超平面的公式
首先明确几个定义：(1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。
在
空间中，假如有法向量
，过原点的平面内任意原点出发的向量
必然与之满足
。如果平面沿着法向量的方向上下平移了，那么这个方程就不成立了。
我们假设平移之后平面经过)
，平面内任意一点记为)
，法向量记为)
，如下图。
不难看出，
在平面内，当然也就和法向量垂直。于是我们有：
w%3D0%5C%5C%20%26(x_1-x_1'%2C%20x_2-x_2'%2Cx_3-x_3')%5Ccdot(%5Comega_1%2C%5Comega_2%2C%5Comega_3)%3D0%20%5Cend%7Baligned%7D)
化简后得：
。即
。由于其为常数项，令
，于是超平面的公式可以写成：
- 这个结论同样适用于
空间；
- 无论超平面如何平移，系数始终是法向量。
点到超平面的距离
上图中是平面外的一点。我们要求的距离记为
，也就是红色的线段。根据三角函数可以得到：
（空间中一点向超平面作垂线，
只能是锐角，不必担心正负）。因为肯定和法向量平行，所以这样来算夹角：%5Comega%7C%3D%7C%7Cx-x'%7C%7C%5Ccdot%7C%7C%5Comega%7C%7C%5Ccdot%5Ccos%7B%5Ctheta%7D)
（因为法向量可能反向，所以给等式左边加上绝对值），联立得：
%5Comega%7C%7D%7B%7C%7C%5Comega%7C%7C%7D%3D%5Cdfrac%7B%7C%5Comega%20x-%5Comega%20x'%7C%7D%7B%7C%7C%5Comega%7C%7C%7D)
因为
在超平面内，
，于是最后得到的任意点到超平面的距离公式：
