1. 总览

分类

将级数的内容按上图分类。在常数项级数部分，我们需要知道其敛散性和审敛法。在函数项级数部分，书上提到了幂级数和三角级数。幂级数部分，我们需要知道其敛散性，审敛法，运算，将函数展开成幂级数以及函数的幂级数展开式的应用。三角级数部分，主要是函数展开成三角级数（即傅里叶级数）。

2. 常数项级数

概念：给定一个数列
$u_1,u_2,u_3,\cdots,u_n,\cdots,$
那么由这数列构成的表达式
$u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots$
叫做常数项无穷级数，简称常数项级数，记为 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty u_i$ 。

一般项，部分和，收敛，发散，余项等概念；常数项收敛级数的诸多性质不在此赘述，有需要的请自行查阅。
仅记录一个收敛的必要条件：如果级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty u_i$ 收敛，那么它的一般项 $u_n$ 趋于零，即
$\lim_{n\to\infty}u_n=0$

2.1 正项级数

概念：各项都是正数或是零的级数。
正项级数收敛的充要条件：它的部分和数列 $\{s_n\}$ 有界。（根据单调有界的数列必有极限以及有极限的数列是有界数列的性质可知）
审敛法：

比较审敛法
设 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n$ 都是正项级数，且 $u_n \leq v_n (n=1,2,\cdots)$ 。若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛，则级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛；反之，若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散，则级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散。（因为级数的每一项同乘不为零的常数k以及去掉级数前面部分的有限项不影响级数的收敛性，可以得到一个推论。）
比较审敛法的极限形式
设 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n$ 都是正项级数。
（1）如果 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n}=l(0 \leq l <+\infty)$ ，且级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛，那么级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛；
（2）如果 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l> 0$ 或 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=+\infty$ ，且级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散，那么级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散
比值审敛法，达朗贝尔判别法
设 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 为正项级数，如果 $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ 那么当 $\rho <1$ 时级数收敛， $\rho>1（或\lim\limits_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\infty）$ 时级数发散， $\rho=1$ 时级数可能收敛也可能发散。
根值审敛法，柯西判别法
设 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 为正项级数，如果 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$ ，那么当 $\rho<1$ 时级数收敛， $\rho>1（或\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=+\infty）$ 时级数发散， $\rho=1$ 时级数可能收敛也可能发散。
极限审敛法
设 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 为正项级数。
（1）如果 $\lim\limits_{n \to \infty}nu_n=l>0$ （或 $\lim\limits_{n \to \infty}nu_n=+\infty$ ），那么级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散；
（2）如果 $p>1$ ，而 $\lim\limits_{n \to \infty}n^p u_n=l$ $（0 \leq l < +\infty）$ ，那么级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛。
（由比较审敛法的极限形式可证）

2.2 交错级数

概念：各项是正负交错的级数。
审敛法：（莱布尼茨定理）如果交错级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n$ 满足条件：
（1） $u_n\geq u_{n+1}(n=1,2,3,\cdots)$ ；
（2） $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=0$ ，
那么级数收敛，且其和 $s\leq u_1$ ，其余项 $r_n$ 的绝对值 $|r_n|\leq u_{n+1}$ 。
（对于不满足条件2的情况，举个例子 $u_n=(-1)^{n-1}$ ，此时其级数不收敛。）

2.3 一般项级数

概念：各项为任意实数。
绝对收敛：如果级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 各项的绝对值所构成的正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛，那么级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛。
条件收敛：如果级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，而级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散，那么级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 条件收敛。
绝对收敛和条件收敛的关系：如果级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛，那么级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 必定收敛。（其实挺容易理解的，毕竟各项取绝对值求和结果都趋于某个特定值，那不取绝对值的情况下一定会趋于一个更小的值，而不是到正无穷。也到不了负无穷）
审敛法：对于一般的级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ ，如果用正项级数的审敛法判定级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛，那么此级数收敛。如果用比值审敛法或根值审敛法判定级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散，那么级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散（因为可推知 $u_n\rightarrow 0$ 不成立）。