不等式的证明方法小结

不等式的证明，由于不等式类型繁多、覆盖面广、技巧性极强，这就需要掌握不同的证明方法和基础常用的不等式，以及扎实的数学功底和融汇交叉，创新的思维。

比较法

该方法是最基本、最重要的方法之一。主要通过判断两个量的差值的正负；或者通过确定两个量的比值与1的大小；来确定两个量的大小。

作差比较法，证明 $a^2+b^2\geq{2ab}$

证明：因为
$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq{0}$
所以命题成立。

综合法

基于已证明的不等式、常用的基础不等式、不等式的性质、其他的数学定理等知识，经过逐步的逻辑推理，一步一步的推出最终所证结论。

比如基于“算术平均大于几何平均”，证明：
$a^2+b^2+c^2\geq{ab+ac+bc}$

证明：
$a^2+b^2\geq{2ab}\\ a^2+c^2\geq{2ac}\\ b^2+c^2\geq{2bc}$
三个不等式叠加，得
$2a^2+2b^2+2c^2\geq{2ab+2ac+2bc}$
所以，命题成立。

分析法

从所证不等式出发，逐步分析所证不等式成立的充分条件，直至这个条件可以被证明或明显能成立时，断定原不等式成立。一般都是这种套路或节奏：要证，即证...。该方法思路自然，和综合法的结合也非常的自然，易于掌握，常用于含有根式等的复杂所证命题。

例如，求证： $(n!)^{\frac{1}{n}}<[(n+1)!]^{\frac{1}{n+1}}$

证明：
$\begin{aligned} \text{要证：}&(n!)^{\frac{1}{n}}<[(n+1)!]^{\frac{1}{n+1}}\\ \text{即证：}&(n!)^{n+1}<[(n+1)!]^{n}\\ \text{即证：}&(n!)^n\cdot(n!)<(n!)^n\cdot(n+1)^n\\ \text{即证：}&n!<(n+1)^n\\ \text{显然：}&n!<(n+1)^n \end{aligned}$
所以，命题成立。

放缩法

在直接证明不等式有难度时，经常借助一个或多个中间变量，达到放缩的效果，降低不等式的证明难度。放缩的策略多采用：

不等式的传递性，基础不等式；
在一些和式、积式、分式等式子中替换一些更大（更小）的项、或因子；
利用函数的有界性、单调性；
加上或减掉一些项达到放缩目的

求证：
$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1\quad(n\in{N^+})$

证明：
$\begin{aligned} \because\quad\frac{1}{k^2}&<\frac{1}{k(k-1)}\\ &=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\\ \therefore\quad\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}&<\frac{1}{1\times{2}}+\frac{1}{2\times{3}}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\times{n}}\\ &=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\\ &=1-\frac{1}{n}\\ &<1 \end{aligned}$
证毕。

归纳法

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。对于一些数列项的和或乘积等形式的不等式，可以考虑归纳法。

求证：
$\prod_{i=2}^n(1+\frac{1}{2i-1})>\frac{\sqrt{2n+1}}{2}\quad(1<n,n\in{N})$

证明：
当n=2时，命题明显成立。

设n=k时，命题成立，那么n=k+1时
$\begin{aligned} \prod_{i=2}^{k+1}(1+\frac{1}{2i-1})&>\frac{\sqrt{2k+1}}{2}(1+\frac{1}{2k+1})\\ &=\frac{\sqrt{2k+1}}{2}\cdot\frac{2k+2}{2k+1}\\ &=\frac{k+1}{\sqrt{2k+1}}\\ \end{aligned}$
而
$\begin{aligned} \frac{k+1}{\sqrt{2k+1}}-\frac{2k+3}{2}&=\frac{2k+2-\sqrt{2k+3}\cdot\sqrt{2k+1}}{2\sqrt{2k+1}}\\ &=\frac{\sqrt{4k^2+8k+4}-\sqrt{4k^2+8k+3}}{2\sqrt{2k+1}}\\ &>0 \end{aligned}$
所以
$\prod_{i=2}^n(1+\frac{1}{2i-1})>\frac{\sqrt{2n+1}}{2}\quad(1<n,n\in{N})$
成立。

换元法

换元法对结构复杂、变量较多的情况，可通过三角变换、增量换元法，将不等式进行变换，将式子转化为较为简单、或熟悉的形式。

设 $|x|<1,n>1(n\in{N})$ ，求证: $(1+x)^n+(1-x)^n\leq{2^n}$

证明：因为 $|x|<1,n>1(n\in{N})$ ，可设 $x=\cos\theta,(0\leq\theta\leq\pi)$ ，则
$\begin{aligned} \because\cos\theta&=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1\\ &=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\ \therefore(1+x)^n+(1-x)^n&=(1+\cos\theta)^n+(1-\cos\theta)^n\\ &=2^n\cos^{2n}\frac{\theta}{2}+2^n\sin^{2n}\frac{\theta}{2}\\ &=2^n(\cos^{2n}\frac{\theta}{2}+\sin^{2n}\frac{\theta}{2})\\ &\leq2^n(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2})^n\\ &=2^n \end{aligned}$
证毕。

设 $a,b,c\in{R^+},a+b+c=1$ ，求证：
$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}>2+\sqrt{5}$

证明：
可设
$\begin{aligned} \sqrt{4a+1}&=\sqrt{x^2a+2xa+1}\\ &>\sqrt{(xa+1)^2}\\ &=xa+1 \end{aligned}$
又
$4a=x^2a+2ax$
所以
$x=\sqrt{5}-1\\ \sqrt{4a+1}>(\sqrt{5}-1)a+1\\ \sqrt{4b+1}>(\sqrt{5}-1)b+1\\ \sqrt{4c+1}>(\sqrt{5}-1)c+1\\$
叠加得
$\begin{aligned} \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}&>(\sqrt{5}-1)(a+b+c)+3\\ &=2+\sqrt{5} \end{aligned}$

数形结合

利用三角形的两边和大于第三边、向量等平面几何和解析几何知识，直观的得到所证不等式。

已知 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 均为实数，求证：
$\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}\leq\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}$

证明：设O、A、B三点坐标分别为
$\begin{aligned} O&=(0,0)\\ A&=(x_1,y_1)\\ B&=(-x_2,-y_2) \end{aligned}$
所以
$\begin{aligned} \overrightarrow{OA}&=(x_1,y_1)\\ \overrightarrow{OB}&=(-x_2,-y_2)\\ \overrightarrow{BA}&=(x_1+x_2,y_1+y_2) \end{aligned}$
于是，利用三角形的两边和大于第三边，可知不等式成立；当O在A和B间的线段上时等号成立。

构造法

构造函数法：利用函数的单调性、函数的凸性等函数性质
构造方程，比如构造有实数解的一元二次方程等

求证：
$\frac{|x_1+x_2+\cdots+x_n|}{1+|x_1+x_2+\cdots+x_n|}\leq\frac{|x_1|}{1+|x_1|}+\frac{|x_2|}{1+|x_2|}+\cdots+\frac{|x_n|}{1+|x_n|}$

证明：设 $f(x)=\frac{x}{1+x}$ ，显然f(x)在x>0时，递增。
$\begin{aligned} \because\quad|x_1+x_2+\cdots+x_n|&\leq|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\ \therefore\quad{f(|x_1+x_2+\cdots+x_n|)}&\leq{}f(|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|)\\ \therefore\frac{|x_1+x_2+\cdots+x_n|}{1+|x_1+x_2+\cdots+x_n|}&\leq\frac{|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|}{1+|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|}\\ &=\frac{|x_1|}{1+|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|}+\frac{|x_2|}{1+|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|}\\ &+\cdots+\frac{|x_n|}{1+|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|}\\ &\leq\frac{|x_1|}{1+|x_1|}+\frac{|x_2|}{1+|x_2|}+\cdots+\frac{|x_n|}{1+|x_n|} \end{aligned}$
证毕。

这几种方法比较常用，不代表这些方法能有效解决所有不等式问题的论证；不等式内容非常的丰富，有时论证需要多种方法结合使用。此文只是抛砖引玉，以期望读者多多的总结、积累。

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不等式的证明方法小结

比较法

综合法

分析法

放缩法

归纳法

换元法

数形结合

构造法

这几种方法比较常用，不代表这些方法能有效解决所有不等式问题的论证；不等式内容非常的丰富，有时论证需要多种方法结合使用。此文只是抛砖引玉，以期望读者多多的总结、积累。

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