目录
- [1. 跑步](#1. 跑步)
- [1.1 题目描述](#1.1 题目描述)
- [1.2 题目解析](#1.2 题目解析)
- [1.3 Java解答](#1.3 Java解答)
- [2. 剪气球](#2. 剪气球)
- [2.1 题目描述](#2.1 题目描述)
- [2.2 题目解析](#2.2 题目解析)
- [2.3 Java解答](#2.3 Java解答)
- [3. 分金子](#3. 分金子)
- [3.1 题目描述](#3.1 题目描述)
- [3.2 题目解析](#3.2 题目解析)
- [3.3 Java解答](#3.3 Java解答)
1. 跑步
1.1 题目描述：
小明同学喜欢体育锻炼，他常常去操场上跑步。跑道是一个圆形，在本题中，我们认为跑道是一个半径为R的圆形，设圆心的坐标为原点(0,0)。
小明跑步的起点坐标为(R,0)，他沿着圆形跑道跑步，而且一直沿着一个方向跑步。回到家后，他查看了自己的计步器，计步器显示他跑步的总路程为L。
小明想知道自己结束跑步时的坐标，但是他忘记自己是沿着顺时针方向还是逆时针方向跑的了。他想知道在这两种情况下的答案分别是多少。
输入：
输入两个整数L,R (1<=L,R<=100)。
输出：
输出两行，每行两个数，用空格隔开。
第一行的两个数为顺时针情况下结束位置的坐标，第二行是逆时针情况下结束位置的坐标。
所有数据小数点后四舍五入保留3位。
样例输入：1 2
样例输出：1.755 -0.959
1.755 0.959
1.2 题目解析：
这题没啥好说的，直接数学方法求解，看代码吧。
1.3 Java解答：
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Main p = new Main();
p.solve();
}
private void solve() {
Scanner in = new Scanner(System.in);
while(in.hasNext()){
float l = in.nextInt();
float r = in.nextInt();
// 这里分别求出cos(θ)和sin(θ)
float x=(float)(r*Math.cos(l/r));
float y=(float)(r*Math.sin(l/r));
System.out.printf("%.3f %.3f\n",x,-y);
System.out.printf("%.3f %.3f\n",x,y);
}
in.close();
}
}
2. 剪气球
2.1 题目描述：
小明买了一些彩色的气球用绳子串在一条线上，想要装饰房间，每个气球都染上了一种颜色，每个气球的形状都是各不相同的。
我们用1到9一共9个数字表示不同的颜色，如12345则表示一串5个颜色各不相同的气球串。但小明希望得到不出现重复颜色的气球串，那么现在小明需要将这个气球串剪成多个较短的气球串，小明一共有多少种剪法？如原气球串12345的一种是剪法是剪成12和345两个气球串。
注意每种剪法需满足最后的子串中气球颜色各不相同（如果满足该条件，允许不剪，即保留原串）。两种剪法不同当且仅当存在一个位置，在一种剪法里剪开了，而在另一种中没剪开。详见样例分析。
输入
第一行输入一个正整数n（1≤n≤100000），表示气球的数量。
第二行输入n个整数a1，a2，a3...an，ai表示该气球串上第i个气球的颜色。
对于任意i，有1≤ai≤9。
输出
输出一行，第一行输出一个整数，表示满足要求的剪法，输出最终结果除以1000000007后的余数。
样例输入：
3
1 2 3
样例输出：
4
2.2 题目解析：
题意
本题题意可以抽象成一个数学的表述，即一个长度为n的数组，每一个数的范围是1到9，现在我们需要将这个数组分成多个连续子数组，保证每个子数组内数字均不相同，问一共有多少种满足要求的分法。
例：输入3 1 2 3输出4
我们有以下4种剪法，x表示在这个位置剪，没有x 则表示不剪：
1x2x3
1x2 3
1 2x3
1 2 3
解法
这题需要用到动态规划进行求解，我们不妨记一个数组dp[i]，表示这个数组前i个数组成的数组可以有多少种分法，数组初始全为0，特别的dp[0]初始为1。
那么在计算dp[i+1]时，我们需要考虑第i+1个数可以和前面哪些数分到一起组成连续的子数组。
比如：
第i+1个数可以和第i个数组成一组，但不能和第i-1个数分到一组，那么dp[i+1]=dp[i]+dp[i-1]；
第i+1个数可以单独组成一组，有：dp[i+1]+=dp[i]；
第i+1个数和第i个数组成一组，有：dp[i+1]+=dp[i-1]。
由于每个数的范围是1到9，所以最多只需要按照这种方法枚举第i+1个数前面的9个数即可停止。算法复杂度O(n*10)。具体见下面代码。
2.3 Java解答：
import java.util.HashSet;
import java.util.Scanner;
// 剪气球问题
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Main p = new Main();
p.input();
}
@SuppressWarnings("resource")
private void input() {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt();
int[] array = new int [n];
int index = 0;
while (index<n) {
array[index] = in.nextInt();
index++;
}
if (n == 0) return ;
solve(n, array);
in.close();
}
private void solve(int n, int[] array) {
int[] dp = new int [n+1];
dp[0] = 1;
for (int i=1; i<=n; i++) {
HashSet<Integer> set = new HashSet<>();
int j = i-1;
while (j>=0 && !set.contains(array[j])){
set.add(array[j]);
dp[i] += dp[j];
dp[i] = (int) (dp[i] % (Math.pow(10,9)+7));
j--;
}
}
System.out.println(dp[n]);
return ;
}
}
3. 分金子
3.1 题目描述：
A、B两伙马贼意外地在一片沙漠中发现了一处金矿，双方都想独占金矿，但各自的实力都不足以吞下对方，经过谈判后，双方同意用一个公平的方式来处理这片金矿。
处理的规则如下：他们把整个金矿分成n段，由A、B开始轮流从最左端或最右端占据一段，直到分完为止。
马贼A想提前知道他们能分到多少金子，因此请你帮忙计算他们最后各自拥有多少金子?（两伙马贼均会采取对己方有利的策略）
输入：
测试数据包含多组输入数据。
输入数据的第一行为一个正整数T(T<=20)，表示测试数据的组数。
然后是T组测试数据，每组测试数据的第一行包含一个整数n;
下一行包含n个数（n <= 500 ），表示每段金矿的含金量，保证其数值大小不超过1000。
输出：
对于每一组测试数据，输出一行"Case #id: sc1 sc2"，
表示第id组数据时马贼A分到金子数量为sc1，马贼B分到金子数量为sc2。
详见样例。
样例输入：
2
6
4 7 2 9 5 2
10
140 649 340 982 105 86 56 610 340 879
样例输出：
Case #1: 18 11
Case #2: 3206 981
3.2 题目解析
题意:
本题可以看成一个博弈问题，给出一个长度为n的序列：a1; a2; …… ; an，两个人轮流取出序列中的元素，他们每次只能取出当前序列最左边或者最右边的元素，直到把序列中所有的元素都取完，每个人都希望自己取出的元素总和最大，问两人取出的总和各为多少？
举几个简单的例子：
考虑如下序列：1; 100
先手一定取出100，后手只能取1。
再看下面一个序列:10; 1000; 2; 1
先手第一步可以取出10或者1，但是如果先手取出10，那么后手下一轮会取走1000，先手得不偿失，所以先手第一步取走1。
此时序列变成：10; 1000; 2 这时候后手不论怎么取，先手在下一轮一定会取走1000。所以最后先手取出的总和为1001，后手为12。
解法：
考虑先手和后手在序列a(1); a(2);……; a(n)上博弈：
① 如果先手取走了a1，那么问题转化成了两个人在a(2); a(3);……; a(n)上的博弈。
② 如果先手取走an，就变成了在a(1); a(2);……; a(n-1)上的博弈。
于是，有了如下解题思路：
可以定义f(L; R)为两个人在序列a(L); a(L+1);……; a(R)上博弈时，先手最多能拿到多少价值，注意到后手拿到的价值一定为
① 很容易找到f(L; R)的初始情况，即博弈序列长度为1的时候：先手直接拿走唯一元素：
② 现在考虑 L < R，若先手拿a(L),那么问题变成了两人在a(L+1); a(L+2); ……; a(R)上的博弈，而且后手在这个新的博弈问题上可以获得f(L+1; R)的价值，所以先手能获得的总价值为：
同理可以得到先手拿a(R)的情况。
③ 所以有：
3.3 Java解答
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Main p = new Main();
p.solve();
}
private void solve() {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int num = in.nextInt();
for (int i=1; i<=num; i++){
int n = in.nextInt();
// 记录n份金子
int[] array = new int[n+1];
// 前i份金子的数量之和
int[] sum = new int[n+1];
array[0] = 0;
sum[0] = 0;
for (int j=1; j<=n; j++) {
array[j] = in.nextInt();
sum[j] = sum[j-1] + array[j];
}
// 动态规划数组
int[][] f = new int[n+1][n+1];
for (int j=1; j<=n; j++)
// 记录对角线元素
f[j][j] = array[j];
int k=1;
while (k <= n-1){
// 从对角线元素开始计算，向右上挪动直至计算到f[1][n]
for (int j=1; j+k<=n; j++){
f[j][j+k] = sum[j+k] - sum[j-1] - Math.min(f[j][j+k-1], f[j+1][j+k]);
}
k++;
}
System.out.println("Case #"+i+": "+f[1][n]+" "+(sum[n]-f[1][n]));
}
in.close();
}
}
