_door = open_the_door(doors, player_choice)
if exchange:
difference = set([0, 1, 2]) - set([player_choice, open_door])
player_choice = list(difference)[0]
if doors[player_choice]:
bingo += 1
print('P(exchange={}) = {}'.format(exchange ,bingo / total_times))
if __name__ == '__main__':
monty_problem(100000, False)
monty_problem(100000, True)
运行结果如下：
P(exchange=False) = 0.33178
P(exchange=True) = 0.66669
从这里可以看出，不交换和交换的概率分别接近在上一部分的推理结果。这一部分请自行验证。
总结
其实这个问题还可以从另外一个角度，凭直觉给出答案。比如说，现在不仅仅是只有3扇门，而是有100扇，甚至是1000扇门，那么在你选择了其中的一扇门后，打开其余不是汽车的98或998扇门，那么这个时候，你是换还是不换呢？
