让我们从一个禅宗公案——「岩头之斧」开始：
“德山一日谓师（即岩头——译注）曰：“我这里有两僧入山，住庵多时，汝去看他怎生。”师遂将一斧去，见两人在庵内坐。师乃拈起斧曰：“道得也一下斧，道不得也一下斧。””
大意就是德山禅师让岩头去看看住庵里的两个僧人，岩头看到两个僧人坐在庵内，举起斧头说：“你们回答我要砍你们一斧头，你们不回答我还要砍你们一斧头。”（附1：「岩头之斧」的中文难以理解的话我在文末附了英文原文）
这句话与武侠小说中常说的“抬头也是一刀，缩头也是一刀”有异曲同工之妙。看来这个岩头还颇有些江湖气息。
可是为什么我们下意识地把“道得也一下斧，道不得也一下斧”与直接砍一斧头等同呢？
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命题演算证明「砍一斧」为真
我们在这里要用一点数学思想证明他们是等同的。
《GEB》第七章中介绍了命题演算的概念和规则，书中用24行推导出这个结论。（附2：具体命题演算系统的推导规则我会附在文末，有兴趣的读者可以对照理解）
把「回答」记为事件P，则「不回答」即为事件∽P（“∽”是否定的意思）；
把「砍一斧」记为事件Q；
「回答砍一斧」即为<P→Q>，「不回答砍一斧」即为<∽P→Q>；
则「回答砍一斧不回答砍一斧」的岩头公理可以记作“＜＜P→Q＞∧＜～P→Q＞＞”。
我们将跟随这24步，从“＜＜P→Q＞∧＜～P→Q＞＞”推导出事件Q，也就是「砍一斧」。（与文末的推导规则对照起来看其实不难，不要害怕数学的符号，其实数学的语言比中文简单多了）
“
(1) ［ 推入
(2) ＜＜P→Q＞∧＜～P→Q＞＞ 岩头公理
(2) ＜P→Q＞ 分隔
(4) ＜～Q→～P＞ 易位
(5) ＜～P→Q＞ 分隔
(6) ＜～Q→～～P＞ 易位
(7) ［ 再一次推入
(8) ～Q 前提
(9) ＜～Q→～P＞ 把第4行搬入
(10) ～P 分离
(11) ＜～Q→～～P＞ 把第6行搬入
(12) ～～P 分离（8和11行）
(13) ＜～P∧～～P＞ 联结
(14) ～＜P∨～P＞ 德·摩根
(15) ］ 弹出一次
(16) ＜～Q→～＜P∨～P＞＞ 幻想规则
(17) ＜＜P∨～P＞→Q＞ 易位
(18) ［ 推入
(19) ～P 前提（也是结果！）
(20) ］ 弹出
(21) ＜～P→～P＞ 幻想规则
(22) ＜P∨～P＞ 思维陀螺
(23) Q 分离（22和17行）
(24) ］ 弹出”
在第23行，我们需要的Q出现了。
一件我们想当然的事，使用严谨的推导却使用了24步，并且会让很多人望而生畏。我不禁想：我们认为简单的事其实不一定简单，而我们认为复杂的事也不一定复杂。人的思维真是奇妙。
2
「岩头之斧」的后续发展
言归正传，既然我们最后得出了事件Q，也就是「砍一斧」，看来两位僧人都难逃厄运了。
不过，这件事之所以能成为公案，还得看后面的发展：
“二人殊不顾。师掷下斧曰：“作家！作家！”归，举似德山，山曰：“汝道他如何？”师曰：“洞山门下不道全无，若是德山门下，未梦见在。””
说人话就是：两个人好像没听到一样不理他的话。岩头把斧扔下说：“这是修禅的人啊。”回去把情况告诉给了德山禅师，禅师问岩头怎么看他们，岩头回答说：“如果在洞山禅师的门下还可以，但在德山禅师的门下，他们还差得远呢。”
对于修禅方式的评论我们不去管它，但是这两个僧人应对这一斧头的方法很巧妙。回答的前提是听见某句话了，如果没听见，那就无所谓回不回答了，也就自然不会受那一斧。（附3：想要了解禅宗背景的可以参考我附的网友评论）
不过，我们还有另一种方法避过那一斧——否定逻辑推理。
3
无限循环的三段式推理
让我扮演其中一个人回答岩头的话。
我：你这待客之道太残暴了。
岩头：你回答我了，我要砍你一斧。
我：我是回答你了，但我不觉得我应该被砍头。
岩头：我之前是不是说过「回答砍一斧」了？
我：是的。
岩头：你是不是「回答」了？
我：是的。
岩头：那你就该被我砍。
我：你是说我必须认为：
** 一、「回答砍一斧」是真的**
** 二、「回答」是真的**
** 一百、「砍一斧」是真的**
岩头：就是这样，我要砍你了。
我：等一下，我得记一下，你是要我相信：
** 三、如果一、二是真的，一百就是真的**
岩头：就是这样，我要砍你了。
我：那现在就是这样了：
一、「回答砍一斧」是真的
** 二、「回答」是真的**
** 三、如果一、二是真的，一百就是真的**
** 一百、「砍一斧」是真的**
我：那我还得相信：
** 四、如果一、二、三是真的，一百就是真的**
我：是吗？
岩头：就是这样，我要砍你了。
我：等一下，这样我还需要相信：
** 五、如果一、二、三、四是真的，一百就是真的**
岩头：就是这样，我要……
（这段对话改编自刘易斯·卡罗尔，“乌龟说给阿基里斯的话”）
这样下去，岩头永远也无法砍下那一斧。我们所信奉的亚里士多德的三段论在这里好像失去了能量。
看来一个彻底的“怀疑论者”是驳不倒的，用《GEB》中的话说：
“你无法永远维护你的推理模式。到了一定的地步，就只有靠信仰了。”
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附言：
《GEB》七、八两章几乎全部是数学相关的内容，我尽量把其中和数学不太相关的地方拿出来和大家分享。
但是命题演算系统是《GEB》第七章最重要的概念，我绝不可能跳过不提。所以只能以简短的篇幅和附录的形式介绍这个系统。
强烈建议你去阅读原书来理解命题演算系统，只要肯静下心来思考，对命题演算的理解只需要相当基础的数学思维，且对初高中所学的数学知识毫无要求。
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附1：「岩头之斧」的英文原文
One day Tokusan told his student Ganto, “I have two monks who have been here for many years. Go and examine them.” Ganto picked up an ax and went to the hut where the two monks were meditating. He raised the ax, saying “If you say a word, I will cut off your heads; and if you do not say a word, I will also cut off your heads.”
Both monks continued their meditation as if he had not spoken. Ganto dropped the ax and said, "You are true Zen students." He returned to Tokusan and related the incident. "I see your side well," Tokusan agreed, "but tell me, how is their side?" "Tõzan may admit them," replied Ganto, "but they should not be admitted under Tokusan."
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附2：命题推理系统符号表、形成规则和推导规则
符号表：
＜ ＞
P Q R ’
∧ ∨ → ～
［］
形成规则：如果x和y都是良构的，那么以下的四种串也都是良构的：
⑴ ～x
⑵ ＜x∧y＞
⑶ ＜x∨y＞
⑷ ＜x→y＞”
联结规则：如果x和y是定理，那么＜x∧y＞是个定理。
分隔规则：如果＜x∧y＞是个定理，那么x和y二者都是定理。
双弯号规则：“～～”这个串可以从任何定理中删除。它也可以嵌入到任何定理中去，只要所得的结果本身是良构串。
幻想规则：如果假定x是一个定理时能推导出y来，那么＜x→y＞是个定理。
搬入规则：在一个幻想里边，任何来自于“现实性”高一个层次的定理都可以拿进并使用。
分离规则：如果x和＜x→y＞二者都是定理，那么y是个定理。
易位规则：＜x→y＞与＜～y→～x＞是可互换的。
德·摩根规则：＜～x∧～y＞与～＜x∨y＞是可互换的。
思维陀螺规则：＜x∨y＞与＜～x→y＞是可互换的。
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附3：网友评「岩头之斧」公案
庵居坐禅本是洞山一系的门风，石霜有枯木众，后世倡默照禅，岂是虚然！德山令岩头评价二人，岩头言道，若是洞山门下，不能说全无可取，若是德山门下，则尚未梦见，差得很远。岩头不是说二人境界不及，而是怪他们投错了地方，若是洞山门下，定力深厚，堪称作家，而在德山门下，如此枯坐，驴年难悟！洞山门下有修有证，坐禅便是功夫；德山门下无修无证，宴坐即是执着。岩头并非有意贬低洞山，而是表明二宗门风不同。
