最近开启上帝模式，上班想干嘛就干嘛，一副“你快点开除我啊”的架势。

　　根本原因是我已经提出了辞职，而公司不知为何的到现在都没批下来，搞得我每天除了打酱油就是打酱油……

　　好了，废话按下不表，开始正经地胡扯。

　　哥德尔定理其实有这么一系列：

　　哥德尔完备性定理：任何一致的一阶形式系统都是完备的。

　　哥德尔不完备性定理：如果一个与算术系统相容的形式系统是一致的，那它一定不完备。

　　哥德尔不完备性第二定理：如果一个与算术系统相容的形式系统是一致的，那这个一致性无法从系统内部被证明。

　　其实最后一条是第二条的自然推广。

　　对此的解读有很多，都是形式逻辑中的内容。而它的意义自然也是非常重大的，这里仅仅是考虑一些由此引出的胡思乱想。

　　首先，上述系统的关键就在于一致性和完备性这两点上。

　　所谓一致性，就是如果一个命题在系统内被判定为真，那么不可能再由同一个系统给出其为假的结论——也就是说，一个命题要么是真的，要么是假的，不能既真又假。

　　而完备性，则是说一切真的命题都能被系统证明，一切假的命题都能被系统证伪——换言之，系统本身可以给出系统内所有命题的真伪判定，而不会出现一个命题是无法判定其真伪的。

　　从而，本质上说，一致性和完备性要求了这么一个局面：

　　系统中的命题要么是真的，要么是假的，不能既真又假，也不能不真不假。

　　这是一个看上去和合理的要求，在逻辑上被称为“二元逻辑”。

　　我之前在《庸人几多自扰》里提到过这么一个想法：是否有可能打破这种关系？

　　或者，问得更形而上一点：上述要求是数学本就如此，还是仅仅是我们要求数学如此？

　　倘若是后者，那事情就好玩了。

　　但，其实这个问题的答案并没有这么简单：在逻辑上二元逻辑并不是唯一，还有很多别的东西。

　　比如说，三元逻辑（真，假，未知），多值逻辑，以及模糊逻辑。

　　除了形式逻辑，也有人提出非形式逻辑。

　　回到上述的那个问题中来，一个命题可能是真的，或者是假的，也可能未定真假，也可能又真又假（就如量子混合态），或者非真非假，都有可能——只要我们不再继续使用二元逻辑来要求真假对立即可。

　　当然了，在形式逻辑系统里到底是要遵从二元逻辑还是可以将这部分换掉，这个问题本身恐怕需要在逆数学的未来来回答了——逆数学或者说反向数学，就是从对定理的证明来考察哪些公理是必要的哪些不是，换言之是利用证明来考察系统基础公理的一个数学分支。在这个问题中，二元逻辑到底是必须的，还是可以替换为别的逻辑，这问题本身就可以算作是逆数学的一个考察对象。

　　如果说命题本身可以具有独立于唯一的真与唯一的假以外的别种状态（无论是真假混合还是真假不定还是真假皆非），那哥德尔不完备性定理恐怕就有很好玩的改变了。

　　当然，这目前只是一个好玩的想法，具体会怎么发展我就不知道了。

　　和哥德尔不完备性定理相关的另一个想法，则源自集合论。

　　在朴素集合论中有一个著名的罗素悖论：任何不属于自己的集合都属于特定集合X，那么X是否属于自己？

　　这个悖论最终导致集合论的形式化，引出了ZF集合论和ZFC集合论（两者的差别是是否包容选择公理）。

　　当然，这并不是唯一的引出结果，还有NBC集合论以及新基础集合论。

　　其实，在我看来，这个问题本身有点奇怪。

　　如果我们将集合定义为一组对象的整体的话，那个人认为集合的最主要特性是具有这一组对象，无论是有限还是无限个。

　　然后，诸如上面所说的“任何不属于自己的集合都属于集合X”这样的描述，事实上是对这组对象的共性的叙述——这其实就是说，对象和叙述是有一个“先后”关系的，或者说是有一个“谁为本体谁为附庸”的本体论差异的。

　　如果说，这组对象是本体，而叙述是本体衍生出的属性的描述的话，那罗素悖论的本质其实是这个描述描述错了——描述本身是可以有对错的（按照上面提到的多元逻辑观甚至可能非对非错既对又错），而一个错误的描述本质上总是可以出现的，而错误描述对应的集合的不存在性或者说不可构造性仅仅因为描述错了，而不构成集合本身的悖论。

　　事实上，这也是ZF／ZFC集合论所作的事情，引入类，然后从类来引出集合，实现了类似的目的。

　　和罗素悖论相关的其实就是各种自指疑难。

　　由于“描述”的定义本身的模糊性，以及图灵机本质上可以处理“语言”从而处理“描述”，所以上述为罗素悖论开解的方式在图灵停机问题等自指问题中都无法被使用，从而类似的自指疑难在图灵机中依然存在——更甚者，形式逻辑本质上可以处理形式化的语言描述，从而这样的自指疑难在形式逻辑中也一样会存在，而这就最终导致了哥德尔不完备性定理——这货本身就是通过构造二阶形式系统上的自指来达成的。

　　于是就在想，是否可能通过ZF/ZFC集合论、NBC集合论或者新基础那样的方式来绕过这种形式系统上的自指疑难，就如同它们绕过朴素集合论中的自指一样？

　　对此问题的思考当然现在是没有结果的。

　　最后是哥德尔不完备定理的外延。

　　此前看到一篇文章谈这货在哲学和人工智能领域的影响，让我感觉写这些文章的家伙很可能自己都没理解什么是哥德尔定理。

　　诚然，哥德尔不完备性定理定理的确很有可能算是给出了理性的边界——理性可以被看作是利用已有元素以逻辑为前提进行外推的思维过程，从而至少在形式逻辑体系下受到哥德尔不完备性定理的约束和限制——但它并不能给出更多的内容了。

　　以人工智能为例，即便整个智能都可以用一套形式逻辑系统来描述，那哥德尔不完备性定理也只是论述了这个思维一致的人工智能（这里姑且还是采用二元逻辑的架构，从而这个人工智能对一个事物的看法要么是认为其为真要么是认为其为假，而不能既真又假）的思维活动不能是完备的——但这是在真实世界中是显而易见的，我们人类的思维活动也不会是完备的，因为如果是完备的，这就是说我可以从单纯的有限个公理假设出发来推理出我每天早上的早饭吃什么——这么说当然是不对的。

　　事实上，我们可以从有限个公理假设出发作出很多推测，但总有一些东西是我们无法推测出其真伪的，这是所有人在一生中遇到的最多的情况，比如说柯南可以推测出ABC三人都有嫌疑，但无法推测出凶手到底是谁，从而此时就需要去找线索，确定只有B才是凶手而A和C都是无辜的，这样的戏码每天都在上演，而且绝对不会停止。

　　正常人的脑袋和一生就是这样：我们可以做出推理，但总会遇到近乎无限的无法光靠推理推理出其真伪的事件，此时就需要使用实践检测的手段了——从而是推理系统以外的东西。

　　一致性无法在形式系统内被检验，这对于正常人来说是每天的日常。

　　由此可见，仅因为形式系统的一致性无法在内部被证实或者因为形式系统的一致性和完备性不相容，就得出AI不可出现这是不合理的，因为真实世界的人工智能系统和人肉智能系统一样，都需要和形式系统以外的真实世界进行交互，从而本就需要且可以通过大量形式系统以外的东西来辅助处理一致性问题。

　　另看到一些文章，利用哥德尔不完备性定理来论证数学的不确定性和物理上的不确定，这在我看来有点无理取闹。。。

　　基本上，这两天看这货的一些想法也就这样了。

　　洒家这辈子也值了……