授课日期：2018年9月4日星期二

授课班级：七年级1班

教学目标：

A类：

1、回顾小学阶段所学数的种类，清楚他们的区别和联系。比如：正整数、自然数、正分数、正小数、负数。包含关系：正整数与自然数，正分数和正小数，分数和小数。

B类：

1、分类的原则，有理数的分类，负数的含义

2、数轴的四要素：直线、原点、正方向、单位长度。

3、数轴上数代表的“基数”和“序数”的性质

4、数轴上数的唯一性

C类：

1、加法的本质：集合的合并

2、减法的本质：集合的拆分

3、乘法的本质：拉伸变换

4、除法的本质：压缩变换

5、用数轴表示加减乘除法运算：平移变换和拉伸变换

6、加减乘除运算间的关系。  

第一板块：自我挑战，遭遇问题

课前挑战：

1.整个小学阶段，你学习过哪些类型的数？请举例说明；

2.将小学学过的数分成两类，你会如何分？将两类分成一类可以吗？你能取个名字吗？

3.请将第1题中列举出来的“数”在一条直线上表示出来（直线上有无数个“点”，请将不同的“数”与不同的“点”对应起来），并说明你的理由；

4.数可以进行加法运算吗？请举例说明；

5.数可以进行减法运算吗？请举例说明；

6.数可以进行乘法运算吗？请举例说明；

7.数可以进行除法运算吗？请举例说明；

8.以上四种运算之间具有怎样的关系？请结合一个例子进行说明；

9.请提出你感兴趣的新问题；

典型问题分析：

挑战单1：绝大多数学生只是列举了小学学过的数，并没有下意识的将其分类。

挑战单2：有部分学生按照性质进行分类，分为正数和负数，但是却将0遗漏；有的学生按照定义来分，但分为了“整数和小数”或“整数、小数、分数”；还有的直接分为“有理数和无理数”，在讨论这个问题前，需要和学生讨论分类的关键原则：（1）确定分类范围（2）确定分类标准（3）保证不重不漏；只要学生的答案有道理即可。

挑战单3：直线上有无数个点，因此将例子中的各数看成直线上的一点，是可以的；在表示过程中：首先确保是一条直线，有部分学生画的是线段或射线；其次为了方便，需要规定正负数的分界点，即原点，这个基本上学生没有问题；再次是对于正方向规定的必要性进行讨论，并同时规定统一的“单位长度”。学生对于正方向的规定可能有违日常，但只要其数轴上的数有统一性，也应该给予肯定，正方向的规定只是个“人为规定”而已；最后为了表示各数，需要确定单位长度，并在一条数轴上保持统一。

挑战单4-8，多数学生的举例为正整数类、正分数、正小数的运算，没有负数；含有负数（只有一个负数）的例子有的没加括号，有的计算错误，这里需要结合数轴分析算理，再拓展挑战判断关于负数运算的正误。

第二板块：聚焦问题，展开对话

师：有位同学这样回答第一题，你认同吗？

生1：他举得例子我认同，但是我觉得还有一些数他没有列举出来。比如：无理数。

师：那这位同学有没有列举全？

生2：全了，不过他的”复数“写错了，应该是”负数“。

师：那什么是负数呢？

生：就是-1，-2，生活中有地下室的电梯，气温在0℃以下的温度…

师：是的，负数代表着“相反意义的量“。

师：这位同学是这样列举的？你明白他的意思吗？

生：他在分类。

师：那你们知道分类需要遵循什么原则？

生3：要确定分类的范围。

生4：要有分类标准。

师：还有吗？

生5：要分完，不能剩。

生6：还不能分重。

师：意思就是不重不漏。

生：对。

达成共识：

分类必须满足3个原则：（1）确定分类范围（2）确定分类标准（3）保证不重不漏。

师：那我们现在对小学学习的数进行分类，看看这位同学的。

生7：我不认同，除了自然数，还有分数呢。他不仅漏掉了很多数，而且分类的范围也缩小了。

师：那这位同学的呢？

生8：我不认同，“比0大和0的数“除了自然数还有”分数“，没有遵循”不重不漏“的原则。

师：那这位同学的分类遵循不重不漏原则了吗？

生9：遵循了，分的挺好的，可是题目中只让分为2类，不让分3类。要是改个名字就好了。

师：那怎么改呢？

生：负数和”不是负数的“。

师：很好，简便一些，我们可以说它为”非负数“。即分为”负数“和”非负数“，那两类数可以合为一类吗？叫它什么呢？

生：数。

师：我们把我们小学学过的这些数叫做实数。还可以怎么分呢？

生10：还可以分为“0和非零的数“、”正数和非正数“。

师：你们举一反三的很厉害。

达成共识：

师：那这位同学的分类你们认同吗？

生10：哦，我知道无理数，比如π。

师：是的，像π这样的无限不循环小数我们把它叫做”无理数“。所以实数也可以分为有理数和无理数。

达成共识：

生：“有理数“是不是那些有规律可言的数，而无理数就是无规律可循的，就像无限不循环小数一样。

师：这里需要跟大家普及一个数学小故事了。关于“有理数“这个名字的由来是这样的，有理数，原词是”rational number“，本意是”成比例的数“，但由于单词”rational “还有一层含义是”理性的“，因此被中国人错翻译为”有理数“，但实际上应该理解为”成比例的数“，为什么这样理解呢？看看这位同学的分类，我们再来讨论。

生11：我觉得应该还有分数。

生12：但是分数和小数互化呀！

生11：无线不循环小数怎么化成分数？

生12：我不知道，但是0.5这样的小数和分数

可以互化。

师：讨论了半天，那小数和分数那个范围更大一些。

生：小数，因为无线不循环小数不能用分数表示，否则我们就直接能计算出π了。

生13：我还有个疑问：无限循环小数可以化成分数吗？

师：这个问题有人可以回答吗？

生：…

师：是这样的，假设

我们都知道他是

。怎么得到的呢？我们可以把这个循环小数的位数多写几位：0.3333333…，最难解决的就是后面的这一长串的数，怎么样可以构造一个数让它小数位后面也有同样的一长串？

生14：老师，将原数扩大10倍，可以变成3.3333333…，这样小数点后面和0.3333333…就一样了。

师：然后呢？

生：让他俩减一下。

师：好我们一起试着把刚才的过程通过列方程表示出来。

师：其他的无限循环小数大家也可以类比来试一试。既然无限循环小数和有限小数都可以化为分数，那实数这样分类可以吗？

生：可以。

师：如果我们把无限不循环小数排除掉，我们分类的范围有变化吗？

生：从实数变成了有理数。

师：那怎么对有理数进行分类呢？

生15：”负有理数“和”非负的有理数“。

生16：”正有理数“和”非正的有理数“。

生17：”0“和”非0的有理数“。

师：还有其他分类办法吗？

生18：老师，我觉得可以分为“整数和分数“。因为除去”无限不循环小数“，其余的小数都可以化为分数。

师：大家认同吗？

生：认同。

师：是的，整数和分数统称为有理数，这就是有理数的定义。那现在大家如何理解我们刚才讲的“有理数“名字的由来，为什么应该理解成”成比例的数“。

生：因为整数可以看成是分母为1的分数，分数就是分母不为1的分数。哦，原来是这样。

师：那分类完，大家有没有考虑，这些数能不能表示在一条直线上。

生：能。

师：看这位同学的表示，你认同吗？

生18：不认同。他的0怎么和

在一起呢？应该分开。

师：那应该放在哪？

生19：应该在正数和负数的分界处。

师：哪边是正数，哪边是负数？

生：我们可以规定。

师：是的，这里我们必须做出规定，一般我们把右边定为正方向。

生：所以这里的0就应该是0.1的左边。

生20：图上0到1的长度要比1到2的长度长。

师：这位同学想说什么意思你们明白吗？

生：就是要统一两个点之间的长度。

师：是的，我们把它叫做单位长度，一般情况下，在同一个数轴上，我们要确定统一的单位长度。

师：那现在我们给画了数的这条直线取个名字吧。

生：数轴，我们小学见过。

师：那画数轴我们要注意哪些地方？

生：（1）0点（2）正方向（3）统一的单位长度

师：那这位同学画的符合你们的要求吗？

生：他怎么画成线段了，应该是直线才行，因为-3和1的两边还有好多个数呢。

师：所以我们画数轴除了刚才的“原点、正方向、单位长度外“还要注意一点：需要画成直线，你的刻度不能画在两端。

达成共识：

数轴：（1）直线（2）原点（2）正方向（3）统一的单位长度

课堂练习：

请大家将这些数表示在数轴上：-2，-1，3，0。

（学生板书，师生共纠错）

师：结合数轴，我们如何理解一个数的含义？比如5？

生21：从原点出发，向右走5格，就到了5的位置。

师：很棒，这位同学说出了5的两层含义，从原点出发，向右走5个单位长度，这里的“5“是数字5的“基数“性质，就到了第5个位置，这里的”5“代表着5的”序数性质“。那如果是-5呢？应该往那边走。

生：往左边走。

（让学生举例说明数的含义）

师：小学都学过哪些加法运算？

生：正数的。

师：那你认同这位同学的例子吗？

生22：这里的﹢3和-3我觉得是一个整体，应该加括号，

生：对，不加括号就没办法读这个算式了，必须得加，它代表的是负3。

师：那加法如何解释算理呢？

生23：加法可以看成是集合的合并，比如3+3可以看成是3个1与3个1相加，即6个1。

师：要是结合数轴如何解释3+3呢？

生24：从原点出发，向右走3个单位长度，到达3的位置；再向右走3个单位长度，到达6的位置。

师：这位同学说的非常好，大家发现他说的其实是在做什么变换？

生：平移变换。

师：既然是平移变换，那我们就要注意平移变换的3要素：起点，方向，平移距离。（师生其说）谁能试着解释一下（-3）+（-3）=-6这个算式。

生25：从原点出发，向左平移3个单位长度，到达-3的位置，接着再向左平移3个单位长度，到达-6的位置。

师：很棒！那这个算式如何描述呢？

生26：从原点出发，向左平移1个单位长度，到达-1的位置，接着再向右平移4个单位长度，到达3的位置。

师：都是加法，为什么一会向右，一会向左。

生：因为刚才加的是正数，现在加的是负数。

师：也就是加正数和加负数平移的方向不同？

生：加正数是向右平移，加负数是向左平移。

师：那减法如何解释呢？

生：可以看成是集合的拆分，也可以看成是平移变换。

师：谁能举个例子？并说明算理。

生27：比如：5-2=3，表示从原点出发，向右平移5个单位长度，到达5的位置，然后再向左平移2个单位长度，最后到达3的位置。

师：大家认同吗？

生：认同。

师：那乘法的算理如何解释？

生28：比如2×3=6，可以看成是2个3相加，也可以看成是3个2相加。

师：那怎么用数轴解释算理？

生28：如果看成是3个2相加，就是从原点出发，先向右平移2个单位长度，到达2的位置，然后再向右平移2个单位长度，到达4的位置；再向右平移2个单位长度，最后到达6的位置。也就是平移了3次。

师：很好，但是我觉得有些麻烦，如果不从连加的角度解释，还可以怎么解释？

生15：可以理解成2的3倍或者是3的2倍。

师：那这如何用数轴解释？

生：…

师：将2变成原来的3倍，像不像我们平时见的弹簧？

生：像。

师：是的。对于乘法，我们可以理解为“拉伸变换“。谁能试着解释一下？

生16：从原点出发，向右拉伸到2的位置，然后继续向右拉伸到原来的3倍，即6的位置。

师：很好，大家听出来一共拉伸了几次吗？

生：2次。

师：每一次拉伸需要注意什么地方吗？

生18：有的点是不动的。第一次拉伸，从原点开始，这个点不能动，得固定好，直接向右拉伸到2的位置；第二次拉伸，仍然是原点不动，只将2这个点向右拉伸到原来的3倍，即到6的位置。

生：哦…

师：很厉害啊！我们得给他鼓掌！拉伸变换我们一定要注意固定点不动，拉伸的方向也要一致。

师：2的3倍，首先从原点出发，直接向右拉伸到2的位置，即形成了起点在原点-终点在2的线段，2*3即固定原点位置不动，将起点在原点-终点在2的位置的线段向右拉长到原来线段长度的3倍，即6的位置。

谁再来解释一下3的2倍？

生12：首先从原点出发，直接向右拉伸到3的位置，即形成了起点在原点-终点在3的线段，2*3即固定原点位置不动，将起点在原点-终点在3的位置的线段向右拉长到原来线段长度的2倍，即6的位置。

师：那除法和乘法有关系吗？

生：互逆，除以一个数就等于乘以这个数的倒数。

师：那如何解释除法的算理？比如6÷2=3。

生13：可以用“拉缩“变换。

生：什么？

师：叫“压缩变换”，跟乘法的”拉伸变换“合起来就是“伸缩变换”。

生14：首先从原点出发，直接向右拉伸到6的位置，即形成了起点在原点-终点在6的线段，6÷2即固定原点位置不动，将起点在原点-终点在6的位置的线段向左缩短到原来线段长度的一半，即3的位置。

师：那8÷2=4如何解释？

生18：首先从原点出发，直接向右拉伸到8的位置，即形成了起点在原点-终点在8的线段，8÷2即固定原点位置不动，将起点在原点-终点在8的位置的线段向左缩短到原来线段长度的一半，即4的位置。

第三板块：基于共识，拓展延伸

师：大家提出的下面这些问题已经被我们一起解决了：

现在来看看下面这些问题，我们挑一个问题讨论，剩下的请大家课后思考

生：“为什么0不能做被除数？”可以啊。他是不是写错了

师：是的，他想问的是“为什么0不能做除数？”

生13：因为0乘以任何数都是0，所以0×5=0，0×6=0，如果0可以做除数，那么根据乘法和除法的互逆性，0÷0=5，0÷0=6，怎么会有两个答案呢，所以0不可以做除数。

师：很棒，用运算之间的关系说明了这个问题，好下课。

生：老师再见！

师：同学们再见。

课后反思：

本节课的内容较多，实际上是从数轴的地方断开按照两节课上的，在实际上课过程中，学生开学第一次做挑战单，做的非常认真，并且提出了很多有意思的话题，我们课后利用自习的时间进行了分享和讨论，孩子们在故事中体会数学的乐趣。教学中，发现对于运算中“平移变换”和“伸缩变换”的几个关键要素没有着重强调，没有点透变换的本质。这是需要下次上课注意的地方。