上回说到，第一卷遗留下一个问题：化矩形为等面积的正方形。第二卷就是为了解决这个问题而存在。当然，也有副产品。

第二卷的许多命题，在今天看起来很重复和罗嗦，就像第一卷的三十五到四十一命题一样。原因也一样，那时，用几何在运算，没有发达的代数。

命题一，相当于现代的乘法对加法的分配律。

乘法分配律

命题一指出，像图中这样的矩形，大的被分割为几个小的，那么，大的矩形就是几个小矩形面积和。就是说
AB×AD=AB(AE+EG+GD)

命题二，把大矩形换成一个正方形，切割成两个部分。就是说
DC×HC + DC ×FH = DC*FC

命题三，在切割长方形的时候，刻意切割成一个正方形和一个长方形。这个命题的演示结果是：
(a+b)×a=a×a + b×a
或者是上图中：
AG×AB=(AE+EG)×AB=(AB+EG)×AB=AB×AB+EG×EF

结果看上去没有大的变化，但这个命题很重要。因为，这里隐藏了一个“正方形贴和”的概念。古希腊人喜欢正方形胜过矩形，所以，切割长方形的时候，尽量切出一个正方形来。

那个年代，对圆锥曲线的研究已经很深入。因为稍晚的阿波罗尼奥斯总结了所有的圆锥曲线的大部分的性质。广泛使用“贴合”这样一个观念。因此，这个命题存在，是当时流行趋势所致。

正方形贴和

命题四，演示了完全平方公式，隐藏了开方的秘诀。

完全平方公式

在阿基米德的年代，确确实实可以用比值来无限逼近无理数。在欧几里得的年代，也许还做不到。在毕达哥拉斯的年代，绝对做不到。

从西方人的知识脉络来看，一代更比一代强，今人胜古人。

完全平方公式

关于怎样开平方，刘徽等人介绍的特别详细。

命题五，演示了如下公式

formula

命题五的图形

这个图形揭示了：在两线段的和AB一定的情况下，用两线段可做矩形。当两线段长度相等的时候，面积最大。
那么，正方形比一般长方形大多少呢？大的就是不等分点C与中点D之间的距离所作的正方形。

如果知道他想表达的意思，无疑，这个命题用图形描述起来比现代的代数更直接。但用图形证明起来会更繁琐。

当两线段长度很接近的时候，正方形面积同矩形面积就很接近。这个公式也隐含了开平方的方法。这个命题，可以视为化矩形为正方形的探索。一个矩形，只要加上一个小的正方形，就可以化为正方形。

命题六，演示了如下公式：

公式2.6

使用的图形是

命题6

用代数的算式，其实看不出作者要做什么。看图形就会发现，这个命题与上一个命题有相似的地方。都是一个长方形加上一个正方形，等于另一个正方形。这一个图，可以视作分点D在线段AB的外部。
在直线AB上，设A点坐标为x1,B点坐标为x2,则C点坐标为
(x1+x2)/2，设分点D分线段AB比例AD/AB=λ。
即(x-x1)/(x2-x1)=λ，
那么：

分点制造的面积

因此，当分点在AD方向，D的外侧时，λ>1,按照上面的公式，计算出来的面积是负值。当分点在A的左侧时，λ本身为负值，计算出来的面积还是负值。只有分点在线段内部，计算出来才是正值。

本命题是
矩形（A到分点× 分点到B）+
半线正方形 =
（分点与中点距离)构成的正方形

上一个命题是：
矩形（A到分点×分点到B）+ （分点与中点距离)构成的正方形=
半线正方形

两者可以整理成统一的形式：
矩形+正方形+正方形=0

因为，用坐标计算，面积可以写成负值。上一个命题中，也可以获得面积为负值的表示。

正的或者负值只是表示方向，方向垂直于xy平面。也就是说与平面内的事情无关。计算面积的法则是叉乘。

古希腊时代对“负”的值似乎有点排斥，甚至到笛卡尔的年代，还排斥负值。人们好不容易接受了负值，又不能接受虚数。也如同最初的人对“日心说”的排斥。社会趋向于稳定，总会习惯性的排斥新生的事物。新生的事物，必须经历血与火的考验，才能生存。

要学习新的几何，必须先接受新的观念。

命题五、六实际上是同一个命题。依然在探索，如何化长方形为正方形。实际上，也可以这样写：
(y+z)(y-z) + z^2 = y^2

命题七，讲

公式2.7

使用的图形

命题七

实际上，原本的图形尽量节省一切可以节省的空间。只要能重合，把相等的线段都画在一起。

由于现代人有了代数，有坐标轴，很容易证明第二卷的各种命题。于是，都不再细看《原本》中繁琐的证明。我感觉，这里面可能有东西，待我详细考察。

暂时不使用代数证明的方法，尝试用纯几何理解作者当时的想法。

命题八，命题八的繁琐描述，又把人拉回现代简单的代数，代数用一个式子就解决了，几何需要繁复的描述。于是，第二章也可以看作解析法的前身。因为现代人，在证明第二卷的相关命题时，没有办法不用解析法。解析法的便捷，足以让人遗忘综合几何繁杂的证明。

命题八，用代数式表示，就是
4(a+b)a+b^2 = (2a+b)^2。
代数介入几何，才让人感觉到大巧若拙的真实含义。
代数只会计算，抛弃了几何复杂的证明路径，然而，简单有效。

命题九与命题十是同样的道理。
命题九用代数的观点看，就是(a-b)^2 + b^2 = 2(a/2)^2 +2(a/2-b)^2.
命题十用代数的观点看，就是(a+b)^2 +b^2 = 2(a/2)^2 +2(a/2+b)^2.
这些看似平常的公式里，隐藏了古人的心血。包括开平方的秘诀，以及用有理数逼近无理数的方法。

命题十一，是必须重视的一个命题。因为讲了“黄金分割”。黄金分割，只是一种特殊比例，其实并没有什么神奇之处，但因为大师曾经推崇，所以格外重要。推崇黄金分割的人，包括古希腊的学者，还包括文艺复兴时候的画家。因为，有一种说法，黄金分割是最美的。

命题十二和命题十三，就是余弦定理的几何描述。那个时候，还没有余弦函数。于是，就用线段的投影表示。这两个定理扩展了勾股定理。

命题十四，是本卷的目标命题，也是上一卷最重要的补充。解决了上一卷的遗留问题。即化一个长方形为正方形。本质上讲，完成了数的开方运算。

笛卡尔几何对《原本》发扬的地方之一在于，引入了一个幽灵1,所有的单位可以同1比较，于是，单位就可以消失，数学就可以研究单纯的数字。欧氏几何，乘法得出的一定是面积;而在笛卡尔几何中，如果不仔细分别，只是拿到一个数字，那么，你将不能分别是1厘米还是1平方厘米。也就是说，使用单位线段，可以消除更多的单位转换的麻烦。

从本质上讲，乘法是不可交换次序的。

本卷的内容：

1. 解析法思想（命题5-10）
   1.乘法分配律（命题1，2,3）
2. 黄金分割（命题11）
3. 完全平方公式（命题4）
4. 几何平均（几何开方法，化矩形为正方形法）
   (命题14）
5. 余弦定理（第一卷命题47,第二卷命题12,13）

本卷用解析法会更加清晰，很多不同的公式都可以统一成一个。钝角三角形的余弦定理和锐角三角形的余弦定量在形式上获得统一。

这是及其重要的一卷书。

再次讨论本卷的第五命题和第六命题，以及这两个命题的统一性。

设甲丙两个点，构成一条线段。中点用“中”字标记。另外，甲丙线段（或直线）上，有一个点，用“分”字来标记。

那么，设整条线段甲丙的长度为1,甲到分点的距离lambda,那么乙到分点的距离就是(1-lambda)。

分点到中点距离是(lambda-1/2)或者(1/2-lambda)，但由这段距离

运算过程

展开，就是
(lambda^2 - lambda +1/4)
即
lambda(lambda-1)+1/4

通过第二步和第四步，可以知道其中运算的奥秘。原作者尽量使得每一个面积的表示都是正值，所以，需要很多的算式。需要很多的算式也说不清楚。

但如果一开始就假定，面积可以为负值，一切就简单多了。

数学本身太抽象，并不容易理解。借助物理学，可以更好的理解数学中的某些做法。阿基米德就用物理学来解数学，这是优良的传统。

物理学中的力矩可以体现出面积负值的含义。

第一卷和第二卷，完成了一个件事情，即：
化任意多边形为正方形。

重要理论有：
等腰三角形的判定和性质
三角形全等的判定
三角形中的不等式
平行线的判定和性质
等面积变换

提到的重要公设和定理有：

Pasch公设
第五公设
Playfair公设

庞斯命题
三角形外角定理
三角形内角和定理
勾股定理
余弦定理

重要概念有：
算术平均
几何平均
黄金分割
解析法
开方法（完全平方公式）

一二两卷，虽然只有 48+14=62个命题，但是内容已经相当饱满。