引言
很多人觉得，日常生活中，只需会加减乘除四则混合运算足够了，这些知识，小学三四年级基本都掌握了。那么，之后学的那些函数、几何、代数、微积分、概率、统计，是不是真的除了浪费时间，什么用处也没有？即使学完这些所谓“乱七八糟”的知识全都还给老师了，也不会对生活造成影响吧？
一
万维钢在解读麦克斯.泰格马克的《穿越平行宇宙》一书时说：世界是数学的。数学是一套纯粹的逻辑系统。不管我们是否懂得、是否发现，它一直存在。比如，勾股定理，比如能量守恒，我们不是发明了这些定理，而只是“发现”。它一直存在，只是我们努力了很久，才发现。
我们说物质是分子组成的，分子是原子组成的，原子是由质子、中子和电子组成的，这些又是由夸克组成的……那以此类推，推到哪里才算到头呢？泰格马克说，其实推到基本粒子那里，就已经到头了！
最后不带任何人类添加的概念包袱的这个东西，就是数学结构。终极理论，不管它是什么样子的，它必然是一个没有任何包袱的纯数学结构。
数学是宇宙的最底层逻辑。你、我，我们都是数学的产物，我们的各种活动只是在实践数学上的可能性而已——我们，就是数学的一部分。
二
第二次世界大战期间，美军在哥伦比亚大学建立了一个叫统计研究小组的秘密研究小组。这个小组里牛人无数，比如我们熟悉的控制论的创始人诺伯特·维纳（Norbert Wiener），还有后来得过诺贝尔经济学奖的米尔顿·弗里德曼。不过，在这个牛人无数的小组中，天赋最高一位叫亚伯拉罕·瓦尔德（Abraham Wald）的数学家。
有一次，军方给这群数学家出了一道题。为了加强战机的防御性能，需要给飞机装上装甲。但是，装甲会增加飞机的重量，导致机动性减弱，燃油消耗也更多。如何能做到装甲和防护性能的最佳平衡呢？
军方察看了返航的战机，发现机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多，所以他们认为，最应该加强防御的是飞机的机身。
瓦尔德却认为，需要加装装甲的地方不应该是弹孔多的部位，而应该是弹孔少的部位——飞机的引擎。
为什么呢？我们假设：从理论上说，飞机各个部位中弹的概率应该相同。那为什么返航的飞机机身上的弹孔比引擎上的弹孔多呢？换言之，引擎上本来应该有的弹孔去哪里了？
瓦尔德认为，这是因为引擎被击中的飞机都坠毁了！回来的飞机，虽然机身多处中弹，但并不是毁灭性损伤，所以能安全返航。
打个比方，如果你到战地医院去统计伤员，就会发现，腿部中弹的士兵肯定比脑部中弹的士兵要多。因为脑部中弹的士兵基本都挂掉了呀！
这个故事告诉了我们什么呢？瓦尔德拥有的空战知识肯定不如美军的军官，但他却能看到军官们无法看到的问题。这就是数学思维。军官们的错误在于，他们假设返航的飞机是所有飞机的随机样本。但事实上，并不是。
这就是幸存者偏差理论。
数学家把这种失误称为“幸存者偏差”，也就是说，你只看到了幸存下来的，却没有看到那些已经失败和消亡的。
例如，比尔·盖茨没有上完大学就退学了，但他成了世界首富。脱不花没有上过大学，现在是罗辑思维的CEO。那么，我们能不能说，干脆就不要上大学了？不上大学不是一样能够成功？
恐怕并非如此：假设没有上过大学和上过大学的人成功的概率是一样的，那么，我们应该能够看到更多没有上过大学的成功企业家。但是，为什么我们看到的上过大学的企业家更多呢？那些失踪的、没有上过大学的企业家哪里去了？很简单，因为他们失败了。
这就是数学思维。
三
罗振宇在《逻辑思维》第421期时，介绍了喻颖关于数学思维在赌博上的应用：其实，赌博拼的是概率。除去偷牌、藏牌、做标记、出老千等下三滥的手段，在规则公正、公平的前提下，赌资多的，赢的概率更大。
拿猜硬币举例。如果连续抛9次都是正面向上，那第10次你觉得正面向上的概率是多少呢？一般人凭直觉，会认为仍旧向上的概率是很大的。但实际上每一次抛掷硬币都是一个独立事件，正、反面向上的概率都是50%。这是第一层逻辑。
但你要注意，这百分之五十只是表面概率，除此之外，还有隐藏概率。
隐藏概率是什么？是你们之间赌金的大小。比方说，我的赌金是五十块，而你有一百块，那么玩儿到最后，你赢的概率就比我大得多。道理很简单，你赢我五十块钱我就没钱翻本了。而你呢？赢你一百块才能让你没机会翻本。
在资金实力方面，一个小赌徒和大赌场是没法比的。玩到最后，也是赌场把你赢光，你不可能把赌场赢光。
这是第二层逻辑，还有第三层逻辑。
还是跟人赌硬币，你自由下注，如果输了，这笔钱就没了，如果你赢了，你就能赢一倍回来。那么，你每次应该下注多少才最合适？
一般赌徒考虑这个问题，要么冒险，一次把100块都押上，输赢就看这一把了。要么保守，一次押1块，就算赢，每次也只能赢1块钱。你看，第一种风险大，第二种赢的太少。那么，有没有一种，风险和利润比非常合适的下注方法呢？
数学家通过研究计算发现，每一次下注25%，才是风险和利润最平衡的方法。
同样是赌博，你玩的是运气，赌场玩的是一般人看不见的概率，至于什么千术，实在是小儿科。所以，为什么赌博越赌越输。
那为什么创业越创越赢呢？同样是概率。
一个人，如果他连续创业一百次，至少成功一次的概率是多少呢？如果他每次成功的概率是1%，那么就是说有99%的可能性他会失败。
但是，根据基本的数学算法，这个失败概率会随着次数而降低。你失败一次的概率是99%，那么连做一百次都失败的概率是多少？所有人都会算，是99%的一百次方，结果约等于37%。也就是说，你连续创业一百次，这一百次都失败的概率只有37%。那么，反过来说，至少成功一次的概率是63%，已经高于50%了，这个赌是可以打的了。
其实，这种概率计算的方法在赌博里也适用，在1%的胜率下，100次中你至少赢一次的概率是63%。但是，在赌博中赢一次没有用啊，或者你赢一次还想再赢啊。但是创业就不一样，创业嘛，成功一次就够了，成功一次就可以抵消过去所有的失败。
所以，在真实的数理概率面前，你赌的越多，输的就越多，创业不一样，你创业的次数越多，你成功的可能性就越大。
四
吴军博士认为：虽然我们日常感觉不到数学的存在，但数学有一种超出它所承载的表面知识的作用，这些作用甚至也让那些觉得没有用到数学的人受益了，那么这种作用又是什么呢？
学数学绝不是为了算账，如果仅仅把自己对数学的理解局限在这个认知水平上，自然是会了加、减、乘、除就不需要学习数学了。学数学的目的，是为了进行三种训练：
首先是阅读理解。
在阅读理解中，很重要的一条是理解暗喻，也就是从字的表面理解深层的意思。 在数学难题中，很多已知条件其实都是通过暗喻给学生的，但是很多人看了之后完全无感。
比如给你一个等边三角形，这意味着什么呢？除了三条边都一样，还意味着每个角等于六十度，从三角形内部的任何一个点到三条边的距离之和都相等，等等一大堆的已知条件。
这个技能在生活和工作中运用，比如：说起北京意味着什么呢？除了是中国的首都，还意味着几千万人口，出门拥堵，有无数的景点和博物馆，占地面积极大但是转机非常困难的机场，等等。
其次是掌握基本的数学知识， 这一点无须赘述。
第三则是逻辑能力。即从已知条件得到结论，需要一步步推理得出来。我们的学校为了应试并且快速见效，往往要求对解题方法死记硬背，忽视了背后的逻辑性。当遇到所学的解题技巧没有涵盖的所谓难题，当然就不会做了。
低水平的老师和笨的学生，总是试图采用题海战术，覆盖各种考试题。好的老师则训练学生的逻辑思维能力，而好的学生在学习数学时也是平衡理解力、逻辑能力和基础知识三者的关系，做到事半功倍。
所以，吴军博士认为通过学习数学掌握好的思维方式以及解决问题的方法，是非常重要的。
后记
那些数学学得好的人，感觉自己对数字敏感，做判断时，会潜意识的利用象限、概率、风险比率等来参考决策；而数学相对差的人，大多凭借历史经验、直觉。但这并不是这些人的问题，而是教学设计的问题。
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