【数学建模算法】(番外2）解决规划问题的神器——Lingo（上）

在之前的几节中，我们介绍了几种数学规划问题，解决的方式基本都是用Matlab，Matlab中也确实提供了很多的函数用来解决规划问题，但是用Matlab解决还是有一些弊端，比如在构造限制条件的时候需要构造一个巨大的矩阵，这个巨大的矩阵在很多情况下是稀疏的，这样对空间是一种浪费，而且在编程时代码与规划问题不够形似，以至于代码不够直观，那么有没有更好的解决规划问题的方法呢。

所以这一节我们来介绍一款运筹学软件——Lingo。
下面是一个下载和破解教程，请读者先行安装破解，再阅读下面的内容。

Lingo 12下载及破解

1.Lingo入门

Lingo界面

打开Lingo之后，就会出现以下的界面，下面的空白区域可以输入代码，用来解决数学规划问题，我们将用一些例子来教大家如何使用这个软件。

例1.1 用Lingo解决下面线性规划问题
$\min \quad2 x_{1}+3 x_{2}$
$\text { s.t. } \cdot\left\{\begin{array}{l}{x_{1}+x_{2} \geq 350} \\ {x_{1} \geq 100} \\ {2 x_{1}+x_{2} \leq 600} \\ {x_{1}, x_{2} \geq 0}\end{array}\right.$

由于LINGO中已假设所有的变量是非负的，所以非负约束不必再输入到计算机中，LINGO也不区分变量中的大小写字符（任何小写字符将被转换为大写字符）；约束条件中的”<=”及”>=”可用”<”及”>”代替。在模型窗口中输入如下代码：

min=2*x1+3*x2;
x1+x2>350;
x1>100;
2*x1+x2<600;

之后在左上角点击如图所示的准心按键。

准心按键

就会输出问题的结果。

问题结果

例1.2 利用Lingo解决最小运输费用问题
运输费用如下图所示：

运输费用

解：设 $x_{i j}$ 为从 $A_{i}$ 运到 $B_{j}$ 的货量。 $c_{i j}$ 表示从 $A_{i}$ 运到 $B_{j}$ 的运费， $d_{j}$ 表示 $B_{j}$ 的销量， $e_{i}$ 表示 $A_{i}$ 地的产量。
$\min \sum_{i=1}^{6} \sum_{j=1}^{8} c_{i j} x_{i j}$
s.t. $\cdot\left\{\begin{array}{ll}{\sum_{i=1}^{6} x_{i j}=d_{j},} & {j=1,2, \cdots, 8} \\ {\sum_{j=1}^{8} x_{i j} \leq e_{i},} & {i=1,2, \cdots, 6} \\{ {x_{i j} \geq 0, } {i=1,2, \cdots, 6 ; j=1,2, \cdots, 8}}\end{array}\right.$

代码如下：
！代表注释
首先设置变量，产地(warehouses)，销地(vendors)，产量(capacity)，需求(demand)
运输费用(cost)，运输量(volume)
之后设置目标函数：cost*volume
之后设置约束：
从i地运出的总数不超过产量。
运往j地的总数等于j地需求量。
之后设置数据。
于是整个模型设置完毕。

model:
!6发点8收点运输问题;
sets:
  warehouses/wh1..wh6/: capacity;
  vendors/v1..v8/: demand;
  links(warehouses,vendors): cost, volume;
endsets
!目标函数;
  min=@sum(links: cost*volume);
!需求约束;
  @for(vendors(J):@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J));
!产量约束;
  @for(warehouses(I):@sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I));
!下面是数据;
data:
  capacity=60 55 51 43 41 52;
  demand=35 37 22 32 41 32 43 38;
  cost=6 2 6 7 4 2 9 5
       4 9 5 3 8 5 8 2
       5 2 1 9 7 4 3 3
       7 6 7 3 9 2 7 1
       2 3 9 5 7 2 6 5
       5 5 2 2 8 1 4 3;
enddata
end

输出结果

Global optimal solution found.
  Objective value:                              664.0000  ！目标函数值
  Infeasibilities:                              0.000000
  Total solver iterations:                            15

  Model Class:                                        LP

  Total variables:                     48
  Nonlinear variables:                  0
  Integer variables:                    0

  Total constraints:                   15
  Nonlinear constraints:                0

  Total nonzeros:                     144
  Nonlinear nonzeros:                   0

！各变量值
                                Variable           Value        Reduced Cost
                          CAPACITY( WH1)        60.00000            0.000000
                          CAPACITY( WH2)        55.00000            0.000000
                          CAPACITY( WH3)        51.00000            0.000000
                          CAPACITY( WH4)        43.00000            0.000000
                          CAPACITY( WH5)        41.00000            0.000000
                          CAPACITY( WH6)        52.00000            0.000000
                             DEMAND( V1)        35.00000            0.000000
                             DEMAND( V2)        37.00000            0.000000
                             DEMAND( V3)        22.00000            0.000000
                             DEMAND( V4)        32.00000            0.000000
                             DEMAND( V5)        41.00000            0.000000
                             DEMAND( V6)        32.00000            0.000000
                             DEMAND( V7)        43.00000            0.000000
                             DEMAND( V8)        38.00000            0.000000
                          COST( WH1, V1)        6.000000            0.000000
                          COST( WH1, V2)        2.000000            0.000000
                          COST( WH1, V3)        6.000000            0.000000
                          COST( WH1, V4)        7.000000            0.000000
                          COST( WH1, V5)        4.000000            0.000000
                          COST( WH1, V6)        2.000000            0.000000
                          COST( WH1, V7)        9.000000            0.000000
                          COST( WH1, V8)        5.000000            0.000000
                          COST( WH2, V1)        4.000000            0.000000
                          COST( WH2, V2)        9.000000            0.000000
                          COST( WH2, V3)        5.000000            0.000000
                          COST( WH2, V4)        3.000000            0.000000
                          COST( WH2, V5)        8.000000            0.000000
                          COST( WH2, V6)        5.000000            0.000000
                          COST( WH2, V7)        8.000000            0.000000
                          COST( WH2, V8)        2.000000            0.000000
                          COST( WH3, V1)        5.000000            0.000000
                          COST( WH3, V2)        2.000000            0.000000
                          COST( WH3, V3)        1.000000            0.000000
                          COST( WH3, V4)        9.000000            0.000000
                          COST( WH3, V5)        7.000000            0.000000
                          COST( WH3, V6)        4.000000            0.000000
                          COST( WH3, V7)        3.000000            0.000000
                          COST( WH3, V8)        3.000000            0.000000
                          COST( WH4, V1)        7.000000            0.000000
                          COST( WH4, V2)        6.000000            0.000000
                          COST( WH4, V3)        7.000000            0.000000
                          COST( WH4, V4)        3.000000            0.000000
                          COST( WH4, V5)        9.000000            0.000000
                          COST( WH4, V6)        2.000000            0.000000
                          COST( WH4, V7)        7.000000            0.000000
                          COST( WH4, V8)        1.000000            0.000000
                          COST( WH5, V1)        2.000000            0.000000
                          COST( WH5, V2)        3.000000            0.000000
                          COST( WH5, V3)        9.000000            0.000000
                          COST( WH5, V4)        5.000000            0.000000
                          COST( WH5, V5)        7.000000            0.000000
                          COST( WH5, V6)        2.000000            0.000000
                          COST( WH5, V7)        6.000000            0.000000
                          COST( WH5, V8)        5.000000            0.000000
                          COST( WH6, V1)        5.000000            0.000000
                          COST( WH6, V2)        5.000000            0.000000
                          COST( WH6, V3)        2.000000            0.000000
                          COST( WH6, V4)        2.000000            0.000000
                          COST( WH6, V5)        8.000000            0.000000
                          COST( WH6, V6)        1.000000            0.000000
                          COST( WH6, V7)        4.000000            0.000000
                          COST( WH6, V8)        3.000000            0.000000
                        VOLUME( WH1, V1)        0.000000            5.000000
                        VOLUME( WH1, V2)        19.00000            0.000000
                        VOLUME( WH1, V3)        0.000000            5.000000
                        VOLUME( WH1, V4)        0.000000            7.000000
                        VOLUME( WH1, V5)        41.00000            0.000000
                        VOLUME( WH1, V6)        0.000000            2.000000
                        VOLUME( WH1, V7)        0.000000            6.000000
                        VOLUME( WH1, V8)        0.000000            6.000000
                        VOLUME( WH2, V1)        1.000000            0.000000
                        VOLUME( WH2, V2)        0.000000            4.000000
                        VOLUME( WH2, V3)        0.000000            1.000000
                        VOLUME( WH2, V4)        32.00000            0.000000
                        VOLUME( WH2, V5)        0.000000            1.000000
                        VOLUME( WH2, V6)        0.000000            2.000000
                        VOLUME( WH2, V7)        0.000000            2.000000
                        VOLUME( WH2, V8)        0.000000            0.000000
                        VOLUME( WH3, V1)        0.000000            4.000000
                        VOLUME( WH3, V2)        11.00000            0.000000
                        VOLUME( WH3, V3)        0.000000            0.000000
                        VOLUME( WH3, V4)        0.000000            9.000000
                        VOLUME( WH3, V5)        0.000000            3.000000
                        VOLUME( WH3, V6)        0.000000            4.000000
                        VOLUME( WH3, V7)        40.00000            0.000000
                        VOLUME( WH3, V8)        0.000000            4.000000
                        VOLUME( WH4, V1)        0.000000            4.000000
                        VOLUME( WH4, V2)        0.000000            2.000000
                        VOLUME( WH4, V3)        0.000000            4.000000
                        VOLUME( WH4, V4)        0.000000            1.000000
                        VOLUME( WH4, V5)        0.000000            3.000000
                        VOLUME( WH4, V6)        5.000000            0.000000
                        VOLUME( WH4, V7)        0.000000            2.000000
                        VOLUME( WH4, V8)        38.00000            0.000000
                        VOLUME( WH5, V1)        34.00000            0.000000
                        VOLUME( WH5, V2)        7.000000            0.000000
                        VOLUME( WH5, V3)        0.000000            7.000000
                        VOLUME( WH5, V4)        0.000000            4.000000
                        VOLUME( WH5, V5)        0.000000            2.000000
                        VOLUME( WH5, V6)        0.000000            1.000000
                        VOLUME( WH5, V7)        0.000000            2.000000
                        VOLUME( WH5, V8)        0.000000            5.000000
                        VOLUME( WH6, V1)        0.000000            3.000000
                        VOLUME( WH6, V2)        0.000000            2.000000
                        VOLUME( WH6, V3)        22.00000            0.000000
                        VOLUME( WH6, V4)        0.000000            1.000000
                        VOLUME( WH6, V5)        0.000000            3.000000
                        VOLUME( WH6, V6)        27.00000            0.000000
                        VOLUME( WH6, V7)        3.000000            0.000000
                        VOLUME( WH6, V8)        0.000000            3.000000

                                     Row    Slack or Surplus      Dual Price
                                       1        664.0000           -1.000000
                                       2        0.000000           -4.000000
                                       3        0.000000           -5.000000
                                       4        0.000000           -4.000000
                                       5        0.000000           -3.000000
                                       6        0.000000           -7.000000
                                       7        0.000000           -3.000000
                                       8        0.000000           -6.000000
                                       9        0.000000           -2.000000
                                      10        0.000000            3.000000
                                      11        22.00000            0.000000
                                      12        0.000000            3.000000
                                      13        0.000000            1.000000
                                      14        0.000000            2.000000
                                      15        0.000000            2.000000

以上是举了两个基本的例子，对Lingo的功能有一个基本的介绍。
接下来讲具体介绍Lingo中的结构：

2.Lingo中的集

对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。LINGO允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。一旦把对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥LINGO建模语言的优势。

2.1集的定义

集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。一个集可能是一系列产品、卡车或雇员。每个集成员可能有一个或多个与之有关联的特征，我们把这些特征称为属性。属性值可以预先给定，也可以是未知的，有待于LINGO求解。例如，产品集中的每个产品可以有一个价格属性；卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引力属性；雇员集中的每位雇员可以有一个薪水属性，也可以有一个生日属性等等。

LINGO有两种类型的集：原始集(primitive set)和派生集(derived set)。
一个原始集是由一些最基本的对象组成的。
一个派生集是用一个或多个其它集来定义的，也就是说，它的成员来自于其它已存在的集。

2.2模型的集

集部分是LINGO模型的一个可选部分。在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义。集部分以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束。一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分。一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须定义了它们。

2.2.1定义原始集

定义一个原始集，用下面的语法：

setname[/member_list/][:attribute_list];

注意：用“[]”表示该部分内容可选。下同，不再赘述。

Setname是你选择的来标记集的名字，最好具有较强的可读性。集名字必须严格符合标准命名规则：以拉丁字母或下划线（_）为首字符，其后由字母（A-Z）、下划线、阿拉伯数字（0，1，…，9）组成的总长度不超过32个字符的字符串，且不区分大小写。
注意：该命名规则同样适用于集成员名和属性名等的命名。

Member_list是集成员列表。如果集成员放在集定义中，那么对它们可采取显式罗列和隐式罗列两种方式。如果集成员不放在集定义中，那么可以在随后的数据部分定义它们。

1.当显式罗列成员时，必须为每个成员输入一个不同的名字，中间用空格或逗号搁开，允许混合使用。

例2.1 可以定义一个名为students的原始集，它具有成员John、Jill、Rose和Mike，属性有sex和age：

sets:
  students/John  Jill, Rose  Mike/: sex, age;
endsets

2.当隐式罗列成员时，不必罗列出每个集成员。可采用如下语法：

setname/member1..memberN/[: attribute_list];

这里的member1是集的第一个成员名，memberN是集的最末一个成员名。LINGO将自动产生中间的所有成员名。LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名，用于创建一些特殊的集。

例2.2 隐式罗列成员举例

隐式成员列表格式	示例	所产生集成员
1..n	1..5	1,2,3,4,5
StringM..StringN	Car3..Car14	Car3,Car4,Car5...Car14
DayM..DayN	Mon..Fri	Mon,Tue,Wed,Thu,Fri
MonthM..MonthN	Oct..Jan	Oct,Nov,Dec,Jan

3.集成员不放在集定义中，而在随后的数据部分来定义。

例2.3

!集部分;
sets:
students:sex,age;
endsets
!数据部分;
data:
  students,sex,age= John 1 16
                    Jill 0 14
                    Rose 0 17
                    Mike 1 13;
enddata

注意：开头用感叹号（!），末尾用分号（;）,!表示注释，可跨多行。
在集部分只定义了一个集students，并未指定成员。在数据部分罗列了集成员John、Jill、Rose和Mike，并对属性sex和age分别给出了值。
集成员无论用何种字符标记,它的索引都是从1开始连续计数。在attribute_ list可以指定一个或多个集成员的属性，属性之间必须用逗号隔开。
可以把集、集成员和集属性同C语言中的结构体作个类比。如下所示：
集 ←→ 结构体
集成员 ←→ 结构体的域
集属性 ←→ 结构体实例

2.2.2 定义派生集

可用下面的语法定义一个派生集：

setname(parent_set_list)[/member_list/][:attribute_list];

setname是集的名字。parent_set_list是已定义的集的列表，多个时必须用逗号隔开。如果没有指定成员列表，那么LINGO会自动创建父集成员的所有组合作为派生集的成员。派生集的父集既可以是原始集，也可以是其它的派生集。

例2.4

sets:
  product/A B/;
  machine/M N/;
  week/1..2/;
  allowed(product,machine,week):x;
endsets

此例中定义了一个三个原始集（product,machine,week），一个派生集(allow)，allow的父集是前三个原始集（product,machine,week）。
此时该派生集中的成员如下：

编号	成员
1	(A,M,1)
2	(A,M,2)
3	(B,M,1)
4	(B,M,2)
5	(A,N,1)
6	(A,N,2)
7	(B,N,1)
8	(B.N,2)

也可以简单的这样理解，未特殊说明派生类是原始类组成的矩阵。

成员列表被忽略时，派生集成员由父集成员所有的组合构成，这样的派生集成为稠密集。如果限制派生集的成员，使它成为父集成员所有组合构成的集合的一个子集，这样的派生集成为稀疏集。同原始集一样，派生集成员的声明也可以放在数据部分。一个派生集的成员列表有两种方式生成：①显式罗列；②设置成员资格过滤器。当采用方式①时，必须显式罗列出所有要包含在派生集中的成员，并且罗列的每个成员必须属于稠密集。使用前面的例子，显式罗列派生集的成员：

allowed(product,machine,week)/A M 1,A N 2,B N 1/;

如果需要生成一个大的、稀疏的集，那么显式罗列就很讨厌。幸运地是许多稀疏集的成员都满足一些条件以和非成员相区分。我们可以把这些逻辑条件看作过滤器，在LINGO生成派生集的成员时把使逻辑条件为假的成员从稠密集中过滤掉。

例2.5

sets:
  !学生集：性别属性sex，1表示男性，0表示女性；年龄属性age.  ;
  students/John,Jill,Rose,Mike/:sex,age;
  !男学生和女学生的联系集：友好程度属性friend，[0，1]之间的数。 ;
  linkmf(students,students)|sex(&1) #eq# 1 #and# sex(&2) #eq# 0: friend;
  !男学生和女学生的友好程度大于0.5的集;
  linkmf2(linkmf) | friend(&1,&2) #gt# 0.5 : x;
endsets
data:
  sex,age = 1 16
            0 14
            0 17
            0 13;
  friend = 0.3 0.5 0.6;
enddata

用竖线（|）来标记一个成员资格过滤器的开始。#eq#是逻辑运算符，用来判断是否“相等”,#gt#也是运算符，代表“大于”。 &1可看作派生集的第1个原始父集的索引，它取遍该原始父集的所有成员；&2可看作派生集的第2 个原始父集的索引，它取遍该原始父集的所有成员；&3，&4，……，以此类推。注意如果派生集B的父集是另外的派生集A，那么上面所说的原始父集是集A向前回溯到最终的原始集，其顺序保持不变，并且派生集A的过滤器对派生集B仍然有效。因此，派生集的索引个数是最终原始父集的个数，索引的取值是从原始父集到当前派生集所作限制的总和。

总的来说，LINGO可识别的集只有两种类型：原始集和派生集。
在一个模型中，原始集是基本的对象，不能再被拆分成更小的组分。原始集可以由显式罗列和隐式罗列两种方式来定义。当用显式罗列方式时，需在集成员列表中逐个输入每个成员。当用隐式罗列方式时，只需在集成员列表中输入首成员和末成员，而中间的成员由LINGO产生。
另一方面，派生集是由其它的集来创建。这些集被称为该派生集的父集（原始集或其它的派生集）。一个派生集既可以是稀疏的，也可以是稠密的。稠密集包含了父集成员的所有组合（有时也称为父集的笛卡尔乘积）。稀疏集仅包含了父集的笛卡尔乘积的一个子集，可通过显式罗列和成员资格过滤器这两种方式来定义。显式罗列方法就是逐个罗列稀疏集的成员。成员资格过滤器方法通过使用稀疏集成员必须满足的逻辑条件从稠密集成员中过滤出稀疏集的成员。

本部分对Lingo软件的基本用法和基本元素：集，进行了介绍，由于内容过多，我决定分成几个部分来介绍。

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