第三周-带有一个隐藏层的平面数据分类

建立一个神经网络，带有一个隐藏层。用到的知识：

• 构建具有单隐藏层的2类分类神经网络。
• 使用具有非线性激活功能激活函数，例如tanh。
• 计算交叉熵损失（损失函数）。
• 实现向前和向后传播。

numpy：是用Python进行科学计算的基本软件包。
sklearn：为数据挖掘和数据分析提供的简单高效的工具。
matplotlib ：是一个用于在Python中绘制图表的库。
testCases：提供了一些测试示例来评估函数的正确性。
planar_utils ：提供了在这个任务中使用的各种有用的功能。

# Package imports
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from testCases import *
import sklearn
import sklearn.datasets
import sklearn.linear_model
from planar_utils import plot_decision_boundary, sigmoid, load_planar_dataset, load_extra_datasets

np.random.seed(1) #设置一个固定的随机种子以保证结果的一致性。

加载或查看数据集
将一个花的图案的2类数据集加载到变量X和Y中。

X, Y = load_planar_dataset()

使用matplotlib可视化数据集

plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral) #绘制散点图

# 上一语句如出现问题，请使用下面的语句：
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=np.squeeze(Y), s=40, cmap=plt.cm.Spectral) #绘制散点图

X:一个numpy矩阵，包含了数据点的数值。
Y:一个numpy向量，包含着标签【0 | 1】(红：0，蓝：1)

shape_X = X.shape
shape_Y = Y.shape
m = shape_X[1]  #训练集的数量

print ("X的维度为: " + str(shape_X))
print ("Y的维度为: " + str(shape_Y))
print ("数据集里面的数据有：" + str(m) + " 个")

运行的结果：
X的维度为: (2, 400)
Y的维度为: (1, 400)
数据集里面的数据有：400 个
简单的logistic回归
在构建完整的神经网络之前，先来看看逻辑回归在这个问题上的表现如何，可以使用sklearn的内置函数来做到这一点， 运行下面的代码来训练数据集上的逻辑回归分类器。

clf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV();
clf.fit(X.T, Y.T.ravel());

可以把逻辑回归分类器的分类绘制出来：

plot_decision_boundary(lambda x: clf.predict(x), X, Y) #绘制决策边界
plt.title("Logistic Regression") #图标题
# 打印准确率
LR_predictions  = clf.predict(X.T) #预测结果
print ("逻辑回归的准确性： %d " % float((np.dot(Y, LR_predictions) + 
        np.dot(1 - Y,1 - LR_predictions)) / float(Y.size) * 100) +
       "% " + "(正确标记的数据点所占的百分比)")

逻辑回归的准确性： 47 % (正确标记的数据点所占的百分比)

搭建神经网络
搭建神经网络的一般方法

• 定义神经网络结构
• 初始化模型的参数
• 循环：
  实施向前传播
  计算损失
  进行向后传播
  更新参数（梯度下降）

（1）定义神经网络

• n_x：输入层神经元个数
• n_h：隐藏层神经元个数
• n_y：输出层的神经元个数

    n_x = X.shape[0] #输入层
    n_h = 4 #，隐藏层，硬编码为4
    n_y = Y.shape[0] #输出层

    return (n_x,n_h,n_y)
print("=========================测试layer_sizes=========================")
X_asses , Y_asses = layer_sizes_test_case()
(n_x,n_h,n_y) =  layer_sizes(X_asses,Y_asses)
print("输入层的节点数量为: n_x = " + str(n_x))
print("隐藏层的节点数量为: n_h = " + str(n_h))
print("输出层的节点数量为: n_y = " + str(n_y))

=========================测试layer_sizes=========================
输入层的节点数量为: n_x = 5
隐藏层的节点数量为: n_h = 4
输出层的节点数量为: n_y = 2

（2）初始化模型参数

• np.random.randn(a，b)* 0.01来随机初始化一个维度为(a，b)的矩阵。
• np.zeros((a，b))用零初始化矩阵（a，b）。

def initialize_parameters( n_x , n_h ,n_y):
    """
    参数：
        n_x - 输入层节点的数量
        n_h - 隐藏层节点的数量
        n_y - 输出层节点的数量

    返回：
        parameters - 包含参数的字典：
            W1 - 权重矩阵,维度为（n_h，n_x）
            b1 - 偏向量，维度为（n_h，1）
            W2 - 权重矩阵，维度为（n_y，n_h）
            b2 - 偏向量，维度为（n_y，1）

    """
    np.random.seed(2) #指定一个随机种子，以便你的输出与我们的一样。
    W1 = np.random.randn(n_h,n_x) * 0.01
    b1 = np.zeros((n_h,1))
    W2 = np.random.randn(n_y,n_h) * 0.01
    b2 = np.zeros((n_y,1))

    #使用断言确保我的数据格式是正确的
    assert(W1.shape == ( n_h , n_x ))
    assert(b1.shape == ( n_h , 1 ))
    assert(W2.shape == ( n_y , n_h ))
    assert(b2.shape == ( n_y , 1 ))

    parameters = {"W1" : W1,
                  "b1" : b1,
                  "W2" : W2,
                  "b2" : b2 }

    return parameters

print("=========================测试initialize_parameters=========================")    
n_x , n_h , n_y = initialize_parameters_test_case()
parameters = initialize_parameters(n_x , n_h , n_y)
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))

=========================测试initialize_parameters=========================
W1 = [[-0.00416758 -0.00056267]
[-0.02136196 0.01640271]
[-0.01793436 -0.00841747]
[ 0.00502881 -0.01245288]]
b1 = [[0.]
[0.]
[0.]
[0.]]
W2 = [[-0.01057952 -0.00909008 0.00551454 0.02292208]]
b2 = [[0.]]
（3）循环
向前传播：可以使用sigmoid()函数，也可以使用np.tanh()函数。
使用字典类型的parameters（它是initialize_parameters() 的输出）检索每个参数。
实现向前传播。

def forward_propagation( X , parameters ):
    """
    参数：
         X - 维度为（n_x，m）的输入数据。
         parameters - 初始化函数（initialize_parameters）的输出

    返回：
         A2 - 使用sigmoid()函数计算的第二次激活后的数值
         cache - 包含“Z1”，“A1”，“Z2”和“A2”的字典类型变量
     """
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    #前向传播计算A2
    Z1 = np.dot(W1 , X) + b1#np.dot表示矩阵的点乘
    A1 = np.tanh(Z1)
    Z2 = np.dot(W2 , A1) + b2
    A2 = sigmoid(Z2)
    #使用断言确保我的数据格式是正确的
    assert(A2.shape == (1,X.shape[1]))
    cache = {"Z1": Z1,
             "A1": A1,
             "Z2": Z2,
             "A2": A2}

    return (A2, cache)

print("=========================测试forward_propagation=========================") 
X_assess, parameters = forward_propagation_test_case()
A2, cache = forward_propagation(X_assess, parameters)
print(np.mean(cache["Z1"]), np.mean(cache["A1"]), np.mean(cache["Z2"]), np.mean(cache["A2"]))

=========================测试forward_propagation=========================
-0.000499755777742 -0.000496963353232 0.000438187450959 0.500109546852

计算损失函数
logprobs = np.multiply(np.log(A2),Y)
cost = - np.sum(logprobs) # 不需要使用循环就可以直接算出来。

def compute_cost(A2,Y,parameters):
    """
    参数：
         A2 - 使用sigmoid()函数计算的第二次激活后的数值
         Y - "True"标签向量,维度为（1，数量）
         parameters - 一个包含W1，B1，W2和B2的字典类型的变量

    返回：
         成本 - 交叉熵成本给出方程（13）
    """

    m = Y.shape[1]
    W1 = parameters["W1"]
    W2 = parameters["W2"]

    #计算成本
    logprobs = Y*np.log(A2) + (1-Y)* np.log(1-A2)
    cost = -1/m * np.sum(logprobs)

    assert(isinstance(cost,float))

    return cost

#测试成本函数
print("=========================测试compute_cost=========================") 
A2 , Y_assess , parameters = compute_cost_test_case()
print("cost = " + str(compute_cost(A2,Y_assess,parameters)))

=========================测试compute_cost=========================
cost = 0.6929198937761266

向后传播

def backward_propagation(parameters,cache,X,Y):
    """
    使用上述说明搭建反向传播函数。

    参数：
     parameters - 包含我们的参数的一个字典类型的变量。
     cache - 包含“Z1”，“A1”，“Z2”和“A2”的字典类型的变量。
     X - 输入数据，维度为（2，数量）
     Y - “True”标签，维度为（1，数量）

    返回：
     grads - 包含W和b的导数一个字典类型的变量。
    """
    m = X.shape[1]
    W1 = parameters["W1"]
    W2 = parameters["W2"]

    A1 = cache["A1"]
    A2 = cache["A2"]

    dZ2= A2 - Y
    dW2 = 1 / m * np.dot(dZ2,A1.T)
    db2 = 1 / m * np.sum(dZ2,axis=1,keepdims=True)
    dZ1 = np.dot(W2.T,dZ2) * (1-np.power(A1,2))
    dW1 = 1 / m * np.dot(dZ1,X.T)
    db1 = 1 / m * np.sum(dZ1,axis=1,keepdims=True)
    grads = {"dW1": dW1,
             "db1": db1,
             "dW2": dW2,
             "db2": db2 }

print("=========================测试backward_propagation=========================")
parameters, cache, X_assess, Y_assess = backward_propagation_test_case()

grads = backward_propagation(parameters, cache, X_assess, Y_assess)
print ("dW1 = "+ str(grads["dW1"]))
print ("db1 = "+ str(grads["db1"]))
print ("dW2 = "+ str(grads["dW2"]))
print ("db2 = "+ str(grads["db2"]))

=========================测试backward_propagation=========================
dW1 = [[ 0.01018708 -0.00708701]
[ 0.00873447 -0.0060768 ]
[-0.00530847 0.00369379]
[-0.02206365 0.01535126]]
db1 = [[-0.00069728]
[-0.00060606]
[ 0.000364 ]
[ 0.00151207]]
dW2 = [[ 0.00363613 0.03153604 0.01162914 -0.01318316]]
db2 = [[ 0.06589489]]

更新参数
需要使用(dW1, db1, dW2, db2)来更新(W1, b1, W2, b2)。

def update_parameters(parameters,grads,learning_rate=1.2):
    """
    使用上面给出的梯度下降更新规则更新参数

    参数：
     parameters - 包含参数的字典类型的变量。
     grads - 包含导数值的字典类型的变量。
     learning_rate - 学习速率

    返回：
     parameters - 包含更新参数的字典类型的变量。
    """
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    
    dW1 = grads["dW1"]
    db1 = grads["db1"]
    dW2 = grads["dW2"]
    db2 = grads["db2"]
    
    W1 = W1 - learning_rate * dW1
    b1 = b1 - learning_rate * db1
    W2 = W2 - learning_rate * dW2
    b2 = b2 - learning_rate * db2
    parameters = {"W1": W1,
                  "b1": b1,
                  "W2": W2,
                  "b2": b2}

    return parameters

print("=========================测试update_parameters=========================")
parameters, grads = update_parameters_test_case()
parameters = update_parameters(parameters, grads)

print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))

=========================测试update_parameters=========================
W1 = [[-0.00643025 0.01936718]
[-0.02410458 0.03978052]
[-0.01653973 -0.02096177]
[ 0.01046864 -0.05990141]]
b1 = [[ -1.02420756e-06]
[ 1.27373948e-05]
[ 8.32996807e-07]
[ -3.20136836e-06]]
W2 = [[-0.01041081 -0.04463285 0.01758031 0.04747113]]
b2 = [[ 0.00010457]]
（4）整合

def nn_model(X,Y,n_h,num_iterations,print_cost=False):
    """
    参数：
        X - 数据集,维度为（2，示例数）
        Y - 标签，维度为（1，示例数）
        n_h - 隐藏层的数量
        num_iterations - 梯度下降循环中的迭代次数
        print_cost - 如果为True，则每1000次迭代打印一次成本数值

    返回：
        parameters - 模型学习的参数，它们可以用来进行预测。
     """

    np.random.seed(3) #指定随机种子
    n_x = layer_sizes(X, Y)[0]
    n_y = layer_sizes(X, Y)[2]

    parameters = initialize_parameters(n_x,n_h,n_y)
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]

    for i in range(num_iterations):
        A2 , cache = forward_propagation(X,parameters)
        cost = compute_cost(A2,Y,parameters)
        grads = backward_propagation(parameters,cache,X,Y)
        parameters = update_parameters(parameters,grads,learning_rate = 0.5)
        if print_cost:
            if i%1000 == 0:
                print("第 ",i," 次循环，成本为："+str(cost))
    return parameters

print("=========================测试nn_model=========================")
X_assess, Y_assess = nn_model_test_case()

parameters = nn_model(X_assess, Y_assess, 4, num_iterations=10000, print_cost=False)
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))

=========================测试nn_model=========================
W1 = [[-4.18494482 5.33220319]
[-7.52989354 1.24306197]
[-4.19295428 5.32631786]
[ 7.52983748 -1.24309404]]
b1 = [[ 2.32926815]
[ 3.7945905 ]
[ 2.33002544]
[-3.79468791]]
W2 = [[-6033.83672179 -6008.12981272 -6033.10095329 6008.06636901]]
b2 = [[-52.66607704]]

（5）预测
构建predict()来使用模型进行预测， 使用向前传播来预测结果。

def predict(parameters,X):
    """
    使用学习的参数，为X中的每个示例预测一个类

    参数：
        parameters - 包含参数的字典类型的变量。
        X - 输入数据（n_x，m）

    返回
        predictions - 我们模型预测的向量（红色：0 /蓝色：1）

     """
    A2 , cache = forward_propagation(X,parameters)
    predictions = np.round(A2)#四舍五入

    return predictions

#测试predict
print("=========================测试predict=========================")

parameters, X_assess = predict_test_case()

predictions = predict(parameters, X_assess)
print("预测的平均值 = " + str(np.mean(predictions)))

=========================测试predict=========================
预测的平均值 = 0.666666666667
（6）运行

parameters = nn_model(X, Y, n_h = 4, num_iterations=10000, print_cost=True)
#绘制边界
plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
plt.title("Decision Boundary for hidden layer size " + str(4))

predictions = predict(parameters, X)
print ('准确率: %d' % float((np.dot(Y, predictions.T) + np.dot(1 - Y, 1 - predictions.T)) / float(Y.size) * 100) + '%')

更改隐藏层数量，得到结论：较大的模型（具有更多隐藏单元）能够更好地适应训练集，直到最终的最大模型过度拟合数据。 最好的隐藏层大小似乎在n_h = 5附近。实际上，这里的值似乎很适合数据，而且不会引起过度拟合。