多元函数的极限

多元函数的极限是多元函数微分学中非常重要的一个基础概念。本篇文章是我在微积分的学习中为了巩固多元函数极限的知识而记录的，方便随时进行复习。本文主要对多元函数的多重极限的基本概念进行了梳理，及一些求解的方法归档。

基本概念

话不多说，看定义！

定义 $\quad$ 设二元函数 $z=f(x,y)$ 的定义域为 $D_f$ , $P_0(x_0,y_0)$ 为 $D_f$ 的聚点。若存在常数A，使得 $\forall \epsilon > 0$ ， $\exists \delta >0$ ，当0 $<\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$ 时，有 $\left| f(x,y)-A \right|< \epsilon$ ，则 $\lim\limits_{\substack{x \to x_0 \\ y\to y_0}} f(x,y) = A$

这种 $“\epsilon-\delta"$ 定义十分高大上，然而却不像是说的人话，很多同学一看见就一脸懵逼。然而有的试卷偏偏喜欢出类似的证明题，同学们一旦碰到运用定义的来解决的题，就抓耳挠腮，或是想不起来定义的具体内容，或是不知道究竟如何运用它去说明极限存在。

接下来，我们对它的重点进行逐项分析，搞懂它究竟表达的是什么意思，通过这种方式来巩固对定义的记忆。

$P_0(x_0,y_0)$ 为 $D_f$ 的聚点

什么是聚点？很多同学从第一句话就开始懵圈。

其实聚点的概念非常简单，只不过它的意思很“聚点”这个名字实在是相去甚远，以至于很多同学都想不到。

聚点就是它的任何邻域中含有定义域 $D_f$ 中除该点其他点的点。翻译成人话，聚点就是定义域内的点 和 定义域边界这一圈上的点。

那么问题来了，这个 $P_0(x_0,y_0)$ 为 $D_f$ 的聚点不就是 $P_0$ 在定义域内的意思吗？这有什么区别呢？

重点就在于定义域边界这一圈上的点，以一元微分学为例，我们常见的定义域有的是 $[a,b]$ 这种样子的，有的却是 $(a,b)$ ，表示函数在 $x=a$ 和 $x=b$ 处其实没有定义。同理，这个定义域边界这一圈上的点正是指的这种 $x=a$ 和 $x=b$ 处，无论是定义域是开集还是闭集，聚点都是包括的！

为什么要使用这样一个聚点的概念来定义极限呢？举个一元微分学中的简单例子，对于函数 $f(x)=\left| x\right|(x\not= 0)$ ，当 $x\to 0$ 时，很容易从图像上得出此时极限为 $\lim\limits_{x\to 0}f(x) = 0$ 。反推可知 $x_0=0$ 点正是函数的聚点，并且函数在此处也没有定义，是属于开集的边界，偏偏 $f(x)$ 在此处极限存在。这正是为什么要用“ $P_0(x_0,y_0)$ 为 $D_f$ 的聚点”这种拗口的说法来定义极限，而不是“ $P_0$ 在定义域内”这种容易懂的说法。
$\exists \delta >0$ ，当0 $<\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$

这句话看着很奇怪，但实际上非常简单，从字面意义来理解，任何点到 $P_0(x_0,y_0)$ 的距离是非零且有上限的。再翻译一下： $\exists \delta >0$ ，当0 $<\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta \implies$ 在 $P_0$ 的一个去心邻域内。

为什么一定是去心邻域呢？回到第一点，还记得 $P_0$ 为什么是聚点吗，这是因为函数在该点可能不存在。那么 $P_0$ 的邻域需要去心就容易理解了。
$\forall \epsilon > 0$ ， $\left| f(x,y)-A \right|< \epsilon$

相比之下，这句话就很好理解了， $f(x,y)$ 与常数 $A$ 之间的差值任意小，即 $f(x,y)$ 与常数 $A$ 无限接近。

总结一下，原来的定义可以翻译为：

定义设二元函数 $z=f(x,y)$ 的定义域为 $D_f$ ，点 $P_0(x_0,y_0)$ 是定义域内或它边缘上的一个点。在 $P_0$ 的去心邻域内，若有 $f(x,y)$ 的值与常数 $A$ 无限接近，则认为在 $P_0$ 点 $f(x)$ 的极限存在，记为 $\lim\limits_{\substack{x \to x_0 \\ y\to y_0}} f(x,y) = A$ 。

记住！根据邻域的概念，这个区域既可以是无限趋近于 $P_0$ 点时函数值才趋近于 $A$ ，也可以是 $P_0$ 点外一圈区域内都有函数值正好等于 $A$ 。这正好与我们极限的几何意义完全符合。

通过这种方式，定义是不是比原来容易理解多了呢？希望通过这种方式，大家都能记住二重极限的 $“\epsilon-\delta”$ 定义，并运用到证明中。

极限求解方法

证明二重极限存在及求解的方法

1. 利用极限定义证明

要点就是根据公式数学上的关系，尽量使得能够将原式推导到一个“ $\delta(\epsilon)$ ”的关系上。通过 $\epsilon$ 能任意取值，说明这样一个 $\delta$ 也必存在。满足定义所有条件，则极限存在。

例. 证明 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}\frac{x^2+y^2}{\left| x \right| + \left| y \right|}$ 存在。
证明： $\because (\left| x \right| + \left| y \right|)^2 > x^2 + y^2\implies \frac{1}{\left| x \right| + \left| y \right|}< \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$
设 $\forall \delta = \epsilon > 0, \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} < \delta$
$\therefore \left| f(x,y)-0\right| = \frac{x^2+y^2}{\left| x \right| + \left| y \right|}<\sqrt{x^2+y^2}<\delta = \epsilon$
$\therefore\forall\epsilon>0, \exists\delta=\epsilon$ 使得，当 $\sqrt{x^2+y^2} < \delta$ 时

$\left| f(x,y)-0\right|<\epsilon$
$\therefore \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}\frac{x^2+y^2}{\left| x \right| + \left| y \right|}$ 存在且值为0。

2. 无穷小 $\times$ 有界函数

例. 求 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}e^{-\frac{1}{x^2}}\sin{\frac{1}{x^2+y^2}}$ .
解： $\because x\to 0$ 时， $e^{-\frac{1}{x^2}}\to 0$
又 $\because \left| \sin{\frac{1}{x^2+y^2}}\right|\leq 1$
已知无穷小与有界变量之积仍为无穷小量
$\therefore \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}e^{-\frac{1}{x^2}}\sin{\frac{1}{x^2+y^2}} = 0$

3. 将二元函数的极限转变为一元函数的极限

例. 求 $\lim\limits_{\substack{x\to\infty \\ y\to\infty}}(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)}$ .
解：令 $x^2+y^2=u$ ，则 $x,y\to\infty$ 时， $u\to +\infty$
$\therefore \lim\limits_{\substack{x\to\infty \\ y\to\infty}}(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)} = \lim\limits_{u\to +\infty}\frac{u}{e^{u}} = \lim\limits_{u\to +\infty}\frac{1}{e^{u}} = 0$

4. 夹逼准则

例. 求 $\lim_\limits{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}(x+y)\ln{(x^2+y^2)}.$
解： $\because (x+y)^2\leq 2(x^2+y^2) \implies \left| x+y\right| \leq \sqrt{2(x^2+y^2)}$
$\therefore 0 \leq \left| (x+y)\ln{(x^2+y^2)}\right| \leq \left| \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}\ln{(x^2+y^2)} \right|$
令 $\sqrt{x^2+y^2}=u, u\to 0$ ;
$\therefore \left| \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}\ln{(x^2+y^2)} \right| = \left| \sqrt{2}u\ln{u^2} \right|$
$\therefore \lim\limits_{u\to 0} \sqrt{2}u\ln{u^2} = \lim\limits_{u\to 0} \frac{2\sqrt{2}\ln{u}}{\frac1u} = \lim\limits_{u\to 0} \frac{\frac{2\sqrt{2}}{u}}{-\frac{1}{u^2}} = \lim\limits_{u\to 0} (-2\sqrt{2}u) = 0$
$\therefore \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} \left| \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}\ln{(x^2+y^2)} \right| = 0$
由夹逼准则： $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} \left| (x+y)\ln{(x^2+y^2)}\right| = 0$
$\therefore \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} (x+y)\ln{(x^2+y^2)} = 0$

本题的一个关键点在于夹逼准则的变化应用。注意到我们在求解中采用了取绝对值的方式替换原表达式，以方便进行夹逼准则的使用。但是这样的做法解出来的不是绝对值的极限吗？为什么就能得到原来的结果了呢？首先请牢牢记住以下结论！

当极限为0时，绝对值的极限=原表达式的极限。

证明该结论的方法依然是利用夹逼准则，当极限为0时， $\lim\limits_{(0,0)}-\left| f(x,y) \right| = \lim\limits_{(0,0)} \left| f(x,y) \right| = 0$
又因为： $-\left| f(x,y) \right| \leq f(x,y) \leq \left| f(x,y) \right|$ ，利用夹逼准则就可以得到原极限也等于0啦。

证明二重极限不存在的方法

证明极限不存在的方法，总体来说就只有一种，就是利用二维面上不同于一维上只能从坐标轴左右趋近于点，而是可以从无数条路线趋近于聚点的特点，只要任意线路趋近的极限不等于其他的极限，则极限不存在。

具体而言，首先可以用带任意系数的直线系 $y=kx$ 趋近。只要代入原函数后无法消掉系数 $k$ ，则说明此时极限必与 $k$ 相关且不唯一极限不存在。

其次，若系数能够被消掉，则可以巧妙运用不同的曲线，如抛物线、直线、圆弧等来趋近于该点。若任意二者之间代入算出来的极限不等，也说明极限不存在。选取曲线时应根据原函数的特点。

1. 用过点 $P_0$ 的直线系趋近于 $P_0$

例设二元函数 $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ ，讨论 $f$ 在点 $(0,0)$ 的二重极限 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} f(x,y)$ 是否存在。
证明：当一点 $P$ 沿直线 $y=kx$ 趋于点 $(0,0)$ 时，有:
$\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y=kx\to 0}} f(x,kx) = \lim\limits_{x\to0} \frac{kx^2}{x^2+k^2x^2} = \frac{k}{1+k^2}$
可知，随着 $k$ 的取值不同，函数在该点的极限不同，故其二重极限不存在。

2. 用抛物线、双曲线、圆等趋近于 $P_0$ 点

例设函数
$f(x,y)= \left\{\begin{matrix} \frac{xy^2}{x^2+y^4} &，(x,y)\not=(0,0) \\0 &，(x,y)=(0,0) \end{matrix} \right.$
试讨论极限 $\lim\limits_{\substack{x\to 0\\ y\to0}}f(x,y)$ 是否存在。
解：当点沿直线 $x=ky$ 趋近于点 $(0,0)$ 时，有
$\lim\limits_{\substack{y\to 0 \\ x=ky\to 0}}f(x,y) = \lim\limits_{y\to 0} \frac{ky^3}{k^2y^2+y^4} = 0;$
但当点沿抛物线 $x=y^2$ 趋近于点 $(0,0)$ 时，有
$\lim\limits_{\substack{y\to 0 \\ x=y^2\to 0}}f(x,y) = \lim\limits_{y\to 0} \frac{y^4}{y^4+y^4} = \frac12;$
所以，极限 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}f(x,y)$ 不存在。