2020 时序分析(8) 差分方差

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今天我们了解一下差分方程，只有理解好了差分方程我们才能真正理解时间序列模型中平稳性时间序列时间模型的原理。所以有必要补一补差分方程的性质和求解过程的知识。

线性差分方差

差分方差的概念和性质

什么是差分
就是数列后一项减去前一项， $\Delta y_t = y_{t+1} - y_t$ ,我们常数的差分方程，指的是一阶差分方程。
那么所谓二阶差分就是一阶差分的差分，就是 $\Delta y_t = y_{t+1} - y_t$ 当做 t 的函数，进一步差分。
$\Delta^2 y_t = \Delta(\Delta y_t) = \Delta y_{t+1} - \Delta y_t = (y_{t+2} - y_{t+1}) - (y_{t+1} - y_{t}) = y_{t+2} - 2 y_{t+1} + y_t$
差分的简单性质

差分方程的类型与解法

一阶常系数线性差分方差
形如 $y_{t+1} + a y_t = f(t)$ 的便是一阶常系数线性差分方程其中 $a \neq 0$
二阶常系数线性齐次差分方程

形如 $y_{t+1} + a y_t = 0$ 的便是一阶常系数线性齐次差分方程其中 $a \neq 0$ 其通解为 $y_t = C(-a)^t$ C 为任意常数，这种类型其实就是我们高中学的等比数列，公比为 $-a$

在时间序列中差分方程的应用

求解 p 阶线性差分方程的特征根法

其实许多 python 库特别是统计方面库都提供差分算法函数，调用即可，无需自己去实现，但是我们还是有必要了解一下差分方程求解过程，这样便于我们更好使用一些模型，以及了解这些模型的内部原理。
经典的 p 阶线性差分方程为
$y_t = c + \alpha_1 y_{t-1} + \alpha_2 y_{t-2} + \dots + \alpha_p y_{t-p} + x_t$

特征根法求解线性差分方程的步骤

求齐次线性差分方程的齐次解
这就是对差分方程进行齐次差分方程求解，去掉干扰项，然后根据一下几种情况进行求解
- 当所有的 $\lambda_i(i = 1,2,\dots,p)$ 都是相异实根时
  $y_t^h = k_1\lambda_1^t + k_2\lambda_2^t + \dots + k_p\lambda_p^t$
求非齐次线性差分方程的特解
将上述齐次解和特解线性组合为通解
如有初始条件，则代入通解中求得齐次解的任意常系数

最后编辑于：2020.12.02 10:37:31