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这题真是，一开始看答案都看不懂, 听讲解也听不懂. 后来玩了一会儿回来看答案发现突然明白了. 基本上是recursion + memorization的方法.
用一个int[] state来表示现在每个ChoosableInteger是否被用到的状态，1表示是，2表示没有.比如maxChoosableInteger= 3， 那么state = {0,1,0,0}就表示1被用到，2，3都没有被用到，0在这里只是为了凑数使得下标和integer能一一对应. 那么每一次这个state表示的状态为了拿来做map的key, 我们就把它转化成一个string. 用到了Arrays.toString()方法，比如上面的state转化成了"0100", 通过这种转换我们就可以记录下来每种状态下是否能赢的boolean值来做key. 这样就可以通过记忆化搜索防止重复计算.

那么要如何判断在某一状态下是否能赢呢？我认为本质上我们是模拟在当下的状态下，模拟接下来的两步来判断. 比如当前状态是state, 那么我现在可以去选一个还没有被叫到的数字i, where state[i] = 0. 如果我选了这个数字之后，和就已经到了或者超过desiredTotal， 那么我已经赢了， 也就是desiredTotal - i <= 0时我赢；或是这一步我还不知道赢不赢，接下来轮到对手. 如果对手不赢，那肯定是我赢（因为游戏必然有一个人会赢），也就是!canIWin(desiredTotal - i, maxChoosableInteger, state, map)这种情况我也会赢. 然后我们把会赢的结果true放到map的curtState这个key的value下， 记得要回溯将state[i]变回未被叫即state[i] = 0. 如果说这一步我不会赢，也要记得回溯.为什么必须要回溯呢？因为每一步你只能选一个数字叫，所以我们模拟的话每一次只能让state里面的某一个而且仅仅只有一个从0变到1.当我们检查过叫这个数字能不能赢之后，如果不能我们就会去检查叫其他数字能不能赢，这个前提是我们得把上一次尝试的那个数字变回没有被叫，才能保证整个尝试过程 每一次只选了一个数字. 如果在当下state下我尝试叫每一种没有被叫的数字都不能赢，说明这种 state下我必然输，则map.put(curtState, false).

class Solution {
    public boolean canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {
        if (desiredTotal <= 0){
            return true;
        }
        if ((1 + maxChoosableInteger)*maxChoosableInteger/2 < desiredTotal){
            return false;
        }          
        int[] state = new int[maxChoosableInteger + 1];
        Map<String, Boolean> map = new HashMap<>();
        return canIWin(desiredTotal, maxChoosableInteger, state, map);
    }
    
    private boolean canIWin(int desiredTotal, int maxChoosableInteger, int[] state, Map<String, Boolean> map){
        String curtState = Arrays.toString(state);
        if (!map.containsKey(curtState)){
            for (int i = 1; i < state.length; i++){
                if (state[i] == 0){
                    state[i] = 1;
                    if (desiredTotal - i <= 0 || !canIWin(desiredTotal - i, maxChoosableInteger, state, map)){
                        map.put(curtState, true);
                        state[i] = 0;
                        return true;
                    }
                    state[i] = 0;
                }            
            }
            map.put(curtState, false);
        }
        return map.get(curtState);
    }
}