第14讲：库伦定理

静电场库伦定律

知识点

电场和电势分别描述的什么？

电场是单位电荷在某个位置所受到的力，是矢量。
电势是单位电荷在某个位置的能量大小，是标量。

电量为Q的点电荷(场源电荷)，在距离它为 $r$ 的场点产生的电场（场强）和电势分别为？

$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^3}\vec{r}$
$U=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r}$

电场和电势遵守何种叠加原理？

电场：矢量叠加
电势：标量叠加

表达题

电量分别为 $Q_{1}=1$ 和 $Q_{2}=2$ 的点电荷(场源电荷)，相距为 $d=2r=2$ ，则其连线中点处产生的电场和电势分别为

解答： $E_1=\frac{1}{4\pi\epsilon}\cdot\frac{Q_1}{r^2}$ , $E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon}\cdot\frac{Q_2}{r^2}$
$E_总=E_1-E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon}$
$U_总=U_1+U_2=\frac{3}{4\pi\epsilon}$

电量分别为 $Q_{1}=Q_{2}=1$ 和 $Q_{3}=Q_{4}=-1$ 的四个点电荷，分别位于正方形(边长 $d=\sqrt{2}$ )的四个顶点上。则其中心点处产生的电场和电势分别为

$E=2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon}\cdot\frac{Q_1}{R^2}$ , $R=1$
$E=\frac{\sqrt{2}}{2\pi\epsilon}$
$U=0$

图片发自简书App

电量分别为 $Q_{1}=Q_{3}=1$ 和 $Q_{2}=Q_{4}=-1$ 的四个点电荷，分别位于正方形(边长 $d=\sqrt{2}$ )的四个顶点上。则其中心点处产生的电场和电势分别为

$E=0$ (根据对称可知）
$U=0$

一个电量为 $dq$ 的点电荷，在距离它为 $r$ 的场点产生的电场和电势为

解答： $dE=\frac{1}{4\pi\epsilon}\times\frac{dq}{r^2}$
$dU=\frac{1}{4\pi\epsilon}\times\frac{dq}{r}$

均匀带电的圆细环( $Q,R$ )在环心O处的场强和电势分别为()

解答：
$E=0$
$U=\int dU=\int\frac{1}{4\pi\epsilon}\cdot\frac{dq}{R}=\frac{Q}{4\pi\epsilon r}$

物理强调建模。如图，求均匀带电的细棒在场点P处的电场和电势，微元取为位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，则微元公式中的 $dq$ 和 $r$ 分别为(已知电荷密度 $\lambda$ )

解答： $dq=\lambda dx$
$r=\frac{a}{\sin\theta}$

如图，求均匀带电的半圆细环在场点O处的电场和电势，经常把微元取为位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段，则公式中的 $dq$ 为

解答： $dq=\frac{Q}{\pi} d\theta$

积分法求场强，经常需要定性分析合场强的方向。如图，均匀“带负电”的细棒在场点 $M$ 点和 $N$ 点的电场方向分别为

解答：M点的电场水平向右，N点的电场水平向左

如图，均匀带异号电的半圆细环在圆心O点的电场方向为

图片发自简书App

解答：水平向左

细棒或细环带电体求电场 $\vec{E}$ 的思路是：

(a)考虑带电体的对称性，分析出合场的方向，记为 $\vec{e}$ ；
(b)取合适的电荷微元 $dq$ ，找到该微元到场点的距离 $r$ ，
(c) 借助点电荷公式，写出微元在场点产生的电场大小 $dE$ ，进而写出 $dE$ 在合场方向 $\vec{e}$ 上的投影 $dE_{x}=dE\cdot\cos\theta$ 。
(d)计算定积分。

现在求均匀带电的细棒( $Q,L$ )在场点P处的电场，让我们按照以上四个步骤研究该问题。

第一步，定性分析出该场点合场强的方向，可能的结果为

(1) $\vec{e}_{x}$
(2) $\vec{e}_{y}$

第二步以中点为原点建立坐标轴。微元取为位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，则公式中的 $dq$ 和 $r$ 分别为

(3) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ ， $r=\sqrt{h^{2}+x^{2}}$
(4) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ ， $r=\sqrt{h^{2}+4x^{2}}$

第三步分析该微元的场强 $dE$ ，以及 $dE$ 在合场方向 $\vec{e}$ 上的投影，可能的结果为

(5) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(6) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$

第四步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分，有如下列法

(7) $\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(8) $\int_{0}^{L}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$

则正确的方程组是( )

解答：(1) (3）（5）（7）

现在求均匀带电的半圆细环( $Q,R$ )在环心O处的电场，让我们按照以上四个步骤研究该问题。
第一步，定性分析出该场点合场强的方向，可能的结果为

解答：水平向右

第二步，微元取为位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圆弧，则公式中的 $dq$ 和 $r$ 分别为

解答： $dq=\frac{Q}{\pi}d\theta,r=R$

第三步分析该微元的场强 $dE$ ，以及 $dE$ 在合场方向 $\vec{e}$ 上的投影，可能的结果为

解答： $\int{dE_x}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{dq}{r^2}\cos\theta d\theta$

第四步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分，有如下列法

解答： $\int{dE_x}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\frac{Q}{\pi}}{R^2}\cos\theta d\theta$

细棒或细环带电体求电势 $V$ 的思路更简单，因为电势是标量叠加原理。其基本思路是，

(a)取合适的电荷微元 $dq$ ，找到该微元到场点的距离 $r$ ，
(b)借助点电荷公式，写出微元在场点产生的电势 $dV$ ，
(c)计算定积分。
现在求均匀带电的半圆细环( $Q,R$ )在环心O处的电势
第一步，微元取为位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圆弧。则公式中的 $dq$ 和 $r$ 分别为
(1) $dq=\frac{Q}{\pi}\cdot d\theta$ ， $r=R$
(2) $dq=\frac{Q}{R\pi}\cdot d\theta$ ， $r=R$
第二步写出该微元在该点的电势 $dV$ ，可能的结果为
(3) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(4) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}\cdot\sin\theta$
第三步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分，有如下列法
(5) $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(6) $\int_{0}^{\pi R}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\sin\theta$ <br则正确的方程组是( )

解答：（1）（3）（5）

细棒或细环带电体求电势 $V$ 的思路更简单，因为电势是标量叠加原理。现在求均匀带电的细棒( $Q,L$ )在中心 $O$ 处的电势。
第一步，微元取为位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段圆弧，则 $dq$ 和 $r$ 分别为

解答： $dq=\frac{dx}{L}Q$
$r=x$

第二步写出该微元在该点的电势 $dV$ ，

解答： $V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$

第三步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分

解答： $\int^{\frac{L}{2}}_\frac{-L}{2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Qdx}{xL}$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 203,456评论 5赞 477
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 85,370评论 2赞 381
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 150,337评论 0赞 337
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,583评论 1赞 273
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,596评论 5赞 365
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,572评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,936评论 3赞 395
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,595评论 0赞 258
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,850评论 1赞 297
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,601评论 2赞 321
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,685评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,371评论 4赞 318
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,951评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,934评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,167评论 1赞 259
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 43,636评论 2赞 349
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,411评论 2赞 342

第14讲：库伦定理

静电场库伦定律

知识点

表达题

推荐阅读更多精彩内容