信号与系统

第一章

绪论

传输的速度越来越快，信息量越来越大
传输的内容语言由文字信息到图片
传输方式由点对点到点对多点以及网络
信号
- 信号是随时间变化的物理量
  - 声音，交流电，电视信号等
  - 信号必须是个物理量，传输和处理
  - 必须是个变化量
  - 自变量必须是时间
信号的描述
- 时域法
  - 正弦信号
- 频域法
  - 通过正交变换，将信号表示其他变量的函数，Fourier Transform
信号的分类
- 确定性信号：信号可以用一个确定的时间函数加以确定。 $f(t) = 1 + \cos(\omega t)$
- 随机信号：信号不可以用一个确定的时间函数加以确定。
信号的时间特性
- 连续信号
- 离散信号
信号的周期特性
- 周期信号：存在 $T$ ,存在 $f(t) = f(t +T)$
- 非周期信号
信号的分类
- 能量信号：总能量有限的信号
- 功率信号：平均功率有限且非零的信号
- 定义：
  - 信号的总能量： $= \lim_{T-\infty}\int_{-T}^{+T}f^2(t)dt$
  - 信号的平均功率： $= \lim_{T-\infty}\frac{\int_{-T}^{+T}f^2(t)dt}{2T}$
信号的奇偶性
- 奇信号
- 偶信号
信号的简单处理
- 1、加信号
- 2、减信号
- 3、延迟信号 $f(t)->f(t-t_0)$
- 4、反摺 $f(t) - f(-t)$
- 5、尺度变换：压缩
  - |a| > 1,尺度缩小，|a| < 1,尺度放大
  - a < 0 时，还必须反摺
- 6、标量乘法： $f(t) - af(t)$
- 7、混合运算：将上面的运算混合实现
系统
- 系统是由若干个相互联系的单元组成的具有某种功能能达到某种目的的有机整体
  - 有很多单元组成
  - 各个子系统相互连接，构成一个统一的整体
  - 总是用于某种目的，为了完成某种功能
- 按照功能特性
  - 物理系统
    - 电系统
    - 非电系统
  - 非物理系统
    - 人工系统
    - 自然系统
- 系统的描述
  - 输入输出方程
    - $r(t) = f{e(t),r(0),r^1(0),...}$
    - $f(e(t),r(t)) = 0$
  - 框图模型
    - 基本构件连接复杂系统-框图
    - 乘法器，标量乘法器
    - 基本系统和复杂系统是相对的
    - 数学模型和物理模型可以相互转化
- 系统的分类（特性）
  - 1、线性系统：符合齐次性和叠加性的系统（线性，齐次）
  - 2、非线性系统：不符合齐次性和叠加性的系统
    - 齐次性:假设系统在 $e(t)\to r(t)$ ,同时在 $k\cdot e(t)\to k\cdot r(t)$ 则称系统满足齐次性，成比例上升，成比例下降
    - 叠加性：假设系统 $e_1(t)\to r_1(t)$ ,在 $e_2(t)\to r_2(t)$ ,同时在 $e_1(t) + e_2(t) \to r_1(t) +r_2(t)$ ,则称系统满足叠加性
    - 这里用 $e(t)\to r(t)$ 简单表示"系统在激励信号 $e(t)$ 作用下的响应为 $r(t)$ "
  - 线性系统同时满足的齐次性和叠加性也可以用一个等式表达；如果系统对于任意的输入 $e_1(t),e_2(t)$ ,有 $e_1(t)\to r_1(t),e_2(t)\to r_2(t)$ ,同时有 $k_1e_1(t) + k_2e_2(t) \to k_1r_1(t) + k_2r_2(t),k_1,k_2$ 为任意常数，则该系统为线性系统，不满足该关系的系统为非线性系统。
  - 线性系统可以用线性微分方程和差分方程表示
  - 以往用线性系统近似分析非线性系统
  - 1、非时变系统（或时不变系统，定常系统）
    - 如果系统有 $e(t)\to r(t)$ ,同时满足 $e(t-t_0)\to r(t-t_0)$ ,则该系统称为非时变系统
  - 2、时变系统
    - 不满足上面关系的系统
  - 系统处理信号的不同
    - 连续系统：处理连续时间信号的系统
    - 离散系统：处理离散时间信号的系统
    - 混合系统：
  - 其他的分类：
    - 因果系统和非因果系统
    - 稳定系统和非稳定系统
    - 集总参数系统和分布参数系统，有源系统和无源系统
  - - 增量线性系统:激励和响应的增量满足齐次性和叠加性的系统，即： $k_1 \cdot \delta e_1(t) + k_2\cdot \delta e_2(t) \to k_1 \cdot \delta r_1(t) + k_2\cdot \delta r_2(t)$
    - $\delta e(t) = e_1(t) - e_2(t)$
    - $\delta r(t) = r_1(t) - r_2(t)$
    - 或将系统响应分为零输入响应和零状态响应两部分，只要系统的零状态响应满足线性条件即可。
    - 零输入响应：从0时刻开始就没有信号输入(或说输入信号为0)，响应取决于0时刻以前的初始储能。
    - 零状态响应：0时刻以前响应为0(初始状态为0)，系统响应取决于从0时刻加入的信号 $f(t)$
    - 对于线性系统而言，系统的储能往往表现在初始条件上。例如对于零状态响应，其系统的初始储能为零
  - 乘法器
    - 不属于线性系统 $r(t) = e_1(t)e_2(t)$
线性非时变系统分析（Linear Time invariant）LTI
- 已知系统的特性和激励信号，求系统的输出-分析
- 已知系统输入和输出，求系统的特性- 识别
- 已知系统的输入信号和欲得到的输出信号-构造系统
- 步骤：
  - 建立数学模型
  - 解答数学模型
  - 分析数学模型
- 连续线性系统方法：
  - 时域法
  - 变换域法
    - 频域法
    - 复频域法
  - 状态方程法
- 离散线性系统
  - 时域法
  - 变换域法
  - 状态方程法

2018-08-10

2018-08-10

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