2018年暑假，我有幸拜读了卜以楼老师的《生长数学》一书，所获颇丰。
说起这本书的来历，还有段趣闻：七月教师培训会上就听来自江苏省徐州市的吕慧娟老师介绍过“卜特”的《生长数学》一书，不久又在“数学教育之友”QQ群里看到有网友介绍，一直在寻找这个暑假“精神食粮”的我，不禁窃喜：嗯，就这本了！然而我搜遍各大图书网站，都没有找到“卜特”老师的《生长数学》，到是在网页中发现有位“卜以楼”老师提出过“生长数学”的观点，再仔细看“卜以楼：江苏省特级教师，南京师范大学硕士研究生导师，南京市首批名师工作室主持人，长三角名师工作室联盟理事长……”这才恍悟原来这位卜以楼老师正是我要找的“卜特”！于是又开始一番上网搜寻，几经周折终于在一家微店里买到了这本书。当我手捧着这本今年6月份刚刚出版发行，书页间还散着淡淡墨香的《生长数学》，当真有种如获至宝的感觉！
《义务教育数学课程标准》（2011年版）中指出：“数学知识的教学，要注重知识的’生长点’和’延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性”。“生长数学”便是在《课标》理念背景下自然生长出来的一种教学思想和实践行为。
本书当中，卜老师共提出了十二个教学主张——主张一至五从理念上阐述了“生长数学”，提出：生长数学要凸显教育价值、聚焦核心素养、营造思维必然、创设意识唤醒、培育学习“静”界；主张六至十二则从具体不同的课型对“生长”加以说明，强调：“首课”教学要展示数学魅力、概念教学要揭示形成过程、规则教学要崇尚自主探究、实验教学要体现数学味道、解题教学要注重问题解决、复习教学要搭建知识结构、讲评教学要实施“融错”策略。
以下我将摘取书中的几个例子，结合我个人的观点，浅谈对这些课例的思考：
课例1：《一元一次方程的应用1——鸡兔同笼问题》
之前我在处理这节课时的一大困惑是：学生小学在解决鸡兔同笼问题时五花八门的“剁脚”“兔子站”等方法，到底提不提？结果是——提！“为了体现学生的主体地位”，我“给了学生充分的空间”，结果常常是把一节课的相当一部分时间耗在了展示各种小学的算术法上，最终只能草草告诉学生还可以用一元一次方程来解决，引出“一元一次方程的应用”，做题的步骤是找等量关系、设未知数、列方程、解方程、答。
读书之后，就会发现以上教学活动存在两个突兀：一是学生怎么会想到用方程来解决？二是用方程解决问题为什么要先“设”？
卜老师提出，这节课一定要处理好“从问题到方程”的过程。学生可以列举出鸡兔同笼的各种算术方法。各种方法尽管形式不同，但其本质是相同的，那就是“假设法”。在此基础上，教师应当提出一个关键的问题：“我们能否沿着假设法的思路，通过用字母表示数的方法来解决该问题？” 此时，一定有学生会自然地想到：假设鸡有x只，则兔有（35-x）只。根据鸡兔共有94只足，就有2x+4(35-x)=94。余下的问题就变成了求x的纯数学问题了。在用方程解决了本问题后，向学生指出为了方便，通常把“假设……”简写成“设……”，让学生明白“设”的前世今生。
不仅如此，接下来就围绕2x+4(35-x)=94这一方程，套入不同的背景：买票、乘船、比赛得分、加工零件等等。教师可以先出题，再让学生自己编题。在这一过程中学生不仅充分感受到了方程是刻画现实世界的一种有效工具，同时更逐渐体会到了鸡兔同笼类问题的典型特征。再变式训练，问题当然能迎刃而解。
评价：在“假设法”和“字母表示数”的土壤上，自然生长出了“（一元一次）方程”。数学教学的价值在思维教学，如何引导学生“想得到”是需要教师着力的关键所在，而不是通过“规定步骤”，教给学生所谓的“方法技能”。本课从学生的最近发展区出发，通过对“鸡兔同笼”的趣题征解活动来激发学生的兴趣与求知欲，再将各种解法归一，得到解决问题的本质是一种思想，即假设思想。通过假设法迁移到用方程解决问题，为学生提供自然而然、水到渠成的思维场景，为学生迁移能力的发展作了有效的铺垫。
课例2：《探索三角形相似的条件》
七年级学生已经明白：大小相等、形状相同的两个三角形全等。九年级再学“相似三角形”，形状相同的两个三角形相似。三角形全等与相似的共通之处当然不仅限于如此，背后还有不少内容值得我们探寻。
通常在进行“三角形相似的条件”教学时，教师常常将学生带入微观世界中，给出一些具体的边角数据，通过寻找相似三角形的条件进行探究活动。卜老师提出这只是其教学价值的一个部分，《探究三角形相似的条件》的教学价值远不止这些，其价值还在于对三角形（图形）的宏观控制，对判定条件的直觉把握，相似三角形与全等三角形判定条件的系统性、结构性、关联性的认识等等。
反观我的教学实践，在七年级《三角形全等》的教学过程中，除了讲授常规的判定方法：“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”，还引导学生明确了：边的作用——控制大小；角的作用——控制形状。这算是做对了第一步。到了九年级，当学生通过性质学习明白“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”之后，“三角形相似的条件”就可以在之前三角形全等的条件基础上弱化而来，即：把全等条件当中对应边相等的条件改为“对应边成比例”即可。具体为：“边边边”改为“三边成比例”，“边角边”改为“两边成比例且夹角相等”，“角边角”和“角角边”中，则直接把控制大小的条件删掉，改为“两角相等”。这样就由三角形全等的条件自然生长出了三角形相似的条件。
评价：1、以上这种类比的研究方法，不仅仅是学习数学知识所需要的，而且也是一个社会自然人所必需的。在这样的数学本质揭示上，必能磨炼思维品格，也能形成关键能力，这就是让生长数学落地生根，更是让核心素养落地生根，让学生的思维落地生根。2、从内容的本质上，跳出教材，对教学活动进行大刀阔斧的调整，需要教师首先要对数学本质，数学精神和数学文化有深刻的理解，如此，才能在数学教学的价值判断上不会迷茫，不会发生偏差。
课例3《回顾与思考：简单的平面图形》
《简单的平面图形》是北师版七上教学内容，涉及《直线、射线、线段》《角》《线段的中点》《角的平分线》。作为几何教学的起始章，卜老师提出要用“一以贯之”的思路，分三个角度来统领“三线”和“角”的教学。一是几何学科的关注点，即要关注图形的形状、大小、位置；二是研究一个几何概念或定义的基本方法；即概念或定义的描述、几何图形的符号表达法、几何图形的大小确定及表示方法。三是研究两个几何图形的位置关系的基本方法，即控制变量法。
去年我上过这节课的公开课，现在想来，当时的思路到是和卜老师不谋而合。那节课上我设计了一个活动：从各个方面来对比线段和角，最终得到一个表格（大致如下）
上述表格中，看似只有比较大小和数量规律两行结论相同，实际其他的几行本质上也是一样的。下面我来一一说明：第一、图形的定义，课本上关于角的静、动两种定义是显然的，而对于线段，只交代了“直线上两点间的部分”，那么能否仿照角的动态定义，给出线段的动态定义呢？答案是肯定的。学生在七上第一章学过“点动成线”，又因为线段是“直的”“有限的”，所以可以定义为：“一个点延某一方向运动一定的距离所形成的图形”；第二、二等分及几何语言，由“点动成线、线动成面”，学生不光能体会到“点线面是构成几何体的基本元素”，还能感受到“点、线、面”的层层递进关系，因此点平分线（段），线平分面（角），在逻辑上是通顺的，至于几何语言的表述那就更一致了，无论是线段的中点，还是角的平分线，其实都可以理解为——部分量等于部分量、等于整体的一半儿，整体等于二倍的部分量；第三、线段和角的表示，这里主要探讨大写字母表示法。表示线段时，两端点字母可以交换，原因在于这里两个端点“地位相当，不分伯仲”，同理在表示角时，∠AOB或∠BOA，A和B作为“角两边上任意一点”，其地位也是没有高低之分的，因此可以交换。但无论怎样，三个字母之中的“O”是不变的，作为角的顶点，它是如此特殊，以致于“不可撼动、不可更改”。
自评： 线段与角在诸多方面有着“前后一致、逻辑连贯、一以贯之”的联系，这就是生长数学的关注点。对于不同的知识点，分裂开看也许庞杂琐碎，但经过一定的逻辑整合，重新站在一个高度去回望时，往往是统一、和谐的。数学家庞加莱说“数学的优美感不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足”。这里除了和谐美，这里还有一种征服人心的理性美、科学美。
篇幅所限，不再详谈。总之，读书的过程便是精神充实的过程。搞教学不能“闭门造车”，多读些专业书籍、杂志，有助于提升一线教师的理论水平，让我们得以“站在大师的肩膀上眺望”。我们要“教给学生具有生长力的数学”，自己也应当成为“具有生长力的教师”！
