dp背包问题

1、说明

leetcode做了几十道动态规划的题目，大部分都是参考别人的解法进行解答，对动态规划的理解还是不到位，所以决定整理一下动态规划的几个经典问题：背包问题，先简单介绍一下背包问题：

背包问题泛指以下这一种问题：
给定一组有固定价值和固定重量的物品，以及一个已知最大承重量的背包，求在不超过背包最大承重量的前提下，能放进背包里面的物品的最大总价值。

背包问题包括：

0-1背包（leetcode416、494）
完全背包（leetcode 518、322）
多重背包

01背包

01背包是指每件物品只有一件，我们只能选择放与不放

题目

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的体积是 c[i]，价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大

我们先用子问题定义状态，spa <span style="color: red"> dp[i][j]表示前 i 件物品恰放入一个容量为 j 的背包可以获得的最大价值。</span> 则其状态转移方程便是：

dp[i][j] = Max(dp[i][j-c[i]] + w[i], dp[i-1][v])

假如我们放进背包，当我们选择了第i件商品时，我们剩余的背包空间应该是j - c[i],我们应该要从前面的i-1件商品中拿到我们能获取的最大价值dp[i - 1][j - c[i]]，然后再加上我们当前选择i商品时我们获取到的价值所以得出方程 dp[i][j] = dp[i - 1][j - c[i]] + w[i]。
假如我们不放进背包，这个时候我们应该是从前面i-1件商品中选出我们能够获取的最大价值所以dp[i][j] = dp[i - 1][j]

两种方案中我们选择最大价值，我们的状态转移方程就是：dp[i][j] = Max(dp[i][j-c[i]] + w[i], dp[i-1][v])
给出代码

function zeroOnePack() {
    let dp = Array.from(new Array(N), ()=>new Array(V+1).fill(0))
    for(let i=1; i<N; i++){
        for(let j=0; j<=V; j++){
            if(j-c[i]>=0){
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j-c[i]]+w[i], dp[i-1][j])
            }else{
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            }
        }
    }
}

以上代码时间复杂度O(VN)我们没法再优化，空间复杂度O(NV)我们可以优化到O(V)，我们每次计算dp[i]这个维度数据时都是通过dp[i-1]这个维度数据来求导的，我们只需要在计算dp[i][j]时能够拿到dp[i-1]这个维度的数据即可代码转换为

 for(let i=1; i<N; i++){
        for(let j=V; j>=0; j--){
            if(j-c[i]>=0){
                dp[j] = Math.max(dp[j-c[i]]+w[i], dp[j])
            }
        }
    }

完全背包

每一种商品都有无限件，你每次可以选择0件或者k（k*c[i]<=v）件

题目

有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的体积是 c[i]，价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

和01背包一样我们定义dp[i][j]表示前i件商品放入背包容量为v的最大价值我们能够得到状态表达式
<span style="color: red"> dp[i][j]=max{dp[i-1][v-kc[i]]+kw[i]|0<=k*c[i]<=v} </span>

function completePack() {
    let dp = Array.from(new Array(N+1), ()=>new Array(V+1).fill(0))
    for (let i = 1; i < N; i++){
        for (let j = 0; j <= V; j++){
            for (let k = 0; k * c[i] <= j; k++){
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j-k * V[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    return dp[N][V]
}

完全背包的空间复杂度也可以进行,当我们在选择第i件商品时候我们可以不进行选择，也可以在选择完第i件商品的时候再次选择第i件商品即dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i][v-c[i]]+w[i]} 代码如下：

function completePack() {
    let dp = Array.from(new Array(N+1), ()=>new Array(V+1).fill(0))
    for (let i = 1; i < N; i++){
        for (let j = 0; j <= V; j++){
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-c[i]] + w[i]);
        }
    }
    return dp[N][V]
}

转成1维数组

function completePack() {
    let dp = new Array(V+1).fill(0)
    for (let i = 0; i < N; i++){
        for (let j = 0; j <= V; j++){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-V[i]] + w[i]);
        }
    }
    return dp[V]
}

和01背包进行对比发现只有j循环的顺序不一样背包九讲中是这样解释的

截取自背包九讲

多重背包

和完全背包不同的是每种商品都有对应的数量限制

题目

有 N 种物品和一个容量为 V 的背包。第 i 种物品最多有 n[i]件可用，每件体积是 c[i]，价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第 i 种物品有 n[i]+1 种策略：取 0 件，取 1 件„„取 n[i]件。令 f[i][v]表示前 i 种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大权值，则有状态转移方程：
dp[i][j]=max{dp[i-1][j-kc[i]]+kw[i]|0<=k<=n[i]}

function multiplePack() {
    let dp = Array.from(new Array(N+1), ()=>new Array(V+1).fill(0))
    for (let i = 1; i < N; i++){
        for (let j = 0; j <= V; j++){
            for (let k = 0; k * c[i] <= j && k<=n[i]; k++){
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-k * c[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    return dp[N][V]
}