角谷猜想      课程分享16

       这是通识选修课《经济研究中的计算方法》第六讲《不动点定理》的一个例子。

一、角谷静夫

       1941年日本数学家角谷静夫又将布劳威尔的结果推广到点列集映射上去。

       以前所有不动点定理的证明都是存在性证明。20世纪60年代中期逐渐发展起构造性证明，其方法不断发展和改进。这些定理可以从单值映射推广到集值映射，除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学。

       Kakutani Fixed Point Theorem，现在一般的经济学书籍都翻译成卡库塔尼不动点定理，实际上Kakutani是一个著名的日本数学家，名字叫做角谷静夫（Shizuo Kakutani），所以按照数学界翻译方法译成角谷不动点定理比较合适。

       角谷静夫(1911年8月28日 - 2004年8月17日 )，日本著名数学家。耶鲁大学教授。毕业于东北帝国大学理学部数学科。大阪府出生。

角谷静夫

二、角谷猜想

       角谷静夫在不动点领域做出了非常杰出的贡献，并且以角谷猜想而闻名于世。角谷猜想是这样的：“一个自然数反复进行下列两种运算，最后结果总会是1：对于偶数，除以2；对于奇数，乘3加上1。”

       例如，N=6，反复进行上述两种运算，依次得到的数分别是：6，3，10，5，16，8，4，2，1。

       1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻，说的事就是上面这个题：

       1970年代中期，美国各所大学校园内，人们都像着魔一般，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：

任意写出一个（非零）自然数N，并且按照以下的规律进行变换：

如果是个奇数，则下一步变成3N+1；

如果是个偶数，则下一步变成N/2。

不止是学生，甚至连教授与学究都纷纷加入这场吸引人的游戏中。为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到1。准确地说，无论N是什么数字，最终都会经历4-2-1循环，最后得到的数字1，从没有那个自然数逃出这样的宿命。

角谷猜想

       此猜想亦被称为3N+1猜想、冰雹猜想。但至今无人证明，也无人推翻。1996年,B.Thwaites悬赏1100英镑来解决这个猜想。

       多年前，有人向匈牙利数论学家保尔·厄尔多斯(Paul Erdos, 1913-1996)介绍了这个问题，并且问他怎么看待现代数学对这问题无能为力的现象，厄尔多斯回答说：“数学还没有准备好来回答这样的问题。”

       角谷静夫曾用计算机验算到700亿，并未出现反例。1992年李文斯(G.T.Leavens)和孚门南(M.Vermeulen)也以计算机对小于5.6万亿的正整数进行验证，也未发现反例。

       那么，这个猜想与不动点定理有什么关系呢？且看，猜想就是，有一个整数函数f（N）=1,那么设F（N）=Nf(N)=N,即F(N)在整数域中的每个点都是不动点。这是很奇特的函数。

三、角谷猜想的来历

版本1.这个猜想大约是在20世纪30年代被提出来的。在西方,它常被称为西拉古斯(Syracuse)猜想,因为据说这个猜想首先是在美国的西拉古斯大学研究的。

       而在东方,这个猜想由将它带到日本的美籍日本数学家角谷静夫(Shizuo Kakutani)的名字命名,被称做角谷猜想。除此之外,它还有着一大堆其他各种各样的名字,这些名字大概都和传播、研究它的数学家或者地点有关，如，克拉兹(Collatz)问题,哈斯(Hasse)问题,乌拉姆(Ulam)问题,等等。

版本2.1940-1950年代，日本一位中学生发现这个奇妙的“定理”，请角谷教授证明，而教授无能为力，于是产生角谷猜想。

版本3.角谷静夫自己在1950年代发现的。

四、角谷猜想与蝴蝶效应

       与角谷猜想相反的是蝴蝶效应，初始值极小误差，会造成巨大的不同；而3N+1恰恰相反，无论多么大的误差，都是会自行的恢复。

       同时冰雹猜想与蝴蝶效应的逻辑关系恰好相悖。蝴蝶效应蕴含的原理是：极小差异，会造成结果的巨大不同。而冰雹猜想恰恰相反，无论刚开始存在多么大的误差，最后都会自行修复。这也是冰雹猜想最为神奇之处。

       第七讲将介绍蝴蝶效应。

注：2019年有人说已证明了角谷猜想，但这个说法未见正式期刊发表。