信用评分卡研究第4章预测力指标

第4章预测力指标

这个部分主要是评判自变量与因变量之间，自变量之间的预测能力。这里明确相关性和关联性的一些细微区别，相关性在统计学上更多表示是变量之间的线性关系，而关联性则不一定。前者更多是连续型变量与连续型变量，或者顺序变量与连续型变量的关系。

之所以要衡量自变量间的相关性，主要有两个原因：

自变量之间有强相关性是逻辑回归模型本身不允许的，加入具有强共线性的自变量会导致模型本身不稳定。
自变量具有相关性，说明有一些变量是重复的，或者说是包含的信息可以用更少的变量个数表达出来，这个时候可以用PCA主成分分析或者因子分析找出决定数据方差的最少自变量。

一般来说会有一个大的自变量的集合，这些是有关客户的所有的有关变量，而特征工程最终就是要筛选出一个预测力最强的自变量的最优子集。因此需要剔除掉那些与用户「正常/逾期」这个因变量预测力不够的变量。

image-20200201121656054

符号

两个连续变量

皮尔逊相关系数和斯皮尔相关系数

两个分类变量

列联表计算各个类别的频率

image-20200201122123831

其中 $N=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^cn_{ij}$

分类变量和连续变量

对于分类变量X的每个类别，列出该类别下的y的所有值。

image-20200201122750763

计算以下几个指标：

每一行的总和，也就是x的每个类别的总和

$y_i=\sum_{j=1}^ry_{ij}$

第i行的平均值为 $\bar{y_{i}}=\frac{y_i}{n_i}$ ，其中 $n_i$ 为变量 $X$ 该类别下的观测值个数。

总的y和为

$y=\sum^{c}_{j=1}\sum^{r}_{i=1}y_{ij}$

变量y的总体平均值为 $\bar{y}=\frac{y}{n}$

根据总体平均值定义离差的平方和

$STD=\sum_{i=1}^{r}(\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\bar{y})^2)$

定义行均平方差之和

总体平均值定义类别平均值的离差平方的加权总和：

$SSTR=\sum_{i=1}^{r}n_i(\bar{y_i}-\bar{y})^2$

行均的y的值离差平方的总和为：

$SSE=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\bar{y_i})$

最后两个和的均值为

$MSTR=\frac{SSTR}{r-1}$

$MSE=\frac{SSE}{N-r}$

皮尔逊相关系数

跟协方差进行比较

给定两个连续的变量x和y，皮尔逊相关系数的计算方式如下：

$\rho=\frac{\sum^{N}_{i=1}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{[\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^{N}(y_i-\bar{y})^2]^{\frac{1}{2}}}$

$x_i-\bar{x}$ 可以看作是自变量进行去中心化后的结果，也就是把中心移动到了原点。

皮尔逊相关系数可以理解成向量 $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5……, x_N]$ 和 $[y_1,y_2,y_3,y_4,y_5……, y_N]$ 这两个向量的余弦值，根据空间几何我们知道，两个向量越相近，夹角越小，余弦值越大，如果完全共线就是1，如果完全不相关就是夹角为90°，也就是余弦值为0。

image-20200201140117459

从另外一个角度看，皮尔逊相关系数的分子部分可以看成是去中心化后，x和y的乘积之和，反映出x和y的差异大小和方向，为正代表同方向变化，为负代表相反方向变化。

而分母相当于是对分子的值进行标准化的操作。

image-20200201140757035

异常值对皮尔逊相关性系数影响很大，从上图可以看到value1和value2是相同的值，黄色圈圈是异常值，只要出现异常值，那么原本的相关性会从1降低到了0.72.

斯皮尔曼相关系数

斯皮尔曼相关系数和皮尔逊相关系数唯一的区别就是，斯皮尔曼相关系数是以变量所处的等级来代替具体的变量值。

$\rho=\frac{\sum^{N}_{i=1}(R_i-\bar{R})(S_i-\bar{S})}{[\sum_{i=1}^{N}(R_i-\bar{R})^2\sum_{i=1}^{N}(S_i-\bar{S})^2]^{\frac{1}{2}}}$

其中， $R_i$ 和 $S_i$ 分别是第i个观测值的从小到大排序的等级，比如34，31和32，等级分别是3，1和2。

$\bar{R}$ 和 $\bar{S}$ 分别是两个变量的等级的平均值。

相对于皮尔逊相关系数，斯皮尔曼相关系数对极端值不敏感。

皮尔森卡方统计量

皮尔森卡方统计量表示为 $X^2$ ，用来计算分类变量和分类变量的关联性。其计算根据列联表4.3得出。

image-20200201122123831

我们先计算出预期的单元数

$\mu_{ij}=\frac{n_i\times n_j}{M}$ ，这个代表第i行第j列的预期单元数

则皮尔森卡方统计量的表达式如下：

$X^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\frac{(n_{ij}-\mu_{ij})^2}{\mu_{ij}}$

$\chi^2$ 是满足自由度为 $df=(r-1)(c-1)$ 的卡方分布，也就是 $\chi^2(X^2,(r-1)(c-1))$ ，其中 $\chi^2$ 是满足卡方分布的累积分布概率函数。而两组变量独立的概率为 $P_r(independence)=1-\chi^2(X^2,df)$

当i行，j列的单元数等于该预期单元数，也就是 $n_{ij}=\mu_{ij}$ 的时候， $X^2=1$ ，对应的 $\chi^2(X^2,df)$ 为0，独立的概率为1。

image-20200201150303558

F检验

F检验是衡量连续型变量x和连续型变量y之间的关联程度，该检验通过计算 $F^*$ 来实现。

也就是

$F^*=\frac{MSTR}{MSE}$

$F^*$ 代表x和y关联性强度的大小，越大说明关联程度越强。一般通过回归方程计算出 $MSTR$ 和 $MSE$ 后计算 $F^*$ 。

信息值

woe化后，某个变量

$IV=\sum_{i=1}^{N}(p_{0i}-p_{1i})ln(\frac{p_{0i}}{p_{1i}})$

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