程序猎人Till All are One!
何马、FAN 等人赞同
这个问题，作为有些Java经验的人，都会觉得太初级。而且，我认为可能很多真正的高手不屑于跑来回答这种问题。
本来我也不打算回答的，但最近刚好凭兴趣在学Node.JS，顺便学习加强一下Vim。发现什么Coffee Script、什么Jade、什么Express之类的还真是让人一头雾水。深刻地认识到很多基础的东西，如果没有个人来串一下，对于初学者来说还真是麻烦。
所以，我觉得还是来回答一下比较好。（是不是太罗嗦了？）
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JDK是Java Development Kit，也就是说Java开发所需的工具包。有了这个东西，一切Java开发理论上都不是问题了。当然，根据你下载的版本不同，可能擅长的领域不同。通常大家都是用JDK来开发JavaSE应用的。
具体做法上，JDK里包含了用来编译源代码的javac命令，和用来执行字节码的java命令。
只要设好了所用操作系统的PATH和CLASSPATH两个环境变量，对你所写的文本格式的Java源代码进行操作，原则上就不会出现代码编写问题以外的错误。
但因为javac和java命令都是命令行命令，执行以及结果查看都有些麻烦。更麻烦的是代码的动态调试（也就是一边跑一边看每一步都做了什么）。
Eclipse是集成开发环境，就是解决上面说的命令执行和操作麻烦的问题的。使用这个工具，如果你不做什么特别的特殊的事情的话，你可以不用操心javac和java命令怎么用，参数是什么，各种环境变量如何配置等。
只需要按照教程学会工具的使用，就可以很容易地书写你的代码，然后进行编译、执行以及调试。
而且，代码书写时会有很多提示，不用去记各个Class那些庞杂的方法名等。
也正是因为方便，它会在一定程度上影响你对Java相关命令的学习以及对常用Class的掌握。毕竟重复是加强记忆的最佳途径。什么都提示了，都自动了，就很难记住了。
这就是为什么有人反对你一开始使用这工具。
至于tomcat，它是使用Java进行Web开发的应用服务器（Application Server）软件。
之所以它会跟Java有紧密的联系是因为Java在经历了诞生后的进化之后，渐渐地被大众接受为优良的Web服务器端编程语言，也就是说Java最能发挥其优势的地方是用来进行Web开发。
从你的问题描述，我冒昧地认为你可能不是太了解什么是Web开发。所以简单做一下解释。
Web开发，说白了就是网站构建的软件部分。我们每天上网，看到各种网页，这些网页大多数都是由服务器端的程序根据用户提出的请求生成出来。这些程序就是服务器端运行的程序。
而服务器与浏览器的沟通是通过特定的格式进行的，这个格式被称作HTTP协议，HTTP协议有很多内容需要处理，如果所有这些都由开发者来做，未免负担过重。所以，很多年以前就有人开发出了专门的应用程序服务器软件，专门负责处理HTTP协议中的细节部分，而把真正需要的处理发送给专门的程序，也就是Web开发的程序。
以Java为例——
所有的Java程序启动入口都是public static void main(String[] args)函数。tomcat里面就有这么一个函数，运行这个函数后，tomcat里面会进行各种处理——打开网络端口进行监听、加载HTTP解析模块……我们称作服务器启动了。（实际是跟Apache协作进行的，这里就不详述了。）
当从网络上有请求到达我们的tomcat服务器时，它会根据请求的地址来调用你写的java程序模块。
比如，让我们先假设知乎的后台是Java实现的。
当你敲入
http://www.zhihu.com/
的时候，tomcat会得到一个希望访问/（根目录资源）的请求。
然后它去配置文件里查根目录对应的模块是什么。
假设查到的模块是root这个类
那么它会去调用root.doGet()方法。
而你写一个Servlet的时候，必须实现doGet()方法，此时你的方法被调用，那么你写的代码就运行了。
大概就是这么个状况。
至于学习方法。因人而异。
如果你希望直接学习如何用Java来开发Web应用。建议在学习Java语言之前先简单学习一下网络基础知识。
至少理解以下几个基础概念（到维基百科上查查，读懂即可）：
服务器
客户端
协议
端口
URL
TCP/IP
网络分层结构（了解概念即可，暂时不需要记住各层是咋回事儿）
浏览器
HTTP（需要理解GET/POST的意义、差别）
HTML
Session（会话）
然后再开始Java进行Web开发的学习。
最后，祝你学习愉快。
