RL(1)-Proximal Policy Optimization (PPO)

1.Policy Gradient

1.1.Excepted reward

$\overline R_{\theta} =E_{\tau \sim p_{\theta}(\tau)}[R(\tau)] \approx\sum_{\tau} R({\tau})p_{\theta}({\tau})$

$r$ : reward
$\theta$ : actor(parameter)
$\tau$ :trajectory $\tau=(s_1, a_1, s_2, a_2, ..., s_T, a_T)$

which:
$R(\tau)=\sum_{t=1}^{T}r_t$

$p_{\theta}({\tau})=p(s_1)\prod_{t=1}^T p_\theta(a_t|s_t)p(s_{t+1}|s_t, a_t)$

1.2.Maximize Expected Reward

$\nabla \overline R_{\theta} = \frac 1N \sum_{n=1}^N \sum_{t=1}^{T_n}R(\tau^n) \nabla log p_\theta (a_t^n|s_t^n)$

optimize:
$\theta \leftarrow \theta+\alpha \nabla \overline R_\theta$

1.3.Tips

1.3.1.Add a Baseline (reduce variance)

$\nabla \overline R_{\theta} = \frac 1N \sum_{n=1}^N \sum_{t=1}^{T_n}R(\tau^n -b) \nabla log p_\theta (a_t^n|s_t^n)$
$\nabla_\theta L(\theta) = -\mathbb{E}_{w^s \sim p_{\theta}}[r(w^s )-r(\hat w )] \nabla_\theta log p_\theta (w^s)$

1.3.2.Assign Suitable Credit

$R(\tau^n) \rightarrow \sum_{t^\prime=t}^{T_n}r_{t^\prime}^n$

1.3.3.Add Discount Factor

$\sum_{t^\prime=t}^{T_n}r_{t^\prime}^n \rightarrow \sum_{t^\prime=t}^{T_n} \gamma^{t^\prime-t}r_{t^\prime}^n, \gamma<1$

2.Proximal Policy Optimization

2.1.Advantage Function

$A_\pi(s, a)=Q_\pi(s,a)-V_\pi(s)=E_{s^\prime \sim P(s^\prime |s,a)}[r(s)+\gamma V^\pi (s^\prime)-V^\pi(s)]$

$which$
$V^\pi(s)=E_{a \sim P(a|s)} P(a|s)Q_\pi (s,a)$

2.2. On-policy $\rightarrow$ Off-policy

Importance Sampling
$E_{x \sim p}[f(x)]=E_{x \sim q}[f(x) \frac {p(x)} {q(x)}]$

$\nabla \overline R_{\theta} =E_{\tau \sim p_{\theta}(\tau)}[R(\tau) \nabla log p_\theta (\tau)]$

$\nabla \overline R_{\theta} =E_{\tau \sim p_{{\theta}^\prime}(\tau)}[\frac {p_{\theta}(\tau)} {p_{{\theta}^\prime}(\tau)} R(\tau) \nabla log p_\theta (\tau)]$

Off-policy means sample data from $\theta^\prime$ , and use the data to train $\theta$
$\begin{equation}\begin{split} \nabla \overline R_{\theta}&=E_{(s_t, a_t) \sim \pi_\theta}[A^\theta(s_t, a_t) \nabla log p_\theta (a_t^n|s_t^n)] \\ &\approx E_{(s_t, a_t) \sim \pi_\theta^\prime}[\frac {P_\theta(s_t,a_t)}{P_{\theta^\prime}(s_t,a_t)}A^{\theta^\prime}(s_t, a_t) \nabla log p_\theta (a_t^n|s_t^n)]\\ &=E_{(s_t, a_t) \sim \pi_\theta^\prime}[\frac {p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta^\prime}(a_t|s_t)} \frac {p_\theta(s_t)}{p_{\theta^\prime}(s_t)}A^{\theta^\prime}(s_t, a_t) \nabla log p_\theta (a_t^n|s_t^n)]\\ &\approx E_{(s_t, a_t) \sim \pi_\theta^\prime}[\frac {p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta^\prime}(a_t|s_t)} A^{\theta^\prime}(s_t, a_t) \nabla log p_\theta (a_t^n|s_t^n)]\\ \end{split}\end{equation}$

Objective function:
$J^{\theta^\prime}(\theta)=E_{(s_t, a_t) \sim \pi_\theta^\prime}[\frac {p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta^\prime}(a_t|s_t)} A^{\theta^\prime}(s_t, a_t) ]$

2.3.Trust Region Policy Optimization (TRPO)

Constrained optimization：
$J^{\theta^\prime}(\theta)=E_{(s_t, a_t) \sim \pi_\theta^\prime}[\frac {p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta^\prime}(a_t|s_t)} A^{\theta^\prime}(s_t, a_t) ], KL(\theta, \theta^\prime)<\delta$

2.4.PPO

Unconstrained optimization：
$J^{\theta^\prime}(\theta)=E_{(s_t, a_t) \sim \pi_\theta^\prime}[\frac {p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta^\prime}(a_t|s_t)} A^{\theta^\prime}(s_t, a_t) ]-\beta KL(\theta, \theta^\prime)<\delta$

2.5.PPO2

$J^{\theta^\prime}(\theta)\approx \sum_{(s_t, a_t)} min[\frac {p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta^\prime}(a_t|s_t)}, clip(\frac {p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta^\prime}(a_t|s_t)}, 1-\epsilon, 1+\epsilon )] A^{\theta^\prime}(s_t, a_t)$

最后编辑于：2020.06.21 16:35:36

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