正规方程求解特征参数的推导过程

多变量线性回归代价函数为：
$j(\theta_0,\theta_1, \theta_2 ... \theta_n) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h(x^{(i)}) - y^{i})^{2}$
其中：
$h(x) = \theta^TX = \theta_0x_0 + \theta_1x_1 ... +\theta_nx_n$
正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数：
$\frac{\partial}{\partial \theta_j}J(\theta_j) = 0$

设有m个训练实例，每个实例有n个特征，则训练实例集为：
$\begin{equation} X = \left[ \begin{matrix} x_0^{(1)}&...&x_n^{(1)}&\\ ...&...&...&\\ x_0^{(m)}&...&x_n^{(m)}& \end{matrix} \right] \end{equation}$

其中
$x_{j}^{(i)}$
表示第i个实例第j个特征。

特征参数为：
$\theta = [ \theta_0,\theta_1,\theta_2 ... \theta_n ]^{T}$
输出变量为：
$j(\theta_0,\theta_1, \theta_2 ... \theta_n) = \frac{1}{2m}(X \times \theta - Y)^T(X \times \theta - Y) = \frac{1}{2m}(Y^TY-Y^TX\theta - \theta^TX^TY + \theta^TX^TX\theta)$
进行求导，等价于如下的形式：
$\frac{1}{2m}(\frac{\partial{Y^TY}}{\partial{\theta}}-\frac{\partial{Y^TX\theta}}{\partial{\theta}} - \frac{\partial{\theta^TX^TY}}{\partial{\theta}} + \frac{\partial{\theta^TX^TX\theta}}{\partial{\theta}})$
其中第一项：
$\frac{\partial{Y^TY}}{\partial{\theta}} = 0$
其中第二项：
$Y^TX\theta = [y^1 + y^2 ... + y^m] \left[ \begin{matrix} x_0^{(1)}&...&x_n^{(1)}&\\ ...&...&...&\\ x_0^{(m)}&...&x_n^{(m)}& \end{matrix} \right][ \theta_0,\theta_1,\theta_2 ... \theta_n ]^{T} = (x_0^1y^1 + ... + x_0^my^m)\theta_1 + (x_1^1y^1 + ... + x_1^my^m)\theta_0 + ... + (x_n^1y^1 + ... + x_n^my^m)\theta_n$
该矩阵求导为分母布局下的标量/向量形式：
故有
$\frac{\partial{Y^TX\theta}}{\partial{\theta}} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial{Y^TX\theta}}{\partial{\theta_0}}\\ ...\\ \frac{\partial{Y^TX\theta}}{\partial{\theta_n}} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_0^1y^1 + ... + x_0^my^m\\ ...\\ x_n^1y^1 + ... + x_n^my^m \end{matrix} \right] = X^TY$
第三项
$\theta^TX^TY = [\theta^0 + \theta^1 ... + \theta^n] \left[ \begin{matrix} x_0^{(1)}&...&x_n^{(1)}&\\ ...&...&...&\\ x_0^{(m)}&...&x_n^{(m)}& \end{matrix} \right][ y_1,y_2 ... y_m ]^{T} = (x_0^{(1)}\theta_0 + ... + x_n^{(1)}\theta_n)y^{1} + ... +(x_0^{(m)}\theta_0 + ... + x_n^{(m)}\theta_n)y^{m}$
该矩阵求导为分母布局下的标量/向量形式：
因此
$\frac{\partial{\theta^TX^TY}}{\partial{\theta}} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial{\theta^TX^TY}}{\partial{\theta_0}}\\ ...\\ \frac{\partial{\theta^TX^TY}}{\partial{\theta_n}} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_0^1y^1 + ... + x_0^my^m\\ ...\\ x_n^1y^1 + ... + x_n^my^m \end{matrix} \right] = X^TY$

第四项：

$\theta^TX^TX\theta = (X^TX)(\theta_0^2 +\theta_1^2 ... + \theta_n^2)$
为标量，可看成一个常数。该矩阵求导为分母布局下的标量/向量形式,因而(二次型结合矩阵求导):

$\frac{\partial{\theta^TX^TX\theta}}{\partial{\theta}} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial{\theta^TX^TX\theta}}{\partial{\theta_0}}\\ ...\\ \frac{\partial{\theta^TX^TX\theta}}{\partial{\theta_n}} \end{matrix} \right] = 2(X^TX)\left[ \begin{matrix} \theta_0\\ ...\\ \theta_n \end{matrix} \right] = 2X^TX\theta$
综上，正规方程为：
$\frac{1}{2m}(-2X^TY + 2X^TX\theta) = 0$
最终可得特征参数的表示：
$\theta = (X^TX)^{-1}X^TY$

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