高考数学全国卷客观题：立体几何

基础性考题

2013年全国卷B题4

已知 $m,n$ 为异面直线， $m\perp$ 平面 $\alpha$ ， $n\perp$ 平面 $\beta$ . 直线 $l$ 满足 $l\perp m, l \perp n, l \not\subset \alpha, l\not\subset \beta$ ，则

（A） $\alpha // \beta$ 且 $l // \alpha$

（B） $\alpha \perp \beta$ 且 $l \perp \beta$

（C） $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，且交线垂直于 $l$

（D） $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，且交线平行于 $l$

2019年全国卷B题7

7.设 $\alpha,\beta$ 为两个平面，则 $\alpha //\beta$ 的充要条件是

$A.\alpha$ 内有无数条直线与 $\beta$ 平行

$B.\alpha$ 内有两条相交直线与 $\beta$ 平行

$C.\alpha,\beta$ 平行于同一条直线

$D.\alpha,\beta$ 垂直于同一平面

2016年全国卷B题14

（14） $\alpha,\beta$ 是两个平面， $m,n$ 是两条直线，有下列四个命题∶

①如果 $m\perp n, m \perp \alpha, n // \beta$ ，那么 $\alpha \perp \beta$

②如果 $m \perp \alpha, n // \alpha$ ，那么 $m \perp n.$

③如果 $\alpha // \beta, m \subset \alpha$ ，那么 $m//\beta.$

④如果 $m//n, \alpha // \beta$ ，那么 $m$ 与 $\alpha$ 所成的角和 $n$ 与 $\beta$ 所成的角相等.

其中正确的命题有 $\underline{\mspace{100mu}}$ .（填写所有正确命题的编号）

2019年全国卷C题8

8.如图，点 $N$ 为正方形 $ABCD$ 的中心， $\triangle ECD$ 为正三角形，平面 $ECD \perp$ 平面 $ABCD$ ， $M$ 是线段 $ED$ 的中点，则

2019年全国卷C题8

$A.BM=EN$ ，且直线 $BM,EN$ 是相交直线

$B.BM \neq EN$ ，且直线 $BM,EN$ 是相交直线

$C.BM=EN$ ，且直线 $BM,EN$ 是异面直线

$D.BM \neq EN$ ，且直线 $BM,EN$ 是异面直线

2014年全国卷B题11

（11）直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $\angle BCA=90°，M，N$ 分别是 $A_1B_1，A_1C_1$ 的中点， $BC=CA=CC_1$ ，则 $BM$ 与 $AN$ 所成角的余弦值为

$(A)\dfrac{1}{10} \qquad (B)\dfrac{2}{5} \qquad (C)\dfrac{\sqrt{30}}{10} \qquad (D)\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2017年全国卷B题10

10.已知直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $\angle ABC=120°$ ， $AB=2, BC=CC_1=1$ ，则异面直线 $AB_1$ 与 $BC_1$ 所成角的余弦值为

$A.\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad B.\dfrac{\sqrt{15}}{5} \qquad C.\dfrac{\sqrt{10}}{5} \qquad D.\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

2018年全国卷B题9

9.在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中， $AB=BC=1, AA_1=\sqrt{3}$ ，则异面直线 $AD_1$ 与 $DB_1$ 所成角的余弦值为

$A.\dfrac{1}{5} \qquad B.\dfrac{\sqrt{5}}{6} \qquad C.\dfrac{\sqrt{5}}{5} \qquad D.\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

压轴题

2018年全国卷B题16

16.已知圆锥的顶点为S，母线 $SA，SB$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{7}{8}$ . $SA$ 与圆锥底面所成角为 $45°$ . 若 $\triangle SAB$ 的面积为 $5\sqrt{15}$ ，则该圆锥的侧面积为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

2017年全国卷C题16

$a，b$ 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 $ABC$ 的直角边 $AC$ 所在直线与 $a，b$ 都垂直，斜边 $AB$ 以直线 $AC$ 为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线 $AB$ 与 $a$ 成 $60°$ 角时， $AB$ 与 $b$ 成 $30°$ 角;

②当直线 $AB$ 与 $a$ 成 $60°$ 角时， $AB$ 与 $b$ 成 $60°$ 角;

③直线 $AB$ 与 $a$ 所成角的最小值为 $45°$ ;

④直线 $AB$ 与 $a$ 所成角的最小值为 $60°$ ;

其中正确的是 $\underline{\mspace{100mu}}$ .（填写所有正确结论的编号）

2018年全国卷A题12

12.已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 $\alpha$ 所成的角都相等，则 $\alpha$ 截此正方体所得截面面积的最大值为

$A.\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \qquad B.\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \qquad C.\dfrac{3\sqrt{2}}{4} \qquad D.\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

2019年全国卷C题16

16.学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 挖去四棱锥 $O-EFGH$ 后所得的几何体，其中 $O$ 为长方体的中心， $E，F，G，H$ 分别为所在棱的中点， $AB=BC=6cm$ , $AA_1=4 cm$ . 3D 打印所用原料密度为 $0.9 \; g/cm^3$ .不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

2019年全国卷C题16

2019年全国卷A题16

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1. 则该半正多面体共有 $\underline{\mspace{100mu}}$ 个面，其棱长为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .（本题第一空 2 分，第二空3分.）

2019年全国卷A题16

2020年理数全国卷A题3

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

金字塔

$A.\dfrac{\sqrt{5}-1}{4} \qquad B.\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \qquad C.\dfrac{\sqrt{5}+1}{4} \qquad D.\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

高考数学全国卷客观题：立体几何

基础性考题

2013年全国卷B题4

2019年全国卷B题7

2016年全国卷B题14

2019年全国卷C题8

2014年全国卷B题11

2017年全国卷B题10

2018年全国卷B题9

压轴题

2018年全国卷B题16

2017年全国卷C题16

2018年全国卷A题12

2019年全国卷C题16

2019年全国卷A题16

2020年理数全国卷A题3

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