眼中有文  笔下有智

----《多元视角下的数学文化》摘录笔记一

大寨一中  高元节

前言

学习数学是“苦读+考试”、“计算+逻辑”。因此，当前中学数学教育培养出来的数学尖子生的模式是基础实、知识窄、能攻克难题而创造能力不强，且动手和应用数学解决实际问题的能力差。他们具有更多的“好胜心”，却缺乏对事物的“好奇心”，因而就缺乏创新能力。

数学是人类文化的重要组成部分，数学课程应当反映数学的历史、应用和发展趋势，以及数学科学的思想体系、美学价值、数学家的创新精神和数学在人类文明发展中的作用，以便在学生中逐步形成正确的数学观。

数学不仅是一门科学，也是一门文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。数学文化是现代人文素质的重要组成部分。

齐民友教授所言：“没有现代的数学，就不会有思安带的文化；没有现代数学，文化是注定要衰落的。”

一门科学的历史是那门科学最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。

我们讲一点数学史，可以让我们和学生感受到数学的曼妙高深，洞知数学的过去、现在和未来，为数学的停滞而忧虑，为数学的前进而喝彩。

感受到数学界的风风雨雨，也可以从中感受到数学家们平凡而伟大的人格魅力，从中体会数学家们从事数学研究的苦乐与甘苦、在数学道路上的磕磕绊绊，以及对数学执著追求的精神。

概论

什么是数学

问题是数学的心脏。----哈尔莫斯

一个例子比十个定理有效。----牛顿

哲学与数学的统一：美丽的梦。----笛卡儿

数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。----努瓦列斯

千古数学一大猜！----华罗庚

伽利略：数学是上帝用来书写宇宙的文字。

爱因斯坦：数学是一种艺术，如果你和它交上了朋友，你就会懂得，你再也不能离开它。

万物皆数说（毕达哥拉斯）：“数统治着宇宙。”

科学说（高斯）:“数学，科学的皇后；数论，数学的皇后。”

从数学的学科结构看，数学是模型。

从数学的过程看，数学是推理与计算。

从数学的表现形式看，数学是符号。

从数学对人的指导看，数学是方法论。

从数学的价值看，数学是工具。

数学的特点

内容的抽象性

推理的严谨性和结论的明确说

应用的广泛性

数学文化概述

狭义的“文化”仅指知识，说的是一个人有文化就说他有知识；广义的“文化”，则反之人类的物质财富和精神财富的积淀。（9页）

数学不只是一系列数字符号的堆砌，其实它还包含着人文精神内涵，它体现了求真、勇敢、合作、献身等人类精神，这些都是人文精神的升华，而这就是一种文化的体现。（9页）

数学文化的主要特征是：

思维性 （2）数量化 （3）发展性 （4）实用性 （5）育人性 （10页）

数学文化的内涵：

数学文化的理性精神

数学文化的人文精神

数学文化应用性的体现

数学文化的相对稳定与延续性

数学文化的反思、批判和完善

数学文化的世界性  （10-12页）

数学文化的价值：

数学是一种精密的思维工具

数学是一种科学的语言

数学是理性的艺术

数学是人类文化的重要组成部分（13-14页）

数学题材中的数学文化

2.1  黄金分割引出的数学问题

1.黄金数是一个“神赐的数”，一个“美的数”，也是一个“美的密码”，在这个“美的密码”中还有许多“隐秘”有待我们去揭露。（20页）

2.黄金分割是一种变换，但千变万化，却殊途同归。不论从哪一个角度欣赏，它都是玲珑剔透，恰到好处；不论从哪一方面分析，它都内蕴深厚，含义隽永，具有永恒的魅力。（27页）

3.黄金分割体现出科学与艺术的统一，感性与理性的统一，形象思维与逻辑思维的统一，是人类认识世界收获的说过中的精品。黄金分割是神赐的“美的密码”。（27页）

2.2  神秘的无穷世界

1.无穷是一个永恒的谜，数学是无穷的科学。（27页）

2.无限既是一种实无限也是一种潜无限。无穷本身是一个矛盾体，它既是一个需无限逼近的过程，又是一个可供研究的实体。诚如我国著名数学家徐利治教授所称：“实无限、潜无限只是一枚硬币的两个面罢了。”（34页）

3.希尔波特说：“无穷既是人类最伟大的朋友，也是人类心灵宁静的最大敌人。”（36页）

2.3  勾股定理赏析

1.勾股定理的证明是论证数学的发端，它是历史上第一个把形与数联系起来的定理，即第一个把几何与代数联系起来的定理，也是数学家认为探索外星文明与外星人沟通的最好“语言”。（47页）

2.中国的数学文化传统反映的是重视应用，数形结合以算为主的务实精神。（47页）

2.4  ----一首无穷无尽的歌

1.德国数学家康托尔曾指出：“圆周率的精确度可以作为衡量一个国家数学水平的标志。”（48页）

2.计算值。除了前面提到过的几何法、分析法、计算机计算机外，还有一种不用繁杂计算的稀奇方法----实验法。（56页）

3.圆周率像一座迷宫，让人流连忘返；圆周率像一首朦胧的诗，像以区悠扬的乐章，又想一座入云的高山，让人遐想，让人陶醉，更让人奋进，去攀登不息！（61页）

2.5  中国剩余定理

1.《数书九章》中说：“数理精微，不易窥识，穷年致志，感于梦寐，幸而得知，谨不取隐。”（65页）

2.6  七桥问题与一笔画

1.所谓“图论”，就是运用直观的图形和数学的方法来研究组合关系的一门新兴学科。（69页）

2.7 几何三大作图难题

1.厚厚的石墙、坚固的牢门，禁锢了阿拉克萨哥拉的行动自由，但是禁锢不了他自由的思想。（73页）

2.8  两个超越无理数e和

1.在这个公式里，“五朵金花”中：0、1来自算术，i来自代数，来自几何，e来自分析，它们妙不可言地同时盛开，两个最著名的超越数e和结伴而行，实数与虚数溶于一炉。将其称之为“数学中最美的公式”，可谓当之无愧。（86页）

2.9  莫比乌斯带与克莱因瓶

1.莫比乌斯带是将一张长方形纸带的一端扭转后，再把它首位相接而成。（87页）

2.莫比乌斯带，它多么简单，然而又极度深刻，它有那么多工业、技术上的美妙应用，同时又带给科学家、哲学家、艺术家、文学家那么多新奇的想象。因此我们说，莫比乌斯带是科学的艺术形象，也是艺术形象的科学。（94页）

第三章  数学史籍中的数学文化

3.1  欧几里得与《几何原本》

1.毕达哥拉斯学派师从泰勒斯，该学派提倡用数学解释一切，提出“万物皆数”。将数学从具体事物中抽象出来建立自己的理论体系。（95页）

2.《几何原本》的内容简介：用公理法对当时的数学知识作了系统化，理论化的总结全书共分为13卷，包括有5条公设、5条公理、119个定义和465个命题，构成了历史上第一个数学公理体系，各卷的内容大致可分为类如下：

第一卷  几何基础 

第二卷  几何代数

第三卷  圆形 

第四卷  正多边形

第五卷  比例说 

第六卷  相似图形 

八、九卷  初等数论 

第十卷  不可公度量 

第十一、十二、十三卷  立体几何 （97-98页）

3.《几何原本》是现代科学产生的一个主要因素，科学上的伟大成就的取得，一方面是将经验同试验进行结合，另一方面是需要细心的分析和演绎推理。（98页）

爱因斯坦称赞《几何原本》时说：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是不容置疑的----我这里说的是欧几里得结合学推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必需的信心。（99页）

《几何原本》存在以下一些缺陷：

定义不精确严密

公理系统不完备

全书系统不完备

全书的组织安排不合理

有些证明以偏概全（99-100页）

《几何原本》在中国的翻译传播不仅仅是一种知识的传播，更重要的是一种科学方法的传播。（103页）

徐光启在数学方面的成就：

论述了中国数学在明代落后的原因。

论述了数学应用的广泛性。即（1）天文历法；（2）水利工程；（3）音律；（4）兵器兵法及军事工程；（5）会计理财；（6）各种建筑工程；（7）机械制造；（8）域地测量；（9）医药；（10）制造钟漏等计时器。

《几何原本》的翻译。（103页）

梁启超称《几何原本》是“字字精金美玉，是千古不朽之作”。（104页）

为了进一步宣传《几何原本》，徐光启写了一篇《几何原本杂议》，他开篇就说:“下功夫学，有理有事，此书为宜，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思”。他对此书非常崇拜，”认为“此书有四不必：不必疑（怀疑），不必揣（猜测），不必试（试验），不必改（改动）；有四不能：欲脱（脱离或漏掉）之不可能，欲驳（反驳）之不可能，欲减（减少）之不可能，欲前后更（改变次序）之不可能。”（104页）

欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研。不赞成投机取巧、急功近利的作风，也反对狭隘的实用观点。（106页）

《几何原本》结构上的特点：

  第一是封闭的演绎体系。

  第二是抽象化的内容。

  第三是前面题到的公理化的方法。（107页）

3.2  刘徽与《九章算术》

1.《九章算术》内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收集有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，按不同内容列为九章，是为《九章算术》书名之由来。其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题步骤和方法）。有的是一题一术，有的是多题一术，有的是一题多术。“术”实际是可用的算法，以算筹为工具，是布列算筹的算法。（108页）

2.“九章”的名称和主要内容

  第一章  方田

  第二章  粟米

  第三章  衰分

  第四章  少广

  第五章  商工

  第六章  均输

  第七章  盈不足

  第八章  方程

  第九章  勾股 （108页）

3.刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以致不可割，则与圆合体而无所失矣。”（115页）

4.《九章算术》的数学思想与文化意义：

    （1）开放的归纳体系

    （2）算法化的概括

      （3）模型化的方法

      （4）中庸思想的体现

      （5）与儒家经典的关联（121-122页）

3.3  《周易》与二进制

1.《周易》包括《易经》和《易传》两部分。（123页）

2.《易经》的最大特点是将《易经》人文化：从迷信变为理性，从巫术转变为哲学。（133页）

3.《周易》向我们展示了一个由“父”“天”“母”地所统领下的一个生生不息、生化无穷，充满无限生机与活力的全新总体的宇宙画面。（133-134页）

4.《周易》的文化价值：

  （1）易学长河

  (2) 宇宙画面

  （3）数学渊源

  （4）思想大成

  （5）文化种子（133-134页）

第四章  数学史料中的数学文化

4.1  悖论与三次数学危机

1.悖乱的通常形式是：“如果承认某命题正确，就会推出它是错误的；如果认为它不正确，就会推出它是正确的。”悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。（135页）

2.几个有名的悖论：（1）说谎者悖论；（2)上帝全能悖论；（3）理发师悖论；（136页）

3.希伯索斯悖论与第一次危机；贝克莱悖论与第二次数学危机；

罗素悖论与第三此数学危机。（137-141页）

4.2  连接几何与代数的桥梁----解析几何

1.笛卡尔非常喜欢这座数学宫殿，在这里的每一个证明就像一颗闪光的珍珠叫人爱不释手。然而笛卡尔发现，人们只能把这一颗颗的珠子捡起，却很难用线将这些各具特色的珠子穿起来。笛卡尔主张让代数和几何中一切美好的东西互相取长补短，于是他着手寻找一种让代数和几何联结的新方法。（146页）

4.3  非欧几何

1.爱因斯坦提出相对论，就应用了黎曼几何这个数学工具，从而使数学和物理学领域的两场革命会师。根据相对论学说，现实空间并不是均匀分布，而是发生弯曲的。（158-259页)

2.非欧几何的影响是巨大的，是数学史上的一场革命。它使数学家们从根本上改变了对数学性质的理解，以及数学与物质世界的理解，使人们认识到数学空间与物理空间是有本质差别的。它打破了数学真理就是绝对真理的信念，从而也使数学丧失了确定性和真理性，但数学却由此获得了自由，数学家们可以探索和构建任何可能的公理体系，只要这种研究具有意义。（160页）

4.4  人类心智的结晶----微积分

1.牛顿对于能重返学校，也十分激动，他写了一首题为《三顶冠冕》的诗，表达了他为献身科学而甘愿承受痛苦的心情：

世俗的冠冕啊，我鄙视他如同脚下的尘土，

它是沉重的，最佳也只是一场空虚；

可是现在我愉快地欢迎一顶荆棘冠冕，

尽管刺得人痛，但味道主要是甜；

我看见光荣之冠在我的面前呈现，

它充满着幸福，永恒无边。（166页）

莱布尼茨评价牛顿说：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。”英国著名诗人波普是这样描述这位伟大科学家的：

自然和自然的规律，

沉浸在一片混沌之中，

上帝说，生出牛顿，

一切都变得明朗。（166页）

诗人华兹华斯在牛顿的雕像之前写有这样的诗：

        那里雕像耸立着

        那是面容肃穆而沉默的牛顿

        大理石永远标志他的心灵

        单独地在奇妙的思想海洋中航行（167页）

牛顿本人很谦虚，他说：“我不知道世间把我看成什么人，但是对我自己来说，就像一个在海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我前面是未被发现的真理的大海。”（167页）

人们怀着崇敬的心情，在他的墓碑上刻下了这样一段文字：“他以几乎神一般的思维能力最先说明了行星的运动和图像，彗星的轨道和大海的潮汐。让普通平凡的人们因为在他们中间出现过一个人杰而感到高兴吧！”（167页）

微积分的文化意义：

对数学自身的作用

对其他学科和工程技术的作用

对人类物质文明的影响

对人类文化的影响（174-175页）

数学名题中的数学文化

费马大定理

在数学史上，费马被誉为“业余数学家之王”。（176页）

费马制造了一个数学史上最深奥的谜！（177页）

之前我从来没有看过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后达到高潮。当大家终于明白已经离证明费马大定理只有一步之遥时，空气中充满了紧张。（181页）

怀尔斯谈到对“费马大定理”的感情时说：“这是我童年时代的恋情，没有东西能够取代它，......如果你能在成年时期解决某个对你来说非常重要的事，那么再也找不出什么比这更有意义了。”（183页）

怀尔斯在完成对“费马大定理”证明后说：“......那段特殊的漫长的探索已经结束了，我的心已归于平静。”（183页）

“费马大定理犹如一颗光彩夺目的宝石，它藏在深山绝谷的草丛之中，由于偶然的机遇被人看见了，由于它的美丽，吸引了不少人想去取得它，不少人甚至为此跌到深渊下。但是在征服它的路上，人们找到了丰富的矿藏。这种矿藏不是阿拉丁的宝库，里面的东西也不一定都是光辉灿烂的宝石，但是它可以带来一个新的产业部门。没有这种矿藏，这颗宝石可以成为价值连城的珍宝，但是有了这种矿藏，连同其他的矿藏，却成了人类文明的一部分。”（185页）

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是“数学皇冠上的明珠”。（185页）

陈景润跋涉在数学的崎岖山路，吃力地脉动步伐，。在抽象思维的高原，他向陡峭的悬崖升登，降下又升登！餐霜饮雪，走上去一步就是一步！他气喘不已，汗如雨下，时常感到支持不下去了，但他还是攀登。用四肢，用指爪，真是艰苦卓绝！多少次上去了又摔下来，就是铁鞋，也早就踏破了。（190页）

作家徐迟用了诗一般的语言，赞叹那一页一页的论文，也赞叹了让人陶醉的数学美！“何等动人的一页又一页篇章！这些是人类思维的花朵。这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹。......(192页）

5.3  四色猜想

1.英国数学家希渥特”老而弥坚、孜孜不倦、顽强攻关的精神是值得我们学习的。（196页）

2.时至今日，仍有许多数学家甚至业余数学爱好者，并不满足于计算机所取得的成就，都在寻求一种四色问题的逻辑证明。（199页）

5.4  希尔伯特23个数学问题及其影响

1.希尔伯特在演说中指出：“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题代之而起。”又指出：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论，并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。......”（204页）

5.5  21世纪的七大数学难题及其反响

1.悬赏的七大难题好比数学领域的“珠穆朗玛峰”。在对珠穆朗玛峰的政府中，虽然最终登顶的仅仅是少数，但成功者登攀过程中遗留下的生存设备和技巧，却会使无数后来者收益。。德夫林认为，提出悬赏的七大难题，其意义也就在此。（205页）

2.我们坚信，这些悬赏问题的解决，将类似打开一个我们不曾想象到的数学新世界。（209页）