接前一篇:数学思想方法揭秘-3-3(原创)。回前言。

作者：王国波

初中题

    第9题

  解方程，求未知数x。

思维过程

道隐无名，要有反隐身能力，善于发现隐藏的事物、隐藏的关系、隐藏的规律、隐藏的条件：敏锐的观察能力加上联结组合意识，5-根号24与5+根号24对偶，由对偶特征联想到有理化和平方差，显然(5-根号24)*(5+根号24)=1，也就是这题隐藏着倒数关系。化隐为显，把隐藏的关系表达出来，此处我们把这种关系用倒数关系来表达。且5-根号24 开方可化简为根号3-根号2；5+根号24开方= 根3+根2。这些是我们的观察成果，要利用好这些成果来解题，不能轻易丢弃它们，在日常生活中，我们一般是因势利导，顺水推舟，根据人和事物的特点特性性质来合理使用来扬长避短，在解题中也是这样，对已知条件和发现的特点，特征、关系、规律要善于加以合理利用。

这些都是观察发现的题目中隐藏的数学对象之间的横向联系和特点、特征、规律，另外还要注意找出数学题中对象之间的纵向联系，也就是前后或上下之间的联系。举个非常简单的例子，例如对如下的二元一次方程组:

        7a + 4b = 13

        5a -  4b =  11

    我们观察发现这两个方程(数学对象)之间的纵向联系、特点：这个纵向特点就是b的系数是相反数，如何利用这个特点来解题？很显然我们将这两个方程相加来消除b，很快可求出a。

    观察是有目的、有计划的知觉活动。观察，不只是观，不只是从事物表面上看看听听而已，不只是被动的感觉，如果只是观，那就是有眼无珠、熟视无睹，浮光掠影，还要察，要积极主动地深入分析思考，例如分析推理、分类、识别、联想、类比等思维活动。例如在这题中，我们通过观察，发现了题目中的倒数关系。

  除了题目中的横向、纵向联系，其实联系是立体的多维度多层次的，还存在问题和知识点之间的联系，问题和其他问题之间的联系。在数学解题中要能体会到辩证法的巨大指导作用：普遍联系的观点，矛盾观点等。

    但难题中通常都是存在矛盾的（辩证法中的矛盾，不是逻辑矛盾），这些矛盾会阻碍我们轻易利用已知条件、特点、特征、熟悉的知识点。难题中的矛盾描述一般类似如下：

    我想运用一些熟悉的知识点和解题方法、经验、已知条件、题目特点、特征来解题，但题目中却存在一些障碍因素和约束条件来阻碍我们，导致我们不能直接运用这些知识点、已知条件、题目特点、特征。

    对题目中的关系、特征、特点、规律、性质、线索，不管是已知条件中的，还是通过后续的观察发现的，或推理发现的，都要想办法利用好它们。如何才能想出办法来利用好它们？通常要结合题目的目标(需要证明什么、需要求什么)，运用数学思想方法和学过的知识点以及一些低层次的解题方法、数学方法来利用好它们。为何要结合题目的目标，要有的放矢，思维不能天马行空过于发散，因为可能有多种方法来利用这些关系、特征、规律、性质，如果我们结合题目的目标，就可进行比较权衡，可能会排除掉一些不合适的或非最优的方法，得到合适的方法。

  例如求下图中函数的最小和最大值。

观察这个函数，能发现什么关系、特征、规律？

显然可发现右边两个根号式中的4-2x和2x+5这两项相加为9，是一个常数。这个就是我们观察发现的题目中隐藏的特征、关系、规律。这个特征、关系看起来微不足道，和警察通过发现的蛛丝马迹断案一样，要见微知著，要利用好这些关系来解题。

此时要反问自己如何才能利用好这个关系、特征。

题目中是两个根号项相加，不好直接利用发现的关系，要利用好，须想法去掉根号，所以接下来要思考怎样才能去掉根号？

联想到根号知识点和平方，就想到要运用平方去掉根号。平方法是学过的低层次的解题方法和数学方法。

其实求这个函数最小最大值的题，我们在上面的分析中使用的是辩证法中的矛盾分析法：识别出(找出)问题中的矛盾，特别是主要关键矛盾和矛盾的主要方面，题目中的有利因素/条件以及不利因素/条件(利与弊、便利与麻烦)，主要矛盾和不利因素在解题中就是难点的制造者和根源，就是问题的死结，就是它阻碍我们顺利解题。这些矛盾、难点、死结很可能就是我们要想法迈过去的坎，是我们要关注的解题突破口和行动策略行动方向的着力点。分析这些矛盾、难点、死结，再想法来解决矛盾，来转化矛盾，来打开死结，来最终确定解题突破口和解题策略从而解决难点。注意辩证法中的矛盾是指对立不统一，不是逻辑矛盾。数学题中的已知条件(题设)和结论就是一对矛盾，它们存在内在联系，但它们从表面上看不统一，存在差异，差异就是矛盾。另外多个已知条件(解题过程中得出的一些中间结论和中间结果也可认为是已知条件)之间也可能存在矛盾。对这道函数最值题，我们进行观察、分析、比较，找差异，差异就是矛盾。矛盾1：已知条件就是问题现状，这题就是两个根号相加，这个是矛盾的一个方面;要求最值，这是矛盾的第二个方面，它们存在对立存在差异存在冲突，根号阻碍了求最值，根号就是弊，不利的因素，麻烦制造者，增加了题目的难度，也就是这些根号的存在导致不便于求最值，这就是辨证法中的矛盾，由于矛盾的对立，导致出现解题困难，产生了所谓的难题；矛盾二：根号中的两项相加为常数9(矛盾的一个方面，相加为常数9也是在题目中隐藏的特征和关系，我们观察发现的成果)，显然，如果能运用这个特征来解题那就完美了，这个特征就是题目中的利好，有利的因素。但所谓的难题就是出题人人为制造冲突，制造不统一，存在矛盾从而使问题复杂化：这两项却在根号中(矛盾的另一方面)，导致不好直接运用这个特征来解题，也就是矛盾双方存在对立冲突，无法统一。此时就看我们解决矛盾转化矛盾的能力和艺术：分析矛盾的两个方面，进行比较，找差距，找出制造矛盾的不利因素，再想法利用熟悉的知识点并结合已知条件、规律、关系、特点、特征等来转化矛盾，来消除障碍和不利因素，来转化问题，来想法缩小差距，缩小鸿沟，跨过鸿沟。

此题我们想到了用平方法这个知识点来去掉根号，消除这个解题障碍，利用好观察发现的成果和题目特征，来解决矛盾，来转化矛盾，来缩小差距。运用平方法，两边平方，如下图。

平方之后，问题最终转化为求二次函数(4-2x)(2x+5)的最小最大值(自变量范围为:-2.5<= x <=2)。这个二次函数的最值问题是熟悉的。如上图，显然该二次函数的最小值为0，最大值在x= -1/4时取得。在此基础上，显然可得出y的最值。

反问自己如何才能利用好题目中的关系、规律、特征、性质、解题线索，此时一般要结合矛盾分析法分析问题中的矛盾和差距，想法利用好这些关系、规律、特征来转化矛盾，来缩小差距，是一个很重要的题解技巧和解题经验。在后面的解题中也有体现，例如第13题、14、17题。特别是在解题碰壁和尝试失败之后，要这样反问反省，要反问是否还有关系、规律、特征没有被发现、没有被利用(没有被用足，遗漏了一些关系、规律、特征)、没有被利用好，有时要反省失败的解题方法有啥问题，后面的新方法才能避免重蹈覆辙。

回到本题，在第一篇文章中提到过要把观察发现的东西用数学语言表达出来写在纸上，如下图第一行，我们就把发现的两项相乘等于1表达出来了，这样就变成了已知条件和已知信息。接下来要考虑如何利用好倒数关系？那就用整体思想进行代换，利用好发现的倒数关系，如下图。 

另一种解法：这题观察发现两个数相乘等于1之后，结合题目已知条件:两数相加等于4,联想到一元二次方程韦达定理，构造出一元二次方程，其根为1和1/3,最后也能解出x。

总结：通过敏锐的观察能力发现其中的规律、特征、性质、关系，再想法利用好这些规律特征，一般要结合矛盾分析法来激发自己的思维。

  一定要培养观察能力。 学数学要在做题中解决数学问题中悟道，体验思维之美和思想之美。在数学这个学科真悟道而不只是数学考试成绩好的人一般具有敏锐的观察、丰富的联想类比、灵活的构思、创造性思维的能力。

第10题

  函数的最大最小值分别为6和2，系数a、b为实数，求系数a、b。

思维过程

  这道题开始还真没啥多想的，很自然地进行等式变形。题目等式右边的分子分母都有变量x，不好处理，难以求出y的最大最小值，也不能变成只有分母或分子中有变量x的形式，既然不好处理，那就要变，要灵活，思维要转弯，不能死守着这个不好处理的等式坐在那里傻眼。具体如何变？对这道题，就是等式变形，换一种形式说不定就好处理了。

  很自然地进行如下图所示的变形。

上图中的不等式 -8y平方+(24+8a)y+b平方-24a >=0,你画出左边对应的抛物线结合题目已知条件(y的最大值6，最小值2)，观察这个抛物线图就马上知道2和6是这个抛物线方程的两个根，这个也是数形结合形象思维的妙用。

  转化变形成一元二次方程，马上联想到初中的一元二次方程有实数解的条件，也就是判别式delta要大于等于0。再联想初中的韦达定理。

  第11题

  如下图，一个二维长方形纸片，在纸片的任意位置任意方向挖一个任意大小的长方形洞，用一只笔、一把直尺、一把剪刀把剩余的纸片一刀一条直线分成面积相等的两半。

这是一道智力题，也是蛮好的考数学思想方法的题。是我在杭州某公司面试时碰到的几道智力题之一，当时智力题都做对了，也讲出了自己的思考过程。我后来拿来面试过10多个人，居然没人能做出来，思考过程没谱不着边际，有211大学的，有在美国知名大学念数学和计算机专业的。

思维过程

看到这题，马上联想到初中物理中的重心概念和找重心的方法。一条直线联想到几何中的两点确定一条直线。结合重心概念和两点确定一条直线，就要找出两个点，特殊点？重心？看图观察，立即猜想到分别是两个矩形对角线的交点，这两个点确定一条直线。再用逻辑推理验证或证明确认下，矩形对角线交点是重心也是对称中心。

踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫，思路对真的很快。数学思想方法就是一层窗户纸，明眼人轻轻点破，没啥神秘的。

面试中，很多人说要用尺把两个矩形的边长量出来，假设面积分别是a、b。然后想法把矩形剩余部分切出(a-b)/2,这个想法一看就不是通用的，在洞很小时或靠大矩形的一侧时，才可能切出面积为(a-b)/2的矩形。这种思维没有质疑验证的习惯，挖个非常大的洞，并且还是倾斜的，就知道不可行，题目中尺子没说有刻度，怎么量。

还有的说多次切分，调整逼近。

数学思维是塑造人的思维品质：思维严谨缜密、思维灵活性、系统性思维、考虑问题全面、批判（质疑）精神。我们的教育在这方面是失败的。

总结：联想、类比、猜想&验证确认&证明猜想

第12题

这题x为自变量，k为系数。

思维过程

  首先按x的区间进行分类讨论。

  第一种情况，当x <= 1/2时

  第二种情况，当1/2 < x < 1时

第三种情况，当1 <= x < 3时

第四种情况，当x >= 3时

如下图。

总结：分类、因果关系思想/深入挖掘和推敲隐含的必要条件、形象思维(通过数轴合并值域时运用到)。

第13题

如下图。ABCD是边长为2的正方形，E、F分别为中点，求四边形DEGH面积。

初中数学少不了几何题，如何求解几何题，如何加辅助线，在哪加辅助线，也应该有思想方法来指导。这题不难，不加辅助线就可解出来，不过也可添加辅助线来解，这里就用加辅助线的解法来说明如何加辅助线和它背后的数学思想方法。

关于几何部分，在讲述上重复的地方较多，需要耐心多读几遍，有空重新整理下文字描述。

思维过程

解几何题，特别是觉的没头绪的难题，仍然要综合运用各种数学思想方法，例如：

观察&形象思维&数形结合：必不可少的肯定是要敏锐地观察。结合题目文本形式的已知条件，提取文本中的关键信息，例如几何对象类型(例如三角形、矩形)，线段长度、位置关系和各种数量和数量关系、各种特征：中点、直角、相切等，观察图形特点特征，例如图形结构、几何图形元素的位置关系、各几何元素的方向朝向、数量的的各种关系、把几何题中的已知条件和发现的特征、关系转化成公式、方程、等式、坐标等进行数量上的计算。除了数值计算，另一点当然就是关注形，广义上就是形象思维，观察几何图形，发现图形中的特征，运用直观想象能力，有些题就很快知道如何作辅助线了，或试着作辅助线后继续观察，思路和想法就逐步清晰完整了。这些方法是有机结合的，通常没有严格的界限，例如在观察时就已经在根据已知条件、结论和观察出的信息，结合其他方法在进行思考，例如结合联想、分析与综合进行思考，例如找各种数量上的相等关系、相似关系、全等关系。对几何题运用数形结合，一般涉及到计算和解方程，所以方程思想甚至是函数思想在几何题中通常都会运用到。

分析与综合：熟知的常用方法。但我们通常所学的分析法却不知道要结合辩证法中的矛盾分析法，对辩证法的的矛盾观视而不见，本系列引入了矛盾分析法来通过分析来识别和凸显数学题中的矛盾。

联想：特别是基于特征的联想，观察图形结构，基于几何题中图形的整体和局部的结构特征、数量关系特征、数值特征、结论上的特征等进行联想。回忆联想起对应的几何定理等知识点、几何构造形(几何模型)等。

关系思想：找关系，找出题目中的明显的或隐藏的关系(例如相等关系、全等关系、相似关系、成比例关系、倍数关系等等，还有很多，例如根据勾股定理来列等式或方程也是直角三角形的三条边之间存在平方和等于斜边平方的关系)、创造关系(如构造全等关系、构造相等关系、构造相似关系等)、改善关系、转化关系，利用题中的关系来进行转化和运算，例如三角形相似关系，把关系用等式、方程、函数等形式表示出来。作辅助线和几何变换来改善关系、沟通关系、凸显关系、创造新关系。在分析和推理过程中随时都要利用关系来不断地转化问题，不断地延伸和推进从起点(已知条件)到终点(结论)解题通路(也可能是终点到起点)，例如运用相等关系，比例关系或其他关系。

分析法综合法：这个一般都有运用，此处强调要运用矛盾分析法。

合理大胆地设想&猜想&想象：基于题设(已知条件)、结论具有的特征，在运用矛盾分析法基础上，顺应题目已知条件和结论(证明题中的结论也相当于已知条件)，设想可能的理想的合理的解题途径和中途点状态。 这个在帮助我们探索如何做辅助线和几何变换很有作用。

反思：结合其他思想方法，例如矛盾分析法、合理设想等，反问自己是否利用好了已知条件和结论；是否能直接利用它们；如果不能直接利用，需要创造什么条件来便于利用它们，通常是作辅助线和几何变换来改造几何图形的结构来创造条件。如果当前方法解题受阻时，反思当前的方法特点是什么，如何调整它来做出改变来找出新方法。

构造法：根据需要构造的图形，作辅助线和几何变换(旋转、平移、反射等)对几何图形进行改造或构造出新的几何结构或几何构造形。

整体思想：要有大局观和整体观念，从残缺不全的几何图形结构见微知著(从部分到整体，从小见大)地联想想象出完整的几何图形，作辅助线或几何变换来把图形补全补完整。

转化：这个绝对不可缺少，对条件和结论的转化变换，对几何对象的结构、位置、方向朝向、关系的转化变换。对图形进行切割作辅助线就体现了转化思想。

局部调整：例如对几何中的多动点最值问题，我们可以固定其余的动点，只让一个动点变化，分析得出取最值的必要条件。

不限于这些思想方法，很多情况下也应用到比较、方程思想、函数思想、递归递推等。

几何对象就是几何中的点、线、面、三角形、长方形、多边形、圆、角等几何元素，它们可构成更复杂的几何对象，每个几何对象都有数和形，例如线段有长度有形状，几何对象之间存在位置关系和数量关系。

首先要介绍下有难度的几何题，它之所以难的根源。我们知道生物学上有个说法是结构决定功能，要具有怎样的功能，就要具有相应的结构，两者要对应要匹配。每道几何题通常都包括数与形两方面，有难度的几何题，其难度都来自于这两个方面以及这两方面的综合。几何题的数就是几何对象的属性值和属性之间的数量关系，例如线段长度数值。几何题的形就是几何结构（几何图形的组成对象和对象之间的位置关系）应该是包含几何图形中的各种几何元素的位置、方向朝向、几何元素相互之间的各种位置关系。几何题的结论要成立或便于解题，可能就要求几何图形的结构要是怎样怎样的，也就是对结构长啥样有要求，但出题人要提高题目难度，就故意扭曲这种结构，故意制造几何结构和结论之间的矛盾，也就是不一致不对应，此时解题者就要识别出不一致，想办法对这些不一致的地方进行改造。这种不对应，一般是几何题的图形格局不好，例如图形残缺不完整，或几何对象之间位置上相距较远或朝向不协调导致几何对象在位置关系上不密切不和谐，不便于沟通合作，或方向朝向上不协调，例如一条线段朝东，一个朝北，是背向的，或结构上不适应结论。几何题结论（含有数与关系)与几何图形在形上的关系就类似于生物学中功能和结构的关系。总之几何题的难度一般来自于几何结构、几何位置、方向朝向、数与形、关系与形、关系之间、已知条件与结论之间的各种矛盾和不协调，不合理，各种背向。

我们解几何难题就要识别出这些矛盾，来想法化解这些矛盾，想法改善和转化矛盾，想法牵线搭桥，想法移形变位：移位置、调方向、改结构、调关系改善关系转化关系。

解几何题，要化解如上的矛盾，通常离不开加辅助线和几何变换(平移、对称、旋转、位似等等)，如何加辅助线和如何进行几何变换，是个学问。 也就是辅助线和几何变换不是凭空就产生的，是因为有移位置、调关系、调方向、改结构的需求才产生的。

如何作辅助线和几何变换，离不开上面的需求，离不开综合运用数学思想方法，下面会讲解作辅助线和几何变换的方法论。

首先说明为何要加辅助线和几何变换，是因为几何体中的已知条件之间的关系或和已知条件与结论之间的关系不直接或不顺畅。具体表现就是原几何题的几何结构，图形的格局(形式局势、位置关系)不好，隐去了一些东西(图形结构残缺不全，类似缺胳膊少腿，或处于混沌原始未开垦状态，或未发育成熟状态，该有的没有)或结构上或位置关系上比较分散(例如两条线段相距较远不在一起或关系松散)或结构关系扭曲变形，方向朝向上不协调，感觉比较别扭，不和谐不合理，这些都会造成已知条件到结论之间存在较大鸿沟和差异(鸿沟和差异就是辩证法中的矛盾)，导致我们学过的知识点或经验不容易和题目匹配对应上，不便于我们利用先前学过的知识点和经验，心理上感觉自己被钳制住了，已有的知识点使不上劲，有点梗阻，解题思路受阻。图形局势不好就是条件不好，条件不成熟，环境不好。没有条件或条件不成熟就要创造条件：加辅助线和几何变换来创造条件，改造几何格局，对鸿沟牵线搭桥，辅助线和几何变换就是沟通题设(已知条件)和结论的桥梁纽带，化解矛盾转化矛盾改造局势的太极推手。

  桥梁用来有效沟通两地交通，类似地，辅助线也是起到桥梁和媒介的作用，用来沟通已知条件之间的关系以及已知条件与结论之间的关系。具体而言，辅助线和几何变换作为桥梁，有两个作用，第一个是通过加辅助线和变换，改造出构造出熟悉的(学过的或好处理的)几何构造形(几何模型)，借此改变原题的图形格局/结构，消除思维梗阻点。第二个是重组整合、转化调整。原题中的各种已知条件、结论、各种几何结构关系、位置关系、数量关系不好处理，或感觉几何题中数学对象(例如线段)之间虽然存在关系，但比较疏远不融洽，缺少相互呼应相互唱和或比较生硬别扭(物理上或逻辑上，例如几个几何对象在物理距离上相距较远，存在鸿沟)或零散，不好利用或不好沟通，或感觉几何体中的数学对象之间是相对孤立零散的，不协调，一盘散沙合不起来，相互之间没有亲和力，没有形成解题合力。这些都是导致已有的知识点和经验使不上劲，解题举步维艰，不好推进。通过观察和分析识别出这些通过加辅助线和几何变换进行牵线搭桥之后，产生新的几何图形结构，新的几何构造形。在新的几何构造形中对这些已知条件、结构、位置、方向朝向、关系进行了重构重组和新的整合调整，产生了新的关系和结构或拉近了先前疏远生硬的关系(例如把先前相距较远的对象或其替身拉近，聚拢集中在一起)使它变密切变顺畅或在它基础上衍生出新的便于沟通便于利用的亲密关系。这样整合之后，变得好处理了，容易下手了，知识点能利用上去了。另外通过这样的改造，对要证明的结论或要求的答案结果也可能进行了转化，例如原来是求A线段的值，现在可以转化成求B线段(这个相对容易)，因为整合之后，A线段和B线段有数量关系(相等或有其他数量关系）。

几何构造形就是几何定理对应的几何图形和熟悉的好处理的几何图形，例如下图中的平行线分线段成比例定理对应的几何构造形(几何模型)，我们可借助这些几何构造形蕴含的知识点(几何定理和关系)来解题。 

这个加辅助线和几何变换，要分析&研判题目的局势，找出症结和梗阻点。有点像看风水，要有全局观，要能画龙点睛，找穴点穴。加了辅助线，格局立马变活了变畅通了。或者说在一块贫瘠的土地上，进行土壤改造，土壤条件变好了才能长出好的庄稼。

解几何题卡壳时，要试着加辅助线。如何作辅助线，有的书总结了一些方法低层次的低级的具体套路、模式、口诀、经验，各种割补法，例如倍延中线(将三角形中线延长一倍，再和一个或两个三角形顶点相连)，直角三角形要连斜边中线，要关注斜边中线。这些口诀和讨论都很不错，前面的博文提到过，但这些不是高层次的思想方法论。学生看了这些书，只是死记硬背地记住了如何作辅助线，但为何这样作，这样作是如何推导出来的，大多不清楚，也就是不知其所以然，碰到新题可能就傻眼了，套路口诀越低级，适用面就越小越机械呆板，我们要悟大道，要有方法论和解题智慧和思考问题的智慧。这些口诀和套路其实大多是基于几何对象和几何图形的特征来作的，例如中点就是一个特征点，相切也是一个特征，对应这样的特征作出相应的辅助线之后，就能用上一些几何性质和几何定理，就能较好地沟通已知条件和结论的关系进而达到转化问题的目的。

  下面讲解总结出来的作辅助线和几何变换的经验。

首先，对一道觉得棘手的几何题，可能并不需要加辅助线就可较快做出来也就是别一上来就想作辅助线或几何变换，除了仔细审题，要先观察评估图形结构格局。如何从思想方法和实作层面把辅助线和几何变换推理出来或高效试探出，首先观察图形，先识别判断图形中哪个部位的构造格局不好，导致已知条件不好利用、导致关系不好利用，或导致结论不好求解。要对题目中几何图形构造格局的好和不好有感觉，要对局势敏感，钳制住我们思维的地方和我们的知识点掌控不了的地方就是不好的，要改造的。几何图形格局不好的部位就类似人身体中的病灶部位，要识别出病灶在哪之后动手术动刀，我们发现几何图形格局不好的地方后，再想法改造这个格局，如何改造一般是加辅助线或几何变换。

我觉得如何作辅助线和几何变换还是离不开先前说的数学思想方法论和解题策略，把先前的思想方法论分成两套指导思想来指导如何添加辅助线和几何变换。

第一套是基于特征联想、矛盾分析法、合理设想&直观想象为主干的方法：观察题目的几何图形结构，对题目中的结构特征、位置特征、关系特征、数字特征、结论特征做矛盾分析找出题目中已知条件之间的矛盾以及已知条件和结论的矛盾，理想和题目现实的矛盾，结合已有的知识点和经验，运用联想、类比、逆向思维、转化、合理设想、逻辑推理(分析法和综合法)、关系、比较等数学思想方法。借助这些方法来推理出如何作辅助线或几何变换或找出熟悉的几何构造形或几何变换。这里强调下要注重基于联想(特别是基于特征的联想、见微知著的联想，用来对付残缺的几何图形)和合理设想&直观想象，马上就会看到它们具体运用。矛盾就是差异，把这些熟悉的几何构造形、几何变换和题目的几何图形进行对比，就知道题目图形还缺少啥线段(不一定是直线)，就知道如何加辅助线或几何变换了：缺啥补啥，在题目图形中补上缺少的线段，把差异补齐，这就是辅助线，其实这也表现为构造法思想。

通过联想、类比、矛盾分析、关系思想(找关系、创造关系、改善关系、转化关系)、合理设想来作辅助线和几何变换，例如题目中说两个圆相切这个特征，我们就联想到两圆相切，有切线和半径垂直于切线的图形，这就是熟悉的几何构造形。题目中的三角形出现中线，我们一般延长会将中线延长一倍，有时也会取另一条边的中点，形成中位线。出现直角三角形，我们一般会考虑斜边上的中线。这些都是基于图形性质特征的联想，很多几何参考书上都总结出了如何基于性质特征作辅助线的口诀和套路，作辅助线时可以优先按这些口诀来对症下药。但这样生搬硬套有时不一定管用，所以我们要结合类比、矛盾分析、转化、关系思想、合理设想等来具体问题具体分析，从而作出合适的辅助线。

几何中的很多知识点，例如几何定理都有对应的/关联的几何构造形，就是几何知识点(几何定理)对应的几何图形，这些几何构造形(图形结构)是我们所熟悉的。我们用联想类比出来的熟悉的/学过的几何构造形去改造题目中格局不好的地方/部位，用这个熟悉的构造型和题目原图中格局不好的部位比较，有比较就知道差异和不足，然后想办法弥补缩小差异，缺哪条线就加上哪条线，缺啥补啥。这样通过联想类比和比较之后，添加辅助线，就将不熟悉/不好处理的部位转化成熟悉/好处理的几何构造形。比较是一种很重要的思想方法，日常生活中我们经常用到比较，货比三家，有比较就知道差异在哪，也就知道下一步的目标和方向。有些数学题，把结论或要求的答案和已知条件进行比较，也就是把目标和现状(题目的已知条件和已知状态)进行比较对比找差异之后，很容易就知道下一步的行动方向，知道如何做了，就知道如何采取行动来缩小差距了。有时结合因果关系/充要条件结合逆向思维进行分析和综合，进行推理。基于特征的联想来作辅助线，一般有两个看上去有些相反的方式，一个是顺应题目中的特征(位置关系、数量关系、几何结构、已知条件、结论)，顺势而为来作辅助线，另一个是为了改造重组题目中的特征(不理想的位置关系、数量关系、几何结构、已知条件、结论)来作辅助线和几何变换。第一种方式是针对顺手的特征，一般可以直接利用，对不理想的特征，一般不能直接利用，需要改造和转化之后再利用。

第二套是实验法探索加逆向思维，反思反省。这种思想的具体运用举例：a)从题目要证明的结论或要求的结果入手运用分析法(分析法一定程度上是逆向思维，通过因果关系、充要条件、等价变形等来从结论反推)，结合题目特点，通过直观设想和经验&口诀来探索添加辅助线，例如要证明A线段长度等于B线段和C线段之和，那我们就设想延长B线段，产生一条新的长度等于C的线段，再设法证明由这两条线段拼接而成的线段等于A线段，或在A线段上截取B线段的长度，再证明剩余线段长度等于C线段；b）对自己提问，反问自己，质疑自己：是否利用好了已知条件等解题线索、是否联想到了和题目有关系的知识点并加以利用、如何才能利用好题目中的已知条件、现在的方法有啥不足和特点，在分析现有方法的不足和特点的基础上如何调整或彻底否定现有的方法打破思维定式。通过这样反思反问，就能激发自己思考，就可能想出合适的辅助线。

例如有如下的一道简单的几何证明题：

我们就用这道题来讲述如何运用数学思想方法(联想、矛盾分析法、合理设想想象、数形结合&计算、关系、构造)来证明这道几何题，来演示怎么高效推导出作辅助线和几何变换，而不是靠那些低级的辅助线口诀和套路。

方法1：

观察几何图形特征，例如90度等腰，结论中的特征：几个边长的平方，以及有边长的平方和。结合这些特征，很容易想到用勾股定理，但AD不是斜边也不是直角边，也就是它不是图中某个直角三角形的边，这就是运用矛盾分析法找出的良好的理想与现实的矛盾，题设和结论的矛盾。BD、CD是同一条直线，它们的平方法和不能够直接对应某个直角三角形两条直角边的平方和。这些都是矛盾，就是不尽人意的地方，格局不好的地方，妨碍我们解题的地方。

我们通过观察和矛盾分析法找出矛盾后，接下来就要想法化解题目中的矛盾或转化矛盾。

基于这道题的特征，我们可以合理设想AD是某个直角三角形的斜边就好了，眼睛要观察图形特征，角BAC为直角，对照几何图形，我们自然就能想到要作辅助线DE垂直AB于E，构造出直角三角形ADE。这样作了辅助线之后，继续观察改造之后的图形局势，在脑子中感觉评估，推理走几步，BD的平方也有了着落和对应，它是直角三角形BDE的斜边。类似，我们容易想到作辅助线DF垂直AC于F。如下图，这样作辅助线，构造出熟悉的几何构造形就化解了矛盾。

根据已知条件中的等腰直角，我们很容易得出如下相等关系：

BE=DE；AE=DF=FC，这样作辅助线DF之后，通过AE=DF的相等关系传递，拉近了AE和CD的关系，沟通了它们的关系，也凸显出它们之间先前隐蔽的关系：AE和CD离的远，但AE的替身或等价物DF和CD靠的近，关系密切就便于沟通便于解题，这不就是用辅助线来'拉关系'吗，这不就类似日常生活中拉关系走关系，这不正说明道在日用！此外添加辅助线之后，可发现图形中出现了平行线特征和平行线分线段成比例的关系或相似关系，不过这些比例关系解题用不着。

显然基于这道题的几何结构特征和数量关系特征，这题中的各个线段的边长都能用AB和BE的长度来表示(最小维度思想，此题中计算线段长度需且只需知道AB、BE两条线段的长度即可，类似充要条件)。为了表达的简洁，我们设AB长度为a，BE长度为b，则AE= a-b。

根据勾股定理：斜边AD平方=AE平方+DE平方 = b平方+(a-b) 平方；

BD平方=BE平方+DE平方=2*b平方

CD平方=DF平方+FC平方=2*(a-b)平方

基于上面的3个等式，很容易推出：BD平方+CD平方= 2*b平方+ 2*(a-b)平方 = 2*AD平方。

方法1运用到的数学思想方法：基于特征的联想、矛盾分析法、合理设想、关系思想、构造、数形结合进行计算。

方法2

基于题目几何特征，和结论中的特征：2*AD的平方，BD平方+CD平方。看到BD平方+CD平方，我们联想和设想它们是某个直角三角形两条直角边平方和就好了(这是理想和如意算盘)，但现实是BD和CD是同一条直线，它们不是两条直角边的关系。看到2*AD平方，联想和设想有个直角三角形斜边为根号2*AD就好了，但这个也不是现实，另外看到2这个数字特征，也能联想和设想如果有个边长为AD的等腰直角三角形就好了(这样勾股定理两条直角边平方和就是2倍AD平方)，现实也不是这样，图中没有这些。这就是理想和现实的矛盾，题设(已知条件、现状)和结论的矛盾。存在矛盾也就意味着这个题的几何格局不好，矛盾越多越大一般也意味着题目越难，这是出题人故意制造的矛盾，就考我们化解矛盾的能力你。我们要通过加辅助线和几何变换来对这些不好的格局进行改造和转化，来消除矛盾来转化矛盾，在数学思想方法的指导下无中生有，来牵线搭桥转化矛盾，调和关系和矛盾。

既然BD平方+CD平方不能直接对应某个直角三角形的两条直角边平方和，那我们就间接地侧面地来对应，间接进行数量上的等值转化。对2*AD平方，构造出根号2*AD的直角边感觉比较麻烦，我们设想为转化构造一个等腰直角三角形(直角边长度为AD)，题目中已经有条边为AD，很自然就想到要以这条边为基础，作出另一条直角边，这条边和AD垂直于A点。基于AB=AC，我们用几何变换中的旋转变换来表达对图形格局的改造：将三角形ABD绕A点逆时针旋转90度，AB边旋转到AC，D点旋转到E点，如下图。旋转之后可得出：AD=AE，AD垂直于AE，三角形ADE为等腰直角三角形；BD=CE，角ABD=角ACE，这样很容易得出角DCE为直角，也就是三角形DCE为直角三角形。

可见经过旋转变换后，DE的平方=AD平方+AE平方=2*AD平方；BD平方+CD平方也转化为CE平方+CD平方=DE的平方，原题得证：2*AD平方=BD平方+CD平方。可见原题中BD平方+CD平方这种不好表达的平方和关系和BD、CD这种直线关系，我们通过旋转，对关系进行重组整合，改造调整为三角形DCE中的关系，改造为CE平方+DC平方；对2*AD平方，我们改造为三角形ADE中的关系，改造为AD平方+AE平方。也可以看出通过几何变换，我们可以在空间上对结构格局、关系结构进行改造调整和重组整合，在空间上进行腾挪。

方法3

不用辅助线，联想到正弦定理，角B和角C均为45度；角BAD和角DAC为互余关系，所以这两个角的正弦平方和为1。对两个三角形ABD、ACD运用正弦定理很容易证明结论。

方法4

不用辅助线，坐标法。以A点为原点，两条直角边为X轴和Y轴，设直角边长度为a。斜边bc直线方程斜率为-1，截距为a，方程为y=-x+a。则D点坐标为(x0,-x0+a)，B点坐标(a,0)，C点(0,a)。根据两点间距离公式计算出这三条线段的平方，其余省略。

从这个一题多解应该可以得出：对大多数几何题运用数学思想方法，例如运用联想特别是特征联想(基于已知条件和结论中的数字特征例如这题中的2AD平方中的2、结构特征，例如这题中的等腰直角、BD和CD是同一条直线、题设和结论中的关系结构特征，例如结论中的BD平方+CD平方这种平方和关系结构)，矛盾分析(找出理想和现实的矛盾、题设与结论的矛盾，再次强调此处的矛盾是辩证法中的矛盾，是可以调和，可以间接化解，可以转化的矛盾，不是逻辑矛盾，不是非此即彼的矛盾，不是反证法中的矛盾)、合理设想&猜想&想象、关系思想、数形结合(4个方法中均有计算，方法3和4纯计算)等思想方法，是可以推导出如何作辅助线和几何变换的，辅助线和几何变换不是神来之笔。同时从上面的方法1和2的解题过程也可以看出，如何作辅助线和几何变换并不是完全用严格的逻辑推导出来的，还是有些设想想象猜想和非逻辑的非理性的直觉和经验因素在里面，另外受限于个体的经验、能力、身体状况等因素，有时我们并不能很顺利地作出正确的辅助线和几何变换，所以我们还要用实验法试探和反思，在草稿纸上多画一画，边画边观察(形象思维)和推理，不断变换思路尝试，不断进行反省调整。

基于特征的联想和设想猜想，这里再提及下，几何和代数题中都广泛运用基于题设和结论中的结构特征、关系特征、数字特征的联想和合理设想猜想。例如基于数值特征的联想，看到30度角和45度这些特殊角度会想到什么，或会设想作出什么样的辅助线。看到15度角会作出什么辅助线？这里没有对所有题都合适的标准答案，只是为了提醒要对基于特征联想的内涵外延和实践多关注多体会总结。

回到这道题上，观察题目的图形格局，结合这两套思维方法，指导我们我们添加辅助线和几何变换。如下图，加辅助线或几何变换之后，能用上熟悉的几何定理等知识点了，也盘活了已知条件，感觉几何题图形的形势格局变活了，矛盾化解了，变顺畅了，思路走通了，梗阻点消失了，已知条件和知识点能用上去了能发挥作用了。这里的已知条件利用好能发挥作用的评判标准通常是指通过这些已知条件能推导出过更多的新东西或结论或关系，再通过这些东西推导出后续的更多新东西，好像雪球越滚越大，繁殖出越来越多的信息，越来越逼近/接近解题目标，而在没加辅助线之前，这些已知条件几乎发挥不了多少作用，也就是通过这些已知条件推导不出多少新的东西。

如上图，观察->审查分析题目中几何图形的结构格局，眼睛要亮，找出格局不好的地方，联想类比出学过的熟悉的几何构造形或熟悉知识点对应的几何构造形，例如在大脑中回想起上图中部左侧的平行线构造型,这个平行线构造是学过的。熟练了,凭感觉直觉就能很快知道在哪里加什么样的辅助线，快到感觉不到这个思维过程。

如上图加辅助线改造格局，就是把不好的部位改造成我们熟悉的几何构造形，这样就能用上这些熟悉构造型对应的几何定理知识点了。F是CD中点，AD平行于BC(BI)这些条件现在变活了，能使上劲了，也就是能充分发挥它们的作用，通过这些已知条件，又能联想派生出更多熟悉的知识点，推导出更多的信息，思路顺畅了，这样才算把这些已知条件用好。

DEGH四边形不规则，不好直接求面积，那就变为用间接方式，转化成容易的，好处理的，用三角形ADH面积减去三角形AEG的面积，这两个三角形面积比较容易求出来；也可把DEGH分割成两个三角形，分别求出这两个三角形的面积，评估判断这种方法，似乎麻烦一些，放弃这种方法，这是权衡比较之后做出的取舍选择。直接不行就间接，这个解题策略先前在辩证法矛盾观中提到过。后面的已经很简单，解题方法已经很明朗了，跃然纸上，现在问题转化成求三角形ADH和AEG的面积，观察现在的图形格局，结合已知条件和知识点/经验进行分析综合可知：求三角形AEG的面积，ABE的面积很容易求出来，它的两直角边长度是已知的。三角形AEG面积和三角形ABE的面积之比为EG:BE,这两三角形等高，面积之比为EG:BE就属于我们通常说的关系，也体现了前面说过的数形结合思想中的把形转化成数，提取形中的数量关系。辩证法中讲万物之间的普遍联系或存在关系，关系思想，数学题说白了，很大程度上是对关系的处理，有关系就能用数学语言把关系刻画表达出来，例如表示成图形、不等式、方程、等式等等。这题中，我们把关系表示成等式，接下来就可以根据需要，对等式进行计算、变形变换、解方程等等；求EG:BE,可转化为求EG:BG,而EG:BG根据平行线间的相似比是AE:BI,AE是已知的，BC也是已知，所以求BI就转化成求CI，F是CD中点，根据平行线间的相似比，很容易得出CI等于AD，为2，就这样一步步分析综合进行推导，串起来形成解题过程，所以AEG面积可求出来，同理ADH类似。

第二种方法，还是分析综合法，要求AEG的面积，AE是已知，所以如果能求出AE边上的高，问题就解决。这个高如何求？关系思想，高也不是孤立的，它和其他事物也存在联系存在关系：这个高和三角形BGI的BI边上的高之和为AB，也就是和为2，这是一个等式关系；这两个高之比也是平行线之间的相似比，为AE:BI，这个AE:BI很容易得出，这是第二个等式关系。根据这两个关系可列出二元一次方程，两个高为未知数，两个等式，很显然可求出高。当然对这两个简单的关系，我们通常不用显式的列方程解方程，而是用另一种形式，基于关系使用逻辑推理来进行算术计算即可求出高。

清楚了加辅助线的思想方法论，如果讨论范围扩大到如何解几何难题，仍然是借助数学思想方法，联想、类比、转化，数形结合等等。这里强调几何题中的数形结合和关系思想，几何题中除了形，还有数，很多几何题可能不需要加辅助线，直接通过计算就能完成，有的是结合辅助线和数(计算)来解决。数形结合中的形：观察图形中的特征和规律，挖掘题目中的数学对象（长度、角度、面积、顶点数）之间的各种关系。数：把这些已知条件、数量、特征、规律、约束、关系用数学语言刻画表达出来之后，例如用公式（方程、等式)把关系表示出来后，剩下的一般就是计算和推理。反过来，代数题有时可结合几何图形来帮助解决，这个在后面有介绍。

另外运用几何图形的几何变换，例如平移变换、反射变换、旋转变换、拉伸、位似变换等，这也是运动思想的体现，通过变换，对已知的条件和关系、几何图形格局进行新的组合，产生新的几何构造形。

前面说过这题可以不加辅助线，这里就讲第三种方法，不加辅助线，结合已知条件联想学过的知识点：平行线分成比例定理、三角形相似，进行纯分析综合推理和计算，这个也体现数形结合中的提取形中的数量关系，并利用这些数量关系进行计算和推理。

DF平行于AB,可得出DF:AB=DH:BH=1/2，这个就是数量关系。得出DH:BD=1/3,三角形ADH面积是ABD的1/3。ABD面积为2，所以ADH面积为2/3。接下来求AGE的面积。ADF和ABE全等，所以1）角DAF=角ABE。角DFA=角AEB，又角DFA=角FAB，所以 2) 角AEB=角FAB。从1）和2）可得出三角形AEG和ABG相似，相似比为AE:AB=1/2,相似三角形面积之比为相似比的平方，所以AEG面积:ABG面积=1/4。进而AEG面积为ABE面积的1/5，ABE面积为1，所以AEG面积为1/5。四边形DEGH面积 = 三角形ADH面积 - 三角形AEG = 2/3-1/5=7/15。

总结：观察、联想类比、矛盾分析、合理设想、比较思想、分析综合法进行推理、转化、关系思想、方程思想。从这题中可看出，几何题大多涉及到计算。另外几何题通过加辅助线或几何变换，构造产生出或拼凑出几何构造形，也体现了构造法思想，构造法的进一步说明见第16题中的总结部分。

几何变换和辅助线对结构关系的改造和转化可以看三角形费马点(体会下求费马点使用的旋转变换对三条线段结构上的改变，从交于一点的星形结构变成了首尾相连的线段)和第一题中的将军饮马问题(运用反射变换)。

有些几何题之所以难主要是结构上、位置上、方向朝向上存在问题导致，例如AB线段和CD线段在物理位置上相距较远，有的对象之间相对的方向朝向不协调不合理，就像有些建筑群，A栋建筑和B栋建筑位置和方向朝向不协调，不相互呼应，整体效果上就会出问题打折扣，1+1就会小于2，在几何题中如果存在类似问题，就会增加解题难度。对几何题图形格局在结构上、位置上、方向朝向上、关系上存在的矛盾，我们要相伴法进行调节改善纠正，而几何变换例如平移、反射、旋转等就可以通过移形变位来移位置、调方向、改结构、变关系，平移是移位置，反射是调方向，旋转是调方向和改位置，它们最终都改变了几何结构和转化了题目中的关系。

几何变换背后隐含运用了几何对象在数量关系上的等价传递性，例如平移线段或三角形时，平移前后的对应线段长度是相等，平移后的线段是平移前线段的替身，题目中和原线段相关的都可以传递到替身上，后面的解题转化为用替身，和真身相关的关系都转到提升上，例如已知条件和结论中和真身相关的都传递到替身上。再比如旋转，除了使用旋转前后对应线段的长度和角度相等(不变)这个等价传递性之外，一般还运用等边三角形来改方向，可以看下费马点问题中旋转60度之后产生的等边三角形。等边三角形和等腰三角形，平行四边形都有这样的长度和角度上等值传递的效果，例如一个等边三角形ABC，三条边在长度上可相互替换(在涉及到长度的地方可以相互做替身)，但三边具有不同的方向朝向，也就是等边三角形具有保长度变方向的特性,如下图。如果有道几何题要调整线段方向，那等边三角形的这种特性(保证长度不变情况下改方向的特性)可能就可排上用场，例如我们原题中涉及到AB线段的地方用BC作为它的替身(例如结论中涉及到AB的地方用BC来代替)，因为BC的方向朝向、位置和其他对象整体上比较协调。和角度相关的也类似。这些其实都是通过等价关系的传递性来做替身，用替身来转化问题。另外我们有时找全等的三角形，证明它们全等，有时也是利用这种等价传递性。如果题目中几何元素的替身不存在，那我们就主动作辅助线和几何变换构造出对应的替身，利用替身的等价传递性来改善几何结构中的矛盾，如通过旋转构造一个等边三角线和全等三角形(具体例子参见费马点问题的旋转)或通过非旋转的方式构造全等三角形或平行四边形。除了这种等价传递，其实只要能构造出关系能改善关系的辅助线和几何变换都是我们在解几何题时要考虑采用的。

调节几何结构，化解几何题中的矛盾(不一致)

另外关于旋转，如果题目中同一顶点有两条边相等，可能提示我们可尝试绕这个顶点进行旋转，旋转角度一般是这两条边的夹角。

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